北京版九年级数学上册《二次函数的应用》课件2

情景建模问题：
2、用长为8米的铝合金制成如图窗框，问窗框的宽和高 各为多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？
8米
4米 （4 － x）米
4米 （4 － x）米
x米
x米
解：设窗框的一边长为x米，则另一边的长为（4－x）米， 又令该窗框的透光面积为y平方米，那么： y ＝ x（4－ x ）且0 ＜ x ＜ 4 即： y ＝ ﹣ x 2＋ 4x
又有：﹣1 ＜ 0， 则：该函数的图像开口向下，故函数有最大值
而图像的对称轴为直线x＝ 2，且0 ＜ 2 ＜ 4
所以由求最值公式可知，当 x ＝ 2时，该函数达到 最大值为4.
答：该窗框的宽和高相等，都为2米时透光面积达到最 大的4平方米.
如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成
中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽A
则：0 ＜ r
＜
8 π＋7
故透光面积: S＝r2＋2rl＝r2＋2［r 4－0.（ 5 π＋7）r］
＝﹣（ π ＋7）r 2＋8r 2
(0＜
r
＜
8 π＋7
)
a＝﹣
π 2
＋7
＜0,b＝8,c＝0,
则：
﹣b 2a
＝
8 π＋14
,
r＝
8 π＋7
在
0＜r＜
cmBQ ＝ 2tcm，设ΔPBQ的面积为Scm2
所以
S＝ 1（12－t）× 2t 2
＝﹣t 2＋12t
＝﹣（t－6）2＋36
因为，t ＝6＜8，所以，当t ＝6秒时，ΔPBQ的面
积最大，最大面积为36cm2.
答:6秒时，ΔPBQ的面积最大，最大面积是36cm2.
(1)二次函数与一元二次方程关系密切，解题的关键 是 要善于进行转化，且注意根的判别式的取值. (2)二次函数的最值在实际问题中的运用广泛，求解时 应注意自变量的取值范围. (3)二次函数在几何问题中的运用，在求解进应注 意图 形位置的变化，注意运用分类讨论的思想 方法.
图中窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆,下 部分是矩形.如果制作一个窗户边框的材料的总长度为8 米,那么如何设计这个窗户边框的尺寸,使透光面积最大? （结果精确到0.01米）
解:设半圆的半径为r米，如图，矩形的一边长为l
米，根据题意，有：5r＋πr ＋ 2r ＋ 2l ＝ 8,
即：l＝ 4－0.5（π＋7） r 又因为：l ＞ 0且r ＞ 0
C两点同时出发，以相等的速度作直线运动，已知 点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与 直线相交于点D. （1）设 AP的长为x，△PCQ的面积为S，求出S关于x的 函数关系式； （2）当AP的长为何值时，S△PCQ ＝ S△ABC
如图，在ΔABC中，∠B ＝ 90°，AB ＝ 12cm，BC
米，面积为S平方米.
（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多
少？
（3）若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大
面积.
A
D
B
C
解：(1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米 ∴ 花圃宽为(24－4 x )米
∴ S ＝ x (24 － 4 x )
每月减少的销量为10x（件），实际销售量为180-10x （件），单件利润为（30+x-20)元，则
y (10 x)(180 10x)
即 y -10x2 +80x 1800( x 18). 配方可得 y -10( x 4)2 1960.
所以当x=4时，即销售单价为34元时，y取最大值1960. 答：当销售单价定为34元时，该店在一个月内能获得 最大利润1960元.
＝ 16cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1
厘米／秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边 C
向点C以2厘米／秒的速度移动，如果P,Q
分别从A,B同时出发，且P，Q分别到达
A、B时停止，几秒后ΔPBQ的面
Q
积最大？最大面积是多少？
AP
B
解：则由题意可知：P最多运动12秒，Q最 多运动
8秒，设P运动的时间为t 秒，则PB ＝（12－t）
＝ ﹣4 x 2 ＋ 24 x (0 ＜ x ＜ 6)
(2)当x ＝﹣ b ＝3
2a
时，S最大值＝
4a－b2 4a
＝
36(平方米)
(3) ∵墙的可用长度为8米 ∴ 0 ＜ 24－4 x ≤ 6 4 ≤ x ＜ 6 ∴当x ＝ 4cm时，S最大值＝ 32 平方米
练习感悟 (1)数据（常量、变量）提取； (2)自变量、应变量识别； (3)构建函数解析式，并求出自变量的取值范围； (4)利用函数（或图像）的性质求最大（或最小）值.
二次函数的 应用
回顾与练习 1、求下列二次函数的最大值或最小值：
（1） y ＝﹣x2+58x﹣112; （2）y＝﹣x 2+4x 解：（1）配方得： y ＝﹣（x﹣29）2+729
又因为： ﹣1 ＜ 0，则：图像开口向下， 所以：当x ＝ 29时， y达到最大值为729 （2） ﹣1 ＜ 0，
则：图像开口向下，函数有最大值 所以由求最值公式可知，当x ＝ 2时， y达到最大 值为4.
例 某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如 果以单价30元销售，那么一个月内可售出180件.根据 销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销 售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件.当销售 单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？
解 设每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取 的商品总利润为y元.
8 π＋7
的范围内，
故：当
r＝
8 π＋14
≈ 0.47时，
此时，
S最大值＝
4ac－b2 4a
＝
32 π＋14
≈
1.87,
l＝
28 π＋14
≈
1.63,
答：当窗户半圆的半径约为0.47米，矩形窗框的一边长约 为1.63米时，窗户的透光面积最大，最大值约为1.87平方 米.
如图，等腰Rt△ABC的直角边AB＝２，点P、Q分别从A