2013 多元微积分C 复习大纲

复习大纲
1. 与向量平行的单位向量与方向余弦
已知两点1M =和2(1,3,0)M =求与向量12M M 的平行的单位向量以及方向余弦。

2. 数量积与向量积的运算
1．设{}2,0,1-=a ，{}1,1,2-=b ，则=+⋅-)2()(b a b a ．
2.设{}1,0,2-=a ，{}1,1,0=b ，则与向量a ，b
同时垂直的单位向量为（ C ）. A . {}2,2,1-±; B . {}2,2,13
1±
; C. {}2,2,131-±; D. {}2,2,13
1-±. 3.设k j i a +-=22，k j i b 3+-=，求:
(1) b a Prj ； (2) ||b a
+； 解 .37144322||Prj =++++=⋅=a b a b a 344)3(3||222=+-+=+b a
3. 向量的平行与垂直
4. 直线方程与平面方程
1. 直线过点)5,2,3(-且与两平面034=--z x 和0152=---z y x 平行，求该直线的方程.
2. 直线L 过点)1,0,1(-，且与平面0122=-++z y x 垂直，则该直线的方程
3. 平面过点)1,0,1(，且与直线
2
1111+=-=-z y x 垂直，则该平面的方程 是 5. 线面之间的位置关系
1.试确定下列各组中的直线和平面间的关系
)1( 3
7423z y x =-+=-+和3224=--z y x （ A ） )2(7
23z y x =-= 和8723=+-z y x （ B ） A. 平行; B. 垂直; C ．直线在平面上; Ｄ．相交，夹角为6
π. 2．设直线⎩
⎨⎧=+--=+++031020123:z y x z y x L ，平面:4220x y z ∏-+-=，则直线L （ C ）． A ．平行于∏； B ．在∏上； C ．垂直于∏； D ．与∏斜交．
6. 关于直线和平面的对称点
1. 求点(1,2,1)关于直线
21111+=-=-z y x 的对称点。

518(,,)333
- 2. 求点(1,2,3)关于平面:4220x y z ∏-+-=的对称点。

134661(,,)212121 7. 点的轨迹方程
假设两点(5,4,0)A (4,3,4)B -,求满足条件2||||PA PB =的动点(,,)P x y z 轨迹方程。

8. 二元函数极限与定义域
2(,)ln(34)f x y y x =-+ 2.
(,)f x y =
3. (,)arcsin()31y f x y x =+
4. (,)f x y = 1.=-+-+→→y x y x y x 11lim 0021．2.极限=-+→→xy xy y x 11lim 22
0 1 ． 3.极限=-+→→y y x y x 1sin 1lim 02 1 ．4.极限 =-+→→)sin(11lim 220
0y x y x y x 1/2 .
5.()()201cos lim sin x y xy y xy →→-= 1
6. ()200(1)sin lim x x y e xy x y →→-=1 7 ()00
ln 1lim sin()x y xy xy →→+=1 8. ()20
0(1)ln 1lim xy x y e x y xy →→-++=
9. 连续、偏导数与可微之间的关系
4.函数),(y x f z =在点(00,y x )处连续是在点(00,y x )处存在偏导数的( ).
A. 充分条件;
B. 必要条件;
C.充要条件;
D.既非充分又非必要条件．
5.对于二元函数 ),(y x f z =，则下列结论中错误的是（ ）.
A. 若),(y x f x ，),(y x f y 在),(00y x 处连续，则),(y x f 在),(00y x 处可微;
B. 若),(y x f 在),(00y x 处可微，则),(00y x f x ，),(00y x f y 存在;
C. 若),(00y x f x ，),(00y x f y 存在，则),(y x f 在),(00y x 处连续;
D. 若),(y x f 在),(00y x 处不连续，则),(y x f 在),(00y x 处不可微.
10. 二元函数的一阶偏导数、全微分 设v u z =，y e u x sin 2=，y e v x cos =，求,,z z dz x y
∂∂∂∂ 11. 抽象函数、隐函数的一、二阶偏导数
1、设sin()cos()tan()0xy xz yz ++=，求,z z x y
∂∂∂∂ 2、设22()x z yf x z +=-，其中f 具有连续导数，求z z z
y x y ∂∂+∂∂ 3、求下列函数的一阶、二阶偏导数：
（1）2(sin tan )x y z f x y e -=++
（2）(,)x y
z f y z
= 4. 设方程0),(=z
y z x f 确定了函数),(y x z z =，其中f 有连续偏导数，证明 z y
z y x z x =∂∂+∂∂． 5. 设 22ln y x z z ++= ，试证 0=∂∂-∂∂y
z x x z y 6.设xy e z z
=+，求dz 和y x z ∂∂∂2 12. 多元复合函数偏导数
1. (34)(2)x y z x y +=+ 求
,,z z x y ∂∂∂∂ 2. arctan()x z y
= 求 x z ∂∂，y z ∂∂，y x z ∂∂∂2 13. 曲面的切平面和法线，曲线的切线与法平面
1. 平面π过点)2,1,1(--M 和直线L ：41122+==-z y x ，（1）求平面π 的方程；（2）曲面0122322=-++z y x 在点P 处的切平面平行于平面π，求点P . 2．求曲面3=+-xy z e z 在点)0,1,2(处的切平面与法线方程： 解：令(,,)3z F x y z e z xy =-+-，则1z x y z F y F x F e ===-，，； 3=+-xy z e z 在点)0,1,2(的法向量可取为{}1,2,0=n ，因此
切平面方程为(2)2(1)0x y -+-=， 法线方程为 21120x y z --==
14. 二元函数的极值
求函数 25156),(23++-+=x xy y x y x f 的极值．
解： ⎪⎩⎪⎨⎧=-==+-=0
62),(01563),(2x y y x f y x y x f y x 解得驻点为 )3,1( 和 )15,5(, x y x f A xx 6),(==, 6),(-==y x f B xy , 2),(==y x f C yy , 在)3,1(处，0242<-=-B AC ，)3,1(f 不是极值； 在)15,5(处，0242>=-B AC ，030>=A ，0)15,5(=f 为极小值．
2、求函数22(,)4()f x y x y x y =---的极值
15. 条件极值
1. 平面 320x z -=上求一点，使得它到点 (1,1,1)A 点(2,3,4)B 距离平方和最小
2. 求函数22z x y =+在条件1x y a b
+= 下的极值。