最新七年级数学上册代数式章末训练(Word版 含解析)

一、初一数学代数式解答题压轴题精选（难）
1．如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着-5，-2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等.
（1）求前4个台阶上数的和是多少？
（2）求第5个台阶上的数是多少？
（3）应用求从下到上前31个台阶上数的和．
发现试用含k（k为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数．
【答案】（1）解：由题意得前4个台阶上数的和是-5-2+1+9=3
（2）解：由题意得-2+1+9+x=3，
解得：x=-5，
则第5个台阶上的数x是-5
（3）解：应用：由题意知台阶上的数字是每4个一循环，
∵31÷4=7…3，
∴7×3+1-2-5=15，
即从下到上前31个台阶上数的和为15；
发现：数“1”所在的台阶数为4k-1
【解析】【分析】（1）由台阶上的数求出台阶上数的和即可；（2）根据题意和（1）的值，求出第5个台阶上的数x的值；（3）根据题意知台阶上的数字是每4个一循环，得到从下到上前31个台阶上数的和，得到数“1”所在的台阶数为4k-1.
2．某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下：
一次性购物优惠办法
少于200元不予优惠
九折优惠
低于500元但不低于200
元
500元或超过500元其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优
惠
（2）若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款________元，当x大于或等于500元时，他实际付款________元．（用含x的代数式表示）．
（3）如果王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的货款为a元（200＜a＜300），用含a的代数式表示：两次购物王老师实际付款多少元？
【答案】（1）530
（2）0.9x；0.8x+50
（3）解：0.9a+0.8（820﹣a﹣500）+450=0.1a+706
【解析】【解答】解：（1）500×0.9+（600﹣500）×0.8=530；（2）0.9x；500×0.9+（x﹣500）×0.8=0.8x+50；
【分析】（1）王老师一次性购物600元，超过500元，因此得出其中500元给予九折优惠，100元给予八折优惠，列式计算即可。

（2）根据已知当x小于500元但不小于200时，九折优惠，即可列出代数式；当x大于或等于500元时，其中500元部分给予九折优惠，（x-500）元给予八折优惠，即可列出代数式。

（3）根据已知可知，第二次购物超过500元，由已知200＜a＜300，得出两次购物王老师实际付款=第一次购物款乘以0.9+500乘以0.9+（800-a-500），计算即可。

3．如图，正方形ABCD与正方形BEFG，且A，B，E在一直线上，已知AB=a，BE=b（b＜a）．
（1）用a、b的代数式表示△ADE的面积．
（2）用a、b的代数式表示△DCG的面积．
（3）用a、b的代数式表示阴影部分的面积．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，AB=a，BE=b，A，B，E在一直线上，
∴AB=AD=a，∠A=90°，∠EBG=∠ABC=90°，AE=AB+BE=a+b，
∴S△ADE= AD·AE=
（2）解：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，AB=a，BE=b，
∴AB=DC=BC=a，∠C=90°，BG=BE=b，
∴CG=BC-BG=a-b，
∴S △DCG= DC·CG=
（3）解：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，AB=a，BE=b，
∴S正方形ABCD+S正方形BEFG= .
又∵S△ADE= ，S△DCG= ，S△EFG= EF·FG= ，
∴S阴影= -S△ADE-S△GEF-S△CDG
=
= .
【解析】【分析】（1）根据题意可得△ADE的两直角边AD、AE，再由三角形的面积公式求出即可；
（2）先求出CG=BC-BG=a-b，再根据三角形的面积公式求出即可；
（3）分别求出△ADE、△EFG、△DCG的面积和两个正方形的面积，即可得出阴影部分的面积.
4．用如图所示的甲、乙、丙木板做一个长、宽、高分别为a厘米，b厘米，h厘米的长方体有盖木箱（a>b），其中甲刚好能做成箱底和一个长侧面，乙刚好能做成一个长侧面和一个短侧面，丙刚好能做成箱盖和一个短侧面。

（1）填空：用含a、b、h的代数式表示以下面积：
甲的面积________;乙的面积________;丙的面积________.
（2）当h=20cm时，若甲的面积比丙的面积大200cm2，乙的面积为1400cm2，求a和b
的值；
（3）现将一张长、宽分别为a厘米、b厘米的长方形纸板（如图①）分割成两个小长方形。

左侧部分刚好分割成两个最大的等圆，和右侧剩下部分刚好做成一个圆柱体模型（如图②），且这样的圆柱体模型的高刚好与木箱的高相等。

问：一个上述长方体木箱中最多可以放________个这样的圆柱体模型。

【答案】（1）ab+ah；ah+bh；ab+bh
（2）解：，
化简得，
解得： .
（3）8
【解析】【解答】（1）甲的面积= ab+ah，乙的面积= ah +bh；丙的面积 =ab+bh；
（3）设圆的直径为d，
∵将一张长、宽分别为a厘米、b厘米的长方形纸板（如图①）分割成两个小长方形。

左侧部分刚好分割成两个最大的等圆，和右侧剩下部分刚好做成一个圆柱体模型，
∴b=2d，a-d=πd，
∴a=（π+1）d
∵圆柱体模型的高刚好与木箱的高相等，
∴只有比较木箱的上表面有几个正方形ACDF即可，
∴
∴可以放两层，
∴b=2r+πr
∴
∴一个上述长方体木箱中最多可以放8个这样的圆柱体模型.
故答案为：8.
【分析】（1）根据矩形的面积公式，分别求出甲，乙，丙的面积即可；
（2）根据甲的面积-丙的面积=200cm2，乙的面积为1400cm2，列出方程组，将h=20cm代入并解出方程组，即可求出a，b的值；
（3）设圆的直径为d，观察图像由已知可得到b=2d，a=（π+1）d，再根据圆柱体模型的高刚好与木箱的高相等，就可得到只有比较木箱的上表面有几个正方形ACDF即可，因此利用木箱的上表面的面积除以正方形ACDF的面积即可求解。

5．如图，有一个边长为a的大正方形与两个边长均为b的小正方形(a>b)，按如图1、2所示的方式摆放，设图1中阴影部分的面积之和为S1，图2中阴影部分的面积为S2。

（1）用含a，b的代数式表示S1与S2(结果要化为最简形式)。

（2）当S1+3S2= b²时，求a：b的值。

【答案】（1）解：S1=2(a-b)2+(2b-a)2=3a²-8ab+6b²
S2=b²-(a-b)2=2ab-a2
（2）解：∵S1+3S2= b²，
∴3a2-8ab+6b2+3(2ab-a²)= b2
化简得：5b2=4ab，
∵b≠0，
∴两边同除以b，得：5b=4a，
∴a：b=5：4
【解析】【分析】（1）根据图1可知左下角及右上角两个图形是全等的正方形，其边长为（a-b），中间的小正方形应该是(2b-a) ，然后根据正方形面积的计算方法即可列出算式S1=2(a-b)2+(2b-a)2，再根据完全平方公式展开括号，再合并同类项即可；由图2可知：阴影部分的面积=边长为b的正方形的面积-边长为（a-b）的正方形的面积，从而根据正方形面积的计算方法即可列出算式，再根据完全平方公式展开括号，再合并同类项即可；
（2）根据（1）的计算结果，由 S1+3S2= b²列出方程，化简即可得出答案.
6．阅读材料：我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
尝试应用：
（1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并3（a﹣b）2﹣6（a﹣b）2+2（a﹣b）2的结果是________．
（2）已知x2﹣2y＝4，求3x2﹣6y﹣21的值；
拓广探索：
（3）已知a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10，求（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）的值．【答案】（1）﹣（a﹣b）2
（2）解：∵x2﹣2y=4，
∴原式=3（x2﹣2y）﹣21=12﹣21=﹣9；
（3）解：∵a﹣2b=3，2b﹣c=﹣5，c﹣d=10，
∴a﹣c=﹣2，2b﹣d=5，
∴原式=﹣2+5﹣（﹣5）=8．
【解析】【解答】解：（1）∵3（a﹣b）2﹣6（a﹣b）2+2（a﹣b）2=（3﹣6+2）（a﹣b）2=﹣（a﹣b）2；
故答案为：﹣（a﹣b）2；
【分析】（1）利用整体思想，把（a−b）2看成一个整体，合并3（a−b）2−6（a−b）2＋2（a−b）2即可得到结果；（2）原式可化为3（x2−2y）−21，把x2−2y＝4整体代入即可；（3）依据a−2b＝3，2b−c＝−5，c−d＝10，即可得到a−c＝−2，2b−d＝5，整体代入进行计算即可．
7．如图所示，图甲由长方形①，长方形②组成，图甲通过移动长方形②得到图乙．
（1）S甲=________，S乙=________（用含a、b的代数式分别表示）；
（2）利用（1）的结果，说明a2、b2、（a+b）（a﹣b）的等量关系；
（3）现有一块如图丙尺寸的长方形纸片，请通过对它分割，再对分割的各部分移动，组成新的图形，画出图形，利用图形说明（a+b）2、（a﹣b）2、ab三者的等量关系．
【答案】（1）（a+b）（a-b）
；a2-b2
（2）由两个图形的面积相等可知，（a+b）（a-b）=a2-b2。

（3）
S正方形=（a+b）2， S正方形=（a-b）2+4ab
∴（a+b）2=（a-b）2+4ab
【解析】【分析】（1）根据图形的面积。

列式得到答案即可；
（2）根据两组图案所表示的面积相等，即可得到等量关系；
（3）同理，首先根据面积列出两种方式表示的面积，得到答案即可。

8．历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）的形式来表示，把x等于某数a时的多项式的值用f（a）来表示，例如x=﹣1时，多项式f（x）=x2+3x﹣5的值记为f （﹣1），则f（﹣1）=﹣7．已知f（x）=ax5+bx3+3x+c，且f（0）=﹣1
（1）c=________．
（2）若f（1）=2，求a+b的值；
（3）若f（2）=9，求f（﹣2）的值．
【答案】（1）-1
（2）解：∵f（1）=2，c=-1
∴a+b+3-1=2，
∴a+b=0
（3）解：∵f（2）=9，c=-1，
∴32a+8b+6-1=9，
∴32a+8b=4，
∴f（-2）=-32a-8b-6-1=-4-6-1=-11．
【解析】【解答】（1）∵f（x）=ax5+bx3+3x+c，且f（0）=-1，
∴c=-1，
故答案为-1．
【分析】（1）把x=0，代入f（x）=ax5+bx3+3x+c，即可解决问题；（2）把x=1，代入f （x）=ax5+bx3+3x+c，即可解决问题；（3）把x=2，代入f（x）=ax5+bx3+3x+c，利用整体代入的思想即可解决问题；
9．某市为鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量与水费的单价如表所示：
①当x不超过24立方米时，应收水费为多少元；
②当x超过24立方米时，应收水费为多少元；
（2）小明家五月份用水23立方米，六月份用水36立方米，请帮小明计算一下他家这两个月共应交多少元水费？
（3）小明家七、八月份共用水64立方米，共交水费232元用水，已知七月份用水不超过24立方米，请帮小明计算一下他家这两个月各用多少立方米的水？
【答案】（1）解：①当x不超过24立方米时，应收水费＝3x元；
②当x超过24立方米时，应收水费＝24×3+5（x﹣24）＝5x﹣48元.
故答案为：①3x；②（5x﹣48）.
（2）解：当x＝23时，3x＝69；
当x＝36时，5x﹣48＝132.
∴69+132＝201（元）.
答：小明家这两个月共应交201元水费.
（3）解：设小明家七月份用水m立方米（0＜m≤24），则八月份用水（64﹣m）立方米，依题意，得：3m+5×（64﹣m）﹣48＝232，
解得：m＝20，
∴64﹣m＝44.
答：小明家七月份用水20立方米，八月份用水44立方米.
【解析】【分析】（1）根据分段计费的收费标准，可用含x的代数式表示出当x不超过24立方米时及当x超过24立方米时的应收水费；（2）将x的值代入（1）中的代数式中
求值即可；（3）设七月份用水m立方米（0＜m≤24），则八月份用水（64﹣m）立方米，由（1）的结论结合小明家七、八月份共交水费232元，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论.
10．如图：在数轴上A点表示数，B点示数，C点表示数c,b是最小的正整数，
且a、b满足|a+2|+ （c－7）2=0．
（1）a=________，b=________，c=________；
（2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数________表示的点重合；
（3）点A．B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C 之间的距离表示为BC．
则AB=________，AC=________，BC=________．（用含t的代数式表示）
（4）请问：3BC－2AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【答案】（1）-2；1；7
（2）4
（3）3t+3；5t+9；2t+6
（4）解：不变．
3BC-2AB=3（2t+6）-2（3t+3）=12
【解析】【解答】解：（1）∵|a+2|+（c-7）2=0，
∴a+2=0，c-7=0，
解得a=-2，c=7，
∵b是最小的正整数，
∴b=1；
故答案为：-2，1，7．
（ 2 ）（7+2）÷2=4.5，
对称点为7-4.5=2.5，2.5+（2.5-1）=4；
故答案为：4．
（ 3 ）AB=t+2t+3=3t+3，AC=t+4t+9=5t+9，BC=2t+6；
故答案为：3t+3，5t+9，2t+6．
【分析】（1）根据绝对值的非负性，偶次幂的非负性，由几个非负数的和为0，则这几个数都为0，列出方程组a+2=0，c-7=0，求解得出a,c的值，再根据最小的正整数是1，得出b的值；
（2）根据（1）可知A、C两点间的距离为2+7=9，根据折叠的性质得出折迹处到A、C两点的距离是（7+2）÷2=4.5，折叠处表示的数是7-4.5=2.5，B点距离折叠处的距离是 2.5-1=1.5，根据对称的性质即可得出与点B重合的点所表示的数是2.5+1.5=4；
（3）根据路程等于速度乘以时间得出：A点运动的路程为t，B点运动的路程为2t，C点运动的路程为4t，由AB=A点运动的路程加上B点运动的路程再加上一开始AB两点间的距离得出AB=t+2t+3=3t+3，由AC=A点运动的路程加上C点运动的路程再加上一开始AC两点间的距离得出AC=t+4t+9=5t+9，由BC=C点运动的路程减去B点运动的路程再加上一开始BC两点间的距离得出BC=4t-2t+6=2t+6；
（4）将（3）中得出的BC,AB的长度分别代入3BC-2AB ，即可列出一个整式的加减法算式，再去括号合并同类项后发现是一个常数，于是得出 3BC-2AB 的值与字母t无关。

11．某市居民使用自来水接如下标准收费(水费按月缴纳)
户月用水量单价
不超过10m3的部分2元／m3
超过10m3但不超过18m3的部分3元／m3
超过18m3的部分4元／m3
（1）某用户一个月用了25m3水，求该用户这个月应缴纳的水费}
（2）设某户月用水量为"n”立方米，当n>18时，求该用户应缴纳的水费(用含n的代数式表示)}
（3）甲、乙两用户一个月共用水36m3。

已知甲用户缴纳的水费超过了20元。

设甲用户这个月用水xm3，直接写出甲、乙两用户一个月共缴纳的水费(用含x的代数式表示)．
【答案】（1）解：∵25＞18
∴10×2+3×（18-10）+4×（25-18）
=20+24+28
=72
答：某用户一个月用了25m3水，求该用户这个月应缴纳的水费为72元；
（2）解：∵n＞18
∴10×2+3×8+4（n-18）
=20+24+4n-72
=4n-28
答：当n>18时，求该用户应缴纳的水费4n-28；
（3）解：∵甲、乙两用户一个月共用水36m3。

已知甲用户缴纳的水费超过了20元
∴x＞10
当10＜x≤18时，则36-x＞18时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费：
20+3（x-10）+2×10+3×8+4（36-x-18）
=20+3x-30+20+24+72-4x
=106-x
当x＞18，0＜36-x＜10时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费：
44+4（x-18）+2（36-x）
=44+4x-72+72-2x
=2x+44
当x＞18，10＜36-x＜18时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费：
44+4（x-18）+20+3（36-x-10)
=44+4x-72+20+78-3x
=x+70
答：
当10＜x≤18时，则36-x＞18时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为：106-x；
当x＞18，则0＜36-x＜10时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为：2x+44；
当x＞18，则10＜36-x＜18时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为：x+70；
【解析】【分析】（1）利用表中数据，根据用户用水量，列式计算可求解。

（2）利用表中数据，根据用户用水量n＞18，列式化简可求解。

（3）由题意分情况讨论：当10＜x≤18时，则36-x＞18时；当x＞18，则0＜36-x＜10时；当x＞18，则10＜36-x＜18时，分别列式化简，可得出答案。

12．某单位在十月份准备组织部分员工到北京旅游，现联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为4000 元/人，两家旅行社同时又对10 人以上的团体推出了优惠举措：甲旅行社对每位员工七五折优惠；而乙旅行社是免去一位员工的费用，其余员工八折优惠．（1）如果设参加旅游的员工共有n（n＞10）人，则甲旅行社的费用为________元，乙旅行社的费用为________元；（用含 n 的代数式表示）
（2）假如这个单位现组织共30 名员工到旅游，该单位选择哪一家旅行社比较优惠？请通过计算说明理由．
（3）如果计划在十月份外出旅游七天，这七天的日期之和（不包含月份）为105，则他们于十月________号出发.
【答案】（1）3000n；3200(n-1)
（2）解：当n=30时:
甲： (元)，
乙： (元)，
因为90000<92800，所以选择甲旅行社更优惠
（3）12
【解析】【解答】解：(1)甲旅行社的费用为
乙旅行社的费用为
故答案为3000n;3200(n-1)；
( 3 ) 设 x 号出发，则 x+x+1+x+2+x+3+x+4+x+5+x+6=105，
解得 x=12，所以他们于十月 12 号出发.
【分析】（1）按照两个旅行社的优惠方法，分别表示出各自的费用。

（2）将n=30分别代入（1）中的代数式求值，再比较大小即可得出结果。

（3）设 x 号出发，根据这七天的日期之和（不包含月份）为 105，建立关于x的方程，求解即可。