湖南省株洲市第二中学高三数学上学期第三次月考试题 文

株洲市二中2016届高三第三次月考试卷
（文科数学）
考试时间：120分钟 总分：150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．设集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{0，1，2}．若x ∈M 且x ∉N ，则x 等于 A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2 2．已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z = A ．2i -- B ．2i -+
C ．2i -
D ．2i +
3．已知2
32cos =
⎪⎭⎫
⎝⎛-ϕπ，且2πϕ<，则tan φ＝ A ．33-
B ．3
3
C ．3-
D ．3 4、函数f (x)＝3sinx －cosx （x ∈[0，π]）的单调递减区间是 A [0，
23π] B [2π ，23π] C [23π，π] D [2π ，56
π
] 5、《九章算术》之后，人们进一步地用等差数列求和公式来解决更多的问题．《张邱建算经》卷上第22
题为：今有女善织，日益功疾(注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现在一月(按30天计)，共织390尺布，则第2天织的布的尺数为 A.
16129 B. 16131 C. 8115 D. 80
15
6、右边茎叶图表示甲乙两人在5次测评中成绩（成绩为整数） 其中一个数字被污损，则乙的平均成绩不低于甲的平均成绩
的概率为： A.
110 B. 15 C. 25 D. 9
10
7、已知双曲线22221x y a b
-=的一个焦点与抛物线2
4y x =的焦点重合，
且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为
A.22
4515y x -= B.22154x y -=
C.22154y x -=
D.225514
y x -= 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A 2 B 43 C 4 D 4
9
甲 乙
9 8 8 3 3 7 2 1 0 9 * 9
9．执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是 A ．870 B ．30 C ．6 D ．3
10．在△ABC 所在的平面内有一点P ，如果2PA →＋PC →＝AB →－PB →
，那么△PBC 的面积与△ABC 的面积之比是
A. 12
B. 34
C. 23
D. 13
11．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方
程的方法，可以求出过点A (－3，4)，且法向量为n ＝(1，－2)的直线(点法式)方程为1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A (1，2，3)，且法向量为n ＝(－1，－2，1)的平面的方程为
A ． x ＋2y ＋z －2＝0
B ．x ＋2y ＋z ＋2＝0
C ．x ＋2y －z －2＝0
D ．x －2y －z －2＝0 12、已知函数1
21
2)(+-=x x x f ，则不等式0)4()2(2<-+-x f x f 的解集为
A ．()1,6-
B ．()6,1-
C ．()2,3-
D ．()3,2-
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若tan 2α=,则sin()sin()
23cos(2)sin()
π
απαπαπα-++=--- ． 14．若x,y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤⎧⎪
--≥⎨⎪-+≤⎩
,则z=2x+y 的最大值为 ．
15． 已知P （x,y ）为圆221x y +=上的动点，则34x y +的最大值为 _____________。

16、设数列}{n a 的首项231=
a ，前n 项和为S n , 且满足321=++n n S a ( n∈N *) ．则满足7817182<<n
n S S 的所有n 的和为 ．
三、解答题（70分）
17．（本小题满分12分）已知函数f(x)=23sin (x+4π)cos(x+4
π
)+sin2x （1）求f(x)的最小正周期; （2）若将f(x)的图像向右平移6π个单位，得到函数g(x)的图像，求函数g(x)在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡127,6ππ上的最大值和最小值.
18．（本小题满分12分）某学校有初级教师21人，中级教师14人，高级教师7人，现采用分层抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查．
(1)求应从初级教师，中级教师，高级教师中分别抽取的人数；
(2)若从抽取的6名教师中随机抽取2名做进一步数据分析，求抽取的2名均为初级教师的概率．
19．（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD E -中，EA ⊥面ABCD ，侧面ABE 是等腰直角三角形，
EA AB =，CD AB //，BC AB ⊥，222===BC CD AB ． （Ⅰ）求证：BD ED ⊥；
（Ⅱ）求直线CE 与面ADE 的所成角的正弦值．
20．（本小题满分12分）已知椭圆22
22 1 (0)x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为12,F F
，点(A 在椭圆
上，且2AF 与x 轴垂直。

（1）求椭圆的方程；
（2）过A 作直线与椭圆交于另外一点B ，求AOB ∆面积的最大值。

21．（本小题满分12分）已知函数()a ax x x x f -+-=
23
3
1 (a ∈R)． (1) 当3-=a 时，求函数()x f 的极值；
（2）若函数()x f 的图象与x 轴有且只有一个交点，求a 的取值范围．
23．（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 2=，以极点为平面直角坐标系的原点，极
轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=t
y m t x 2123
（t 为参数）.
（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；
（Ⅱ）设点P )0,(m ，若直线l 与曲线C 交于B A ,两点，且1|=⋅PB PA |||，求实数m 的值.
株洲市二中2016届高三第三次月考试卷
（文科数学）
考试时间：120分钟 总分：150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．设集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{0，1，2}．若x ∈M 且x ∉N ，则x 等于( )B A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2
2．已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（ ）C A ．2i -- B ．2i -+
C ．2i -
D ．2i +
3．已知2
32cos =
⎪⎭⎫
⎝⎛-ϕπ，且2πϕ<，则tan φ＝（ ）D A ．33-
B ．3
3
C ．3-
D ．3 4、函数f (x)＝3sinx －cosx （x ∈[0，π]）的单调递减区间是 C A [0，
23π] B [2π ，23π] C [23π，π] D [2π ，56
π
] 5、《九章算术》之后，人们进一步地用等差数列求和公式来解决更多的问题．《张邱建算经》卷上第22
题为：今有女善织，日益功疾(注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现在一月(按30天计)，共织390尺布，则第2天织的布的尺数为( ) A A.
16129 B. 16131 C. 8115 D. 80
15
6、右边茎叶图表示甲乙两人在5次测评中成绩（成绩为整数） 其中一个数字被污损，则乙的平均成绩不低于甲的平均成绩
的概率为： B A.
110 B. 15 C. 25 D. 9
10
7、已知双曲线22221x y a b
-=的一个焦点与抛物线2
4y x =的焦点重合，
且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为（ ）D
A.22
4515y x -= B.22154x y -=
C.22154y x -=
D.225514
y x -= 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 B A 2 B 43 C 4 D 4
9
9．执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是 B A ．870 B ．30 C ．6 D ．3
甲 乙
9 8 8 3 3 7 2 1 0 9 * 9
10．在△ABC 所在的平面内有一点P ，如果2PA →＋PC →＝AB →－PB →
，那么△PBC 的面积与△ABC 的面积之比是( )B
A. 12
B. 34
C. 23
D. 13
11．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方
程的方法，可以求出过点A (－3，4)，且法向量为n ＝(1，－2)的直线(点法式)方程为1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A (1，2，3)，且法向量为n ＝(－1，－2，1)的平面的方程为 C
A ． x ＋2y ＋z －2＝0
B ．x ＋2y ＋z ＋2＝0
C ．x ＋2y －z －2＝0
D ．x －2y －z －2＝0 12、已知函数1
21
2)(+-=x x x f ，则不等式0)4()2(2<-+-x f x f 的解集为（ ）D
A ．()1,6-
B ．()6,1-
C ．()2,3-
D ．()3,2- 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若tan 2α=,则sin()sin()
23cos(2)sin()
π
απαπαπα-++=--- ．-1 14．若x,y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤⎧⎪
--≥⎨⎪-+≤⎩
,则z=2x+y 的最大值为 ．8
15． 已知P （x,y ）为圆221x y +=上的动点，则34x y +的最大值为 _____________。

5
16、设数列}{n a 的首项2
31=a ，前n 项和为S n , 且满足321=++n n S a ( n∈N *
) ．则满足
7817182<<n n S S 的所有n 的和为 ．7
试题分析：由题意321=++n n S a ,可得: 123n n a S -≥+=当n 2,
,与原式相减得:1111220,220,20n n n n n n n n n a a S S a a a a a +-++-+-=-+=-= ,故11
,(2)2
n n a n a +=≥ ,又211,23n a S =+=时,得2213
31
4,342
2
a a a ===,所以}{n a 是等比数列,可得
n n 31[1()]
12
2S 3[1()],1212
n -==-- 有
n n
2n n n n 22n 113[1()][1()]
S 111122S 3[1()]3[1()][1()],1()1222S 23[1()]2
n n n -⨯+=-=-⨯+=
=+-,则n n 1818111
1(),()17271727
<+<<< ,解得3,4n n == ,所以和为7
三、解答题（70分）
17．（本小题满分12分）已知函数f(x)=23sin(x+4π).cos(x+4
π
)+sin2x （1）求f(x)的最小正周期; （2）若将f(x)的图像向右平移6π个单位，得到函数g(x)的图像，求函数g(x)在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡127,6ππ上的最大值和最小值.
.(1) ;T π=…………….6分 (2) 化简整理得()2sin(2)3
f x x π
=+
,
()()2sin 22sin 266377,,2,61236g x f x x x
x x πππππππ⎡⎤
⎛⎫=-=-+= ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦⎡⎤⎡⎤
∈∴∈⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
Q
故当22
x π
=
时，g(x)取最大值2；当726
x π
=
时，g(x)取最小值-1 18．（本小题满分12分）某学校有初级教师21人，中级教师14人，高级教师7人，现采用分层抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查．
(1)求应从初级教师，中级教师，高级教师中分别抽取的人数；
(2)若从抽取的6名教师中随机抽取2名做进一步数据分析，求抽取的2名均为初级教师的概率． 18，（1）解：从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的学校数目为3,2,1.
( 2 )解：在抽取到的6名教师中，3名初级教师分别记为A 1，A 2，A 3,2名中级教师分别记为A 4，A 5，高级教师记为A 6，则抽取2名教师的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．
从6名教师中抽取的2名教师均为初级教师(记为事件B )的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，
A 3}，共3种．所以P (
B )＝315＝1
5
.
19．（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD E -中，EA ⊥面ABCD ，侧面ABE 是等腰直角三角形，
EA AB =，CD AB //，BC AB ⊥，222===BC CD AB ．（Ⅰ）求证：BD ED ⊥；
（Ⅱ）求直线CE 与面ADE 的所成角的正弦值．
解析：(2)直线CE 与面ADE
20．（本小题满分12分）已知椭圆22
22 1 (0)x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为12,F F
，点(A 在椭圆
上，且2AF 与x 轴垂直。

（1）求椭圆的方程；
（2）过A 作直线与椭圆交于另外一点B ，求AOB ∆面积的最大值。

1）有已知：2c =
，2b a =
，∴a =，2
4b =故椭圆方程为22184
x y +
= （2）当AB
斜率不存在时：1
22
AOB S ∆=⨯= 当AB 斜率存在时：设其方程为：
(2) (y k x k -=-≠
由2
2
2)2=8
y kx k x y ⎧=+-⎪⎨+⎪⎩，得 (
)
))
222
21422280k x k kx k ++-+-=由已知：
)(
)
)(222
2216282124820k k k k k ⎡⎤∆=--+--=>⎢⎥
⎦
即：k ≠
O 到直线AB
的距离：d
∴214
221ABC S AB d k ∆==+ ∵k ≠，∴2212k +≠，∴[)()2
211,22,k +∈+∞U ，
∴)()24
22,0
0,221k -∈-⎡⎣
+U 此时AOB S ∆∈ 综上所求：当AB 斜率不存在或斜率为零时，AOB V 面
积取最大值为 21．（本小题满分12分）已知函数()a ax x x x f -+-=
23
3
1 (a ∈R)． (1) 当3-=a 时，求函数()x f 的极值；
（2）若函数()x f 的图象与x 轴有且只有一个交点，求a 的取值范围．
（1）当1-=x 时, ()x f 取得极大值为()=-1f 31433131
=
++--;当3=x 时, ()x f 取得极小值为()399273
13+--⨯=f 6-=. （2）a 的取值范围是()+∞,0． 【解析】试题分析：（1）遵循“求导数，求驻点，讨论驻点两侧导数值符号，确定极值”.（2） 根据 ()x f '= a x x +-22
，得到△= a 44-= ()a -14 .据此讨论：① 若a≥1，则△≤0， 此时()x f '≥0在R 上恒成立，f （x ）在R 上单调递增 .计算f （0）0<-=a ，()023>=a f ,得到结论.② 若a ＜1，则△＞0，()x f '= 0有两个不相等的实数根，不妨设为1212x x x x <，，（）．有
1212 2 x x x x a +==，． 给出当x 变化时，()()x f ,x f '的取值情况表.根据f （x 1）·f（x 2）＞0, 解
得a ＞0．作出结论.试题解析： （1）当3-=a 时，()333
1
23+--=x x x x f ，
∴()x f '()()13322+-=--=x x x x .令()x f '=0, 得 121,3x x =-=. 当1-<x 时,()0'
>x f , 则
()x f 在()1,-∞-上单调递增;
当31<<-x 时,()0'<x f , 则()x f 在()3,1-上单调递减;当3>x 时,()0'
>x f , ()x f 在()+∞,3上
单调递增. ∴ 当1-=x 时, ()x f 取得极大值为()=-1f 3
14
33131=++--;当3=x 时, ()x f 取得
极小值为()399273
1
3+--⨯=f 6-=.（2） ∵ ()x f '= a x x +-22，∴△= a 44-= ()a -14 .①
若a≥1，则△≤0，∴()x f '≥0在R 上恒成立，∴ f （x ）在R 上单调递增 .∵f （0）0<-=a ，()023>=a f ,
∴当a≥1时，函数f （x ）的图象与x 轴有且只有一个交点．
② 若a ＜1，则△＞0，∴()x f '= 0有两个不相等的实数根，不妨设为
12
x x x x <，，（）．∴ 2 x x x x a +==，． 当x 变化时，x f ,x f '
的取值情况如下表：
∵0212
1=+-a x x ,∴12
12x x a +-=.∴()a ax x x x f -+-=
1213
113
=12
11213123
1x x ax x x -++-()1
31231x a x -+=()[]
2331211-+=a x x . 同理()2x f ()[
]2331222-+=a x x .∴()()()[]()[]
23239
12
2212121-+⋅-+=⋅a x a x x x x f x f
()()()(
)
()[
]2222122121292391-++-+=a x x a x x x x ()()[](){}
22122122922391-+-+-+=a x x x x a a a ()
339
4
2+-=a a a .令f
（x 1）·f （x 2）＞0, 解得a ＞0．而当10<<a 时,()()023,00>=<-=a f a f , 故当10<<a 时, 函数f （x ）的图象与x 轴有且只有一个交点.综上所述，a 的取值范围是()+∞,0． 23．（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 2=，以极点为平面直角坐标系的原点，极
轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=t
y m t x 2123
（t 为参数）.
（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；
（Ⅱ）设点P )0,(m ，若直线l 与曲线C 交于B A ,两点，且1|=⋅PB PA |||，求实数m 的值.
（Ⅰ）由θρcos 2=，得：θρρcos 22=，∴x y x 222=+，即1)1(2
2=+-y x ， ∴曲线C 的直角坐标方程为1)1(2
2
=+-y x . 由⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+=
t
y m t x 2
123
，得m y x +=3，即03=--m y x ，
∴直线l 的普通方程为03=--m y x .（Ⅱ）将⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=+=t
y m t x 2
1
23
代入1)1(2
2=+-y x ，得：
12112322
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+t m t ，整理得：02)1(322
=-+-+m m t m t ，由0>∆，即0)2(4)1(32
2>---m m m ，
解得：31<<-m .设21,t t 是上述方程的两实根，则m m t t m t t 2),1(32
2121-=--=+，又直线l 过
点)0,(m P ，由上式及t 的几何意义得1|2|||||||2
21=-==⋅m m t t PB PA ，解得：1=m 或21±=m ，都符合31<<-m ，因此实数m 的值为1或21+或21-.
高三第三次月考答题卷（文科数学）
总分：150分 时量：120分钟 一．选择题（5分×12=60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二．填空题（5分×4=20分） 13、_______________________________，14、_____________________________; 15、_____________________________； 16、___________________________。

三．解答题 17.（本题满分12分）
19.（本题满分12分）
18.（本题满分12分）
22.（本题满分10分）。