3正态分布
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正态分布及其应用
一、正态分布的概念
在医学卫生领域中，许多变量的取值 (频数分布)是中间(靠近均数处)较多，两边 较少，且左右对称。
这种变量的频数分布规律可用概率论 中的一种重要的随机变量分布——正态分布 (Normal distribution)加以描述。
25 20 15 10 5 0 109 113 117 121 125 129 133
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.150.10源自050 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
标准正态分布N(0, 1)
标准正态分布的密度函数为
u
2
(u )
1 2
e
2
0.4
0.35
D
u
1 2
e dx
u
2
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
u 标准正态分布曲线下从-∝到u之间的面积示意图
D
0.08
x
1 2
( x )
2
e
2
dx
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0 105 110 115 120 125 130 135 140
对于服从正态分布的变量，只要知道 与 , 就可用下式求得曲线下区间(x1, x2)范围的面积。
D
x2
1 2
10 8 6 4 2 0 105 109 113 117 121 125 129 133
107 109 111 113 115 117 119 121 123 125 127 129 131 133
7岁男童身高的频数曲线或频率曲线，略 呈钟型，中间高，两头低，左右对称，近似 数学上的正态分布。
若变量 x 的频率曲线对应于数学上的正 态分布曲线，则称该变量服从正态分布。
越小，分布越集中，曲线的形状越“瘦高”，
三、正态曲线下面积分布规律
无论 、 取什么值，正态曲线与横轴间的面积等于1。 正态分布是对称分布，其对称轴为直线 x =，左右两侧 曲线下面积相等，各占50%。 靠近均数处曲线下面积较集中，两边逐渐减少。在 范围内曲线下面积等于0.6827，在 1.64 范围内曲线下面 积为0.9090，在 1.96 范围内曲线下面积为0.9500，在 2.58 范围内曲线下面积为0.9900。 一个服从正态分布的变量，只要求得其均数与标准差， 就能全面掌握该变量的频数分布规律。
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0.07
0.06
0.05
0.04
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0.02
0.01
0 90 100
不同， 相同
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130
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0 90 100
相同， 不同
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120
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140
150
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正态分布主要应用于
1. 估计频率分布 2. 制定医学参考值范围 3. 正态分布是许多统计方法的理论基础
制定医学参考值范围的基本步骤
确定一批样本含量足够大的“正常人”；
根据专业知识和实际用途确定单侧或双侧界值；
选定适当的百分界值如80%，90%，95%或和 99%，常用95%； 根据资料的分布特点，选用恰当的计算方法。
(x )
2
e
2
dx
x1
但对于不同的 与 ， (x1, x2)范围内的面积
不同，即D不仅与(x1, x2)有关，还与、 有关。
四、标准正态分布
1. 标准化变换
u
x
若 x 服从正态分布 N (，) ，则 u 就服从均数为 0、标准差为1的正态分布，这种正态分布称为标准 正态分布或 u 分布，记为 N (0，1)，u 称为标准正态 变量，这一变换也称为标准化变换。
五、正态分布的应用
医疗卫生工作中许多指标近似服从正态分布。如同性 别同年龄正常儿童的身高，实验中的随机误差等服从正态 分布。此外，还有许多指标虽不服从正态分布，但通过变 量转换后，能近似服从正态分布。例如，抗体滴度、处方 费用等，原本是偏态分布的，但经过对数转换后，近似正 态。这种原不服从正态分布，但经对数转换后服从正态分 布的指标，被称为服从对数正态分布。经过转换后能近似 正态分布的指标，也能借助正态分布理论作统计处理。
0.05
0 -4
(u2 ) (u1 ) 0.3557 0.1469 0.2088
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-1
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2
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4
常用的三个区间
(-1.645, 1.645)区间面积占总面积(或总观察例数)的90%。 (-1.96, 1.96)区间面积占总面积(或总观察例数)的95%。 (-2.58, 2.58)区间面积占总面积(或总观察例数)的99%。
二、正态分布的两个参数
正态分布图形由正态分布的密度函数 f (x) 决定， 即以 f (x) 为纵轴，x 为横轴所决定的图形。其密度 函数为：
f (x)
1
(x )
2
2
e
2
2
两个不确定的常数 与 ，称为正态分布的两 个参数。 即正态总体的均数，描述了正态分布的 集中位置， 是正态总体的标准差，描述正态分布 的离散程度。若已知 与 ，即可据上式绘出正态 分布图形。
0.03
0.02
0.01
0 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160
、 变化
越大，分布越离散，曲线的形状越“肥胖”。 不同的 和不同的 ，对应于不同的正态分布。通 常用记号 N (， )表示均数为 ，标准差为 的正
态分布。
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 2 4 6
0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
统计学家制定了标准正态曲线下面积的分布表 注意表中面积指曲线下从-∞到u的面积。对于服从正 态分布的变量x，先进行标准化变换，然后借助标准 正态分布表可得到任意(x1, x2)范围内的面积或频数 比例。
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
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0.1
一、正态分布的概念
在医学卫生领域中，许多变量的取值 (频数分布)是中间(靠近均数处)较多，两边 较少，且左右对称。
这种变量的频数分布规律可用概率论 中的一种重要的随机变量分布——正态分布 (Normal distribution)加以描述。
25 20 15 10 5 0 109 113 117 121 125 129 133
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0.150.10源自050 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
标准正态分布N(0, 1)
标准正态分布的密度函数为
u
2
(u )
1 2
e
2
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D
u
1 2
e dx
u
2
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u 标准正态分布曲线下从-∝到u之间的面积示意图
D
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x
1 2
( x )
2
e
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0 105 110 115 120 125 130 135 140
对于服从正态分布的变量，只要知道 与 , 就可用下式求得曲线下区间(x1, x2)范围的面积。
D
x2
1 2
10 8 6 4 2 0 105 109 113 117 121 125 129 133
107 109 111 113 115 117 119 121 123 125 127 129 131 133
7岁男童身高的频数曲线或频率曲线，略 呈钟型，中间高，两头低，左右对称，近似 数学上的正态分布。
若变量 x 的频率曲线对应于数学上的正 态分布曲线，则称该变量服从正态分布。
越小，分布越集中，曲线的形状越“瘦高”，
三、正态曲线下面积分布规律
无论 、 取什么值，正态曲线与横轴间的面积等于1。 正态分布是对称分布，其对称轴为直线 x =，左右两侧 曲线下面积相等，各占50%。 靠近均数处曲线下面积较集中，两边逐渐减少。在 范围内曲线下面积等于0.6827，在 1.64 范围内曲线下面 积为0.9090，在 1.96 范围内曲线下面积为0.9500，在 2.58 范围内曲线下面积为0.9900。 一个服从正态分布的变量，只要求得其均数与标准差， 就能全面掌握该变量的频数分布规律。
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不同， 相同
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正态分布主要应用于
1. 估计频率分布 2. 制定医学参考值范围 3. 正态分布是许多统计方法的理论基础
制定医学参考值范围的基本步骤
确定一批样本含量足够大的“正常人”；
根据专业知识和实际用途确定单侧或双侧界值；
选定适当的百分界值如80%，90%，95%或和 99%，常用95%； 根据资料的分布特点，选用恰当的计算方法。
(x )
2
e
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dx
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但对于不同的 与 ， (x1, x2)范围内的面积
不同，即D不仅与(x1, x2)有关，还与、 有关。
四、标准正态分布
1. 标准化变换
u
x
若 x 服从正态分布 N (，) ，则 u 就服从均数为 0、标准差为1的正态分布，这种正态分布称为标准 正态分布或 u 分布，记为 N (0，1)，u 称为标准正态 变量，这一变换也称为标准化变换。
五、正态分布的应用
医疗卫生工作中许多指标近似服从正态分布。如同性 别同年龄正常儿童的身高，实验中的随机误差等服从正态 分布。此外，还有许多指标虽不服从正态分布，但通过变 量转换后，能近似服从正态分布。例如，抗体滴度、处方 费用等，原本是偏态分布的，但经过对数转换后，近似正 态。这种原不服从正态分布，但经对数转换后服从正态分 布的指标，被称为服从对数正态分布。经过转换后能近似 正态分布的指标，也能借助正态分布理论作统计处理。
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常用的三个区间
(-1.645, 1.645)区间面积占总面积(或总观察例数)的90%。 (-1.96, 1.96)区间面积占总面积(或总观察例数)的95%。 (-2.58, 2.58)区间面积占总面积(或总观察例数)的99%。
二、正态分布的两个参数
正态分布图形由正态分布的密度函数 f (x) 决定， 即以 f (x) 为纵轴，x 为横轴所决定的图形。其密度 函数为：
f (x)
1
(x )
2
2
e
2
2
两个不确定的常数 与 ，称为正态分布的两 个参数。 即正态总体的均数，描述了正态分布的 集中位置， 是正态总体的标准差，描述正态分布 的离散程度。若已知 与 ，即可据上式绘出正态 分布图形。
0.03
0.02
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0 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160
、 变化
越大，分布越离散，曲线的形状越“肥胖”。 不同的 和不同的 ，对应于不同的正态分布。通 常用记号 N (， )表示均数为 ，标准差为 的正
态分布。
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 2 4 6
0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
统计学家制定了标准正态曲线下面积的分布表 注意表中面积指曲线下从-∞到u的面积。对于服从正 态分布的变量x，先进行标准化变换，然后借助标准 正态分布表可得到任意(x1, x2)范围内的面积或频数 比例。
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