函数基本性质

必要性: xR 充分性:xR
f(x)a(x)2b(x)c b0
ax2bxc
f(x)f(x)
f(x)a2x cf(x)
bx c的 图 象 y轴关 对于
且 过3， 点 2）（ ， b和 c求 。
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例 7、 已 知 f(x等 y)f式 (x)f(y)对 于 一 x,y切 都 成 立 f(x)的 ，奇 求偶 性 。
不妨 y＝设 x,－ 则 f(xy)f(xx)f(x)f(x)f(0) 而 f( 0 ) f( 0 ) f( 0 )即 ,f（ 0 ) 0 f(x)f(x),f(x)是奇函数
解：x( ,0) 则x(0, ) f(x)(x)21x21
f (x)是奇函数 f(x)f(x)
即 x21f(x)
f(x)x21x( ,0)
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例 6、 求f(函 x)a数 2 xb xc(a,b,cR)为 偶 的充要条件。
3x2 2x1 x0
7奇.f(x)0
x0
3x2 2x1 x0
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例2： 若f ( x), g( x)是 定 义 域 为R的 奇 函 数,
h( x), q( x)是 定 义 域 为R的 偶 函 数,则
f ( x) g( x)是 _偶_____;h( x) q( x)是 _偶_____;
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图象关于
y轴 对 称
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例1、判断下列函数的奇偶性：
1偶.f(x) 4x2
奇2.fxxx3
奇3.f(x) 1 1
x1 x1
4.f(x)2x43x非 奇非 偶
5.f(x)1xx1非 奇 非 偶
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阅读书本P64,P65
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一、奇函数与偶函数的特性：
奇函数
偶函数
定义域特征 关于原点对称 关于原点对称
解析式特征 f(x)f(x) f(x)f(x)
图象的特征
图象关于
原点对称
f ( x) h( x)是__奇____; f ( x) g( x) __奇____;h( x) q( x) ___偶_____; f [g( x)]是 ____奇___; f [h( x)]是 ____偶____;
h[g( x)]是 ____偶___;h[q( x)]是 _____偶___;
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例3、已知f(x)=ax7+bx5-cx3+2,若f(10)=10,求
f(-10)的值。
解法一： f( 1) 0 a 17 0 b 15 0 c 13 0 2 10 a 17 0 b 15 0 c 13 0 8 f ( 1 ) a 0 ( 1 ) 7 0 b ( 1 ) 5 0 c ( 1 ) 3 0 2
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例8：已知函f数 (x)是定义在 R上的偶函数 且对任意 xR都有f (2 x) f (2 x), 当x[0,2]时, f (x) 3x2 求f (x)在区间 [4,0]上的解析式
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思考：
在刚才的几个函数中有的是奇 函数不是偶函数，有的是偶函 数不是奇函数，也有既不是奇 函数也不是偶函数的。那么有 没有这样的函数，它既是奇函 数又是偶函数呢？
如果有,有几个呢？
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6.f(x)1x2 x21既奇又偶
(a 17 0 b 15 0 c13 )0 2 6
解法二： 设 g(x)a7x b5x c3 x则g(x)是奇函数
g ( 1) 0 g (1) 0 8
f( 1) 0 g ( 1) 0 2 6
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判断函数奇偶性的一般步骤：
1、看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则
得出结论：该函数无奇偶性。若定义域对称，则
2、计算f（-x），若等于f（x），则函数是偶函数；若
等于-f（x），则函数是奇函数。若两者都不满足，
则函数既不是奇函数也不是偶函数。
注意：若可以作出函数图象的，直接观察图 象是否关于y轴对称或者关于原点对称也能确 定函数的奇偶性。
把f (x),g(x)看作两个变量，解组 方程
f(x)g(x)x22x1 (1) f(x)g(x)x22x1 (2)
f (x) 2x
贵有恒2何必三更眠五更起，最无益 g(x) 1 x只怕一日曝十日寒 与君共勉
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例5：设函f数 (x)是定义R在 上的奇函数 当x(0,)时, f(x)x2 1 求f(x)在(,0)上的解析. 式
例 4、f若 (x)是 奇 函 g(x数 )是， 偶 函 数 ， f(x)g(x)x22x1,求f(x),g(x)的 解 析
令 F （ x ) f(x ) g (x ) x 2 2 x 1 ,
F ( x )f( x ) g ( x )f(x)g(x)
x22x1
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练习：
1、已知偶函数f(x),当x>0时,f(x)=x(2-x),求x<0时, f(x)的解析式。
2、已知f函 (x)的 数图象关于原且点当 x对 0时 称 f(x)2x4,求当 x0时， f(x)的解析式。
3.设函f(数 x)是定义 R上在 的奇函数 当x(0, )时, f(x)x21求f(x)的解析 .