高考数学复习考点知识专题讲解课件第25讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数的应用

π
3
B.y=-2cos 2 +
D.y=2sin
π
3
2π
2−
3
[解析]由题意知函数y=2sin 2 +
π
3
的最小正周期为π,∴该函数图像向左平
π
移了 个单位长度,∴所得图像对应的函数解析式为y=2sin
4
2cos 2 +
π
3
.故选A.
2 +
π
4
+
π
3
=
课堂考点探究
(2)[2021·西安中学模拟] 将函数y=sin 2 +
期变化的数学模型.
课前基础巩固
◈ 知识聚焦 ◈
1. 用五点法画y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的简图时,要找五个特征点,如下表
所示:
x
−

ωx+φ
0
y=Asin(ωx+φ)
0
π
−
2

π
2
A
π−

π
0
3π
−
2

3π
2
-A
2π−

2π
0
课前基础巩固
2. 函数y=sin x的图像经变换得到y=Asin(ωx+φ)的图像的步骤
高考数学复习考点知识专题讲解课件
第25讲
函数y=Asin(ωx+φ) 及三角函数的应用
课前基础巩固 课堂考点探究
教师备用习题 作业手册
课标要求
1.结合具体实例,了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义;能借助图像理解参数ω,φ,A的
意义,了解参数的变化对函数图像的影响.
2.会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻画事物周
π
3
π
图像上所有的点向左平移 个单
6
位长度,再将所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),则所得
图像对应的函数解析式为(A )
A.y=cos +
π
6
B.y=sin 4 +
[解析]将函数y=sin 2 +
y=sin 2 +
π
6
+
π
3
π
3
2π
3
C.y=cos x
D.y=sin 4x
π
4
的振幅、频率和初相分别为
[解析]由振幅、频率和初相的定义可知,函数y=2sin 2 +
π
4
1π
2, ,
π4
.
的振幅为2,频率
1
π
为 ,初相为 .
π
4
2.[教材改编] 将函数y=sin x的图像向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后,得到函数
11π
y=sin
的图像,则φ=
.
6
[解析]将函数y=sin x的图像向左平移φ个单位长度后,得到函数y=sin(x+φ)的图
π
3
=0及图像得
π
π
π
π
2× +φ= +2kπ,k∈Z,解得φ=- +2kπ,k∈Z,不妨取φ=- ,
3
2
6
6
则f(x)=2cos
=2cos 2 ×
π
2−
6
π π
−
4 6
,∴f
4π
3
π
=2cos =1,
3
=f
π
3
=0,f
7π
−
4
=f
π
4
图4-25-5
课堂考点探究
(2)[2021·全国甲卷] 已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图像如图4-25-5所示,则满
1
的部分图像如图4-25-2所示,则当t=
100
−5
s时,电流强度是
A.

4
1
1
[解析]由图像知M=10,最小正周期T满足 = - = ,
2 300 300 100
2π
∴ω= =100π,∴I=10sin(100πt+φ).∵函数图像过点

1
,10
300
1
π
π
,∴100π× +φ= +2kπ,k∈Z,∴φ= +2kπ,k∈Z,
[解析] ∵点
4π
− ,0
9
在函数f(x)的图像上,∴cos ×
4π
−
9
+
π
6
π
3 9
2π
2π
- +2kπ(k∈Z),∴ω= - k(k∈Z),∴f(x)的最小正周期T= = 3 9
2
2 2
|| −
2
10π
13π
18 3 9
知 <T< ,得 < −
9
9
13 2 2
4π
π
=0,∴- ω+ =
π π
π- = +2kπ(k∈Z),解得ω=6k+2(k∈Z),所以2是ω的一个可能值.
3 6 2
课堂考点探究
[总结反思]
由y=sin x的图像变换到y=Asin(ωx+φ)的图像,两种变换中平移的量的区别:先
||
平移再伸缩,平移的量是|φ|个单位;而先伸缩再平移,平移的量是 (ω>0)个单
2
>0的最小正整数x为
.
π 5π
,
3 6
5π
6
=0,由题图
.故满足条件
图4-25-5
课堂考点探究
探究点三
函数y=Asin(ωx+φ)图像与性质的综合问题
例3 已知函数f(x)= 3sin
π
2−
y=cos
π
−
3
π
x的图像,再向右平移 个单位长度,得到
3
的图像;如果是先平移再伸缩,需要先将y=cos 2x的图像向右平移
π
个单位长度,得到y=cos
6
2
π
−
6
=cos
π
2−
3
标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=cos
的图像,再将图像上各点的横坐
π
−
3
的图像.
课堂考点探究
(2)若把函数y=sin
3
π
C.向右平移 个单位长度,再将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)
6
π
D.向右平移 个单位长度,再将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)
3
课堂考点探究
[思路点拨]利用先伸缩再平移或先平移再伸缩两种变换方法判断选项;
[解析]如果是先伸缩再平移,那么需要先将y=cos 2x图像上各点的横坐标伸长
到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=cos
4 3 12 4

π
2π
五点作图法及|φ|<π得2× +φ=0,∴φ=- ,则f(x)=sin
3
3
2π
2−
3
.易知A正确.
2π
π
π π
令2x- =kπ- ,k∈Z,解得x= + ,k∈Z,∴f(x)的图像的对称轴方程为
3
2
2 12
π π
5π
x= + ,k∈Z,∴直线x= 不是该函数图像的对称轴,B错误.
π
图像上所有的点向左平移 个单位长度,得到
6
=sin 2 +
2π
3
=cos 2 +
π
6
的图像,再将所得图像上所有
点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),则所得图像对应的函数解析式为
y=cos +
π
6
.故选A.
课堂考点探究
探究点二
函数y=Asin(ωx+φ)的图像与解析式
例2 [2020·全国卷Ⅰ] 设函数f(x)=cos +
π
−
6
像,由题意知y=sin
π
−
6
=sin +
11π
6
11π
,0≤φ<2π,所以φ= .
6
课前基础巩固
3. [教材改编] 已知函数f(x)=sin(ωx+φ) > 0,|| <
所示,则φ=
π
6
的部分图像如图4-25-1
.
[解析]由图像可知,最小正周期T=4×
2π
π
ω= =2.因为f
π
|φ|


课前基础巩固
3. y=Asin(ωx+φ)的有关概念
y=Asin(ωx+φ)
(A>0,ω>0)
振幅
A
周期
2π
T=

频率

1
f= = 2π
T
相位
初相
ωx+φ
φ
课前基础巩固
[常用结论]

1.“五点法”作图中,相邻两点的横向距离均为 .
4
2.在正弦函数图像、余弦函数图像中,相邻的两个对称中心以及相邻的两条对
π
6
在[-π,π]的图像大致如图4-25-3
C )
所示,则f(x)的最小正周期为(
10π
A.
9
7π
B.
6
4π
C.
3
[思路点拨] 根据点
3π
D.
2
4π
− ,0
9
在函数f(x)的图像上得
到ω的值,结合函数图像得到函数f(x)的最小正周期
的范围,进而得到函数f(x)的最小正周期.
图4-25-3
课堂考点探究
9
6
(k∈Z).由图可
2
9
1
1
25
11
< (k∈Z),解得- <k< 或 <k< (k∈Z),故k=0,
5
15
39 39
15
4π
则f(x)的最小正周期为 .故选C.
3
图4-25-3
课堂考点探究
[总结反思]
根据三角函数图像求解析式,重在对A,ω,φ的理解,主要从以下三个方面考虑:
(1)根据最大值或最小值求出A的值.
(2)根据最小正周期求出ω的值.
(3)求φ的常用方法如下:①代入法,把图像上的一个已知点的坐标代入(此时要
注意该点的位置)或把图像的最高点或最低点的坐标代入.②五点法,确定φ的
值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
课堂考点探究
变式题 (1)(多选题)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图像如图4-254所示,则下列结论正确的是( AC )
4.为了得到函数y=2sin
π
15 个单位长度.
[解析] y=2sin
π
5−
3
π
5−
3
=2sin 5
单位长度即可得到y=2sin
的图像,可以将函数y=2sin 5x的图像向 右 平移
π
−
15
π
5−
3
,故将函数y=2sin
的图像.
π
5x的图像向右平移 个
15
课前基础巩固
5.若f(x)=2sin(ωx+φ)+m对任意实数t都有f
300
2
6
π
π
又0<φ< ,∴φ= ,∴I=10sin
2
6
I=-5(A).
100π +
π
6
1
.∴当t=
100
s时,
图4-25-2
π
2
课前基础巩固
7.已知函数f(x)=2sin
π

3
+
|| <
π
2
π
6
的图像经过点(0,1),则φ=
.
Hale Waihona Puke [解析]将(0,1)代入函数f(x)的解析式,可得2sin φ=1,即sin
π
−
6
π
的图像向左平移 个单位长度,所得到的图像与函数
3
y=cos ωx的图像重合,则ω的一个可能取值是( A )
A.2
3
B.
2
2
C.
3
1
D.
2
[思路点拨]利用诱导公式和函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换规律即可求解.
[解析]由题意可知y=sin +

π
π−
3
6
的图像和函数y=cos ωx的图像重合,则
称轴之间的距离均为半个周期.
3.若直线x=a为正(余)弦曲线的对称轴,则正(余)弦函数一定在x=a处取得最值.
−
4.若函数y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0)的最大值为M,最小值为m,则A=
,
2
+
k=
.
2
课前基础巩固
◈ 对点演练 ◈
题组一 常识题
1. [教材改编] 函数y=2sin 2 +
2 12
12
3π
2π
π
令2kπ- ≤2x- ≤2kπ- ,k∈Z,得f(x)的单调递减区间为
2
3
2
5π
π− ,π
12
当x∈
π π
,
6 2
+
π
12
,k∈Z,C正确.
2π
时,2x- ∈
3
π π
− ,
3 3
,f(x)=sin
2π
2−
3
∈−
3 3
,
2 2
图4-25-4
,D错误.故选AC.
课堂考点探究
(2)[2021·全国甲卷] 已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图像如图4-25-5所示,则满
足条件 ()−
7π
−
4
4π
3
()−
2
>0的最小正整数x为
.
3
13π π
[解析]由题图知 T= - (T为函数f(x)的最小正周期),
4
12 3
∴T=π,则|ω|=2,不妨取ω=2.由f
A.函数f(x)的最小正周期为π
5π
B.函数f(x)图像的一条对称轴为直线x=
12
C.函数f(x)的单调递减区间为
D.当x∈
π π
,
6 2
5π
π− ,π
12
时,函数f(x)的取值范围为
+
π
12
3
,1
2
,k∈Z
图4-25-4
课堂考点探究
π π π
2π
[解析]由题中图像知,A=1,最小正周期T满足 = - = ,∴T=π,∴ω= =2,根据
7π
−
4
足条件 ()−
∴ ()−
7π
−
4
()−
()−
>0,则f(x)>1或f(x)<0.当x∈
π
0<x< ,区间
4
知,当x∈
π
0,
4
π 5π
,
3 6
4π
3
4π