福建省第一中学2021届高三数学上学期月考二试题 理

福建省连城县第一中学2020届高三数学上学期月考二试题 理
（考试时间：120分钟 总分：150分）
试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合{|A x y ==， {|31,}B x x n n N +==-∈，则A
B =（ ）
A ．{2}
B ．{}2,5
C ．{}2,5,8
D ．{}1,2,5,8-
2.已知命题2
:,10p x R x x ∀∈-+>；命题:q a b >是11
a b
>的充要条件，
则下列为真命题的是（ ）
A ．p q ∧ B.p q ⌝∨ C ．p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝
3.一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的体积为( ) A.π2 B ．π C.3
2
π D.3π
4.已知数列{}n a 为等差数列，且满足251115a a a ++=，则数列{}n a 的前11项和为（ ）
A ．40
B ．45
C ．50
D ．55
5.已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）
A ．a c b <<
B ．a b c <<
C ．b c a <<
D ．c a b <<
6. 将函数2()cos(2)cos 23
f x x x π
=-
+的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值是( )
A.
6π
B.3π
C.23
π D.56π 7. 若1x =是函数2
1
()(1)x f x x ax e
-=+-的极值点，则()f x 的极大值为（ ）
A. 1-
B. 32e --
C. 35e -
D. 1
8. 函数22
sin 22()(,00,)133x x f x x x ππ⎡⎫⎛⎤
=∈-⋃⎪ ⎢⎥+⎣⎭⎝⎦
的图像大致为（ ）
A B C D
9. 设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α,//m β,则//αβ B ．若αβ⊥，m α⊥，//n β，则m n ⊥ C ．若m α⊥,//m n ,则n α⊥ D ．若αβ⊥,m α⊥,则//m β
10.在ABC ∆中，点M 为AC 的中点，点N 在AB 上，NB AN 3=,P 在MN 上，PN MP 2=,那么=AP ( )
AC AB 6132- B. AC AB 2131- C. AC AB 6131- D. AC AB 6
1
21+
11. 11.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2m ，E 为AA 1的中点，动点P 从点D 出发，沿DA －AB －BC －CD 运动，最后返回D 。

已知P 的运动速度为1m/s ，那么三梭锥P －EC 1D 1的体积y(单位：m 3
)关于时间x(单位：s)的函数图象大致为( )
12．对于函数ln ()x
f x x
=
，下列结论中正确结论的个数为（ ） ①()f x 在x e =处取得极大值1
e
；②()f x 有两个不同的零点；③()(2)(3)f f f <<π；
④若1()f x k x <-在(0,)+∞上恒成立，则1k >；⑤0x ∀>，2
()ln f x x x e
<+恒成立．
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1个
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：（本小题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知向量a 与b 满足||1a =，4b =，且(2)a b a -⊥，则向量a 与b 的夹角为__________。

14. 设变量,x y 满足约束条件3
11x y x y y +≤-≥-≥⎧⎪
⎨⎪⎩
,则目标函数42z x y =+的最大值为 ．
15.设当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，函数()sin 22cos f x x x =+的最大值为______. 16.已知定义在R 上的连续函数()y f x =对任意实数x 满足(4)()f x f x -=，()2()0x f x '->,则下列命题正确的有 。

①若(2)(6)0f f <，则函数()y f x =有两个零点；②函数(2)y f x =+为偶函数；
③(sin12cos12)f f >+；④若12x x <且124x x +>,则12()()f x f x <。

三、解答题：（本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） （一）必考题：共60分. 17.(本小题满分12分）
已知数列{}n a 为等比数列，且132()n n n a a n N *
++=⋅∈。

（1） 求{}n a 的通项公式；
（2） 设21log n n b a =+，求11n n b b +⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n S . 18.(本小题满分12分）
在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2a =且2
2
4bc b c +=+。

（1）求角A 的大小； （2）求
2c
b
的取值范围．
19.已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD 是边长为2的蓌形，PA⊥平面ABCD,PA=2,∠ABC=60°，E,F 分别是BC,PC 的中点。

（1）求证：AE⊥PD；
（2）求二面角E-AF-C 的余弦值。

20.(本小题满分12分）
某市城郊有一块大约500m ×500m 的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形体育活动场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S 平方米。

(1)分别用x 表示y 及S 的函数关系式，并给出定义域；
(2)请你设计规划该体育活动场地，使得该塑胶运动场地占地面积S 最大，并求出最大值。

21. (本小题满分12分）
已知函数()
()2
12(),()2cos 2x
f x
g x x x x +=
=++.
（1）当[]1,1x ∈-时，求证：11()3
f x -≤≤
； （2）若不等式sin ()x a g x ≤⋅对0x ≥恒成立，求a 的取值范围。

（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一
题计分.
18. 选修4-4：坐标系与参数方程（本小题共10分）
平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：22
(1)1x y －＋＝．直线l 经过点P （m ，0），且倾斜角为
6
．以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． （Ⅰ）写出曲线C 的极坐标方程与直线l 的参数方程；
（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且｜PA ｜·｜PB ｜＝1，求实数m 的值．
23.选修4-5：不等式选讲（本小题共10分） 已知函数f （x ）＝｜x ＋6｜－｜m －x ｜（m ∈R ）． （Ⅰ）当m ＝3时，求不等式f （x ）≥5的解集；
（Ⅱ）若不等式f （x ）≤7对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围．
连城一中2020-2021学年第一学期第二次月考
高三理科数学试题
参考答案
一、 选择题。

（每小题5分，共60分）
二、 填空题。

（每小题5分，共20分） 13. 60︒ 14. 10 15.
2
16. ①②④
三、解答题。

17.（本题共12分） （1）由题意，得1212
6
12a a a q a q +=⎧⎨
+=⎩……………2分
解得q =2，12a =…………………5分
所以{}n a 的通项公式为2n
n a =………6分
（2）由（1）知2n
n a =， 21log 21n n b n ∴=+=+………7分
11111
(1)(2)12
n n b b n n n n +==-++++........................9分 11111111 (2334122224)
n n
S n n n n ∴=-+-+-=-=
++++ ∴11n n b b +⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为24n
n
S n =+…………………………………12分 18.（本题共12分） 解： （1）
2a =
2224bc a bc b c ∴+=+=+
222
b c a bc ∴+-=……………2分
由余弦定理得2221
cos 222
b c a bc A bc bc +-===……………..3分
又0A π<<
3
A π
∴=
……………..5分
（2）由（1）知3
A π
=
由正弦定理得sin sin sin a b c A B C ====
,b B c C ∴=
=……………..6分
22sin()
231sin B c b B B π-∴====……………..8分
由022032B B πππ
⎧
<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩
得62B ππ<<……………..9分
tan 3
B ∴>
……………...10分 从而214c
b
<
<……………...11分 2c
b
∴
的取值范围是（1,4）……………..12分
19. （本题共12分）
解：Ⅰ）BC=AB ，∠ABC=60°，∴AE⊥BC，∴△ABC 是等边三角形； 又E 是BC 中点，∴AE⊥BC，BC∥AD，∴AE⊥AD；
PA⊥面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，PA⊥AE，即AE⊥PA，AD∩PA=A； ∴AE⊥平面PAD ，∴AE⊥PD
（2）以菱形对角线交点为原点建立坐标系更好求点坐标（个人观点）
＝（3,0,0），
＝（
3，1
2
，1） 设平面AEF 的一法向量为m=(x 1,y 1,z 1)，则00
m AE m AF ⎧=⎪
⎨=⎪⎩，因此11113031
02
x x y z ⎧=⎪⎨++=⎪取z 1=-1，则m=(0,2,-1)分 因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以BD⊥平面AFC ，故为平面AFC
的一法向量.又
=（-,3,0），所以cos ＜m,
＞=
15
5512
m BD m BD
=
=⨯.因为二
面角E-AF-C 为锐角，所以所求二面角的余弦值为15
5
.
20.解：（1）由已知3000
3000,,xy y x
=∴=
其定义域是(6,500).……………2分 (4)(6)(210),S x a x a x a =-+-=-
150015000
(210)(3)30306S x x x x
∴=--=--,其定义域是(6,500).……………6分
（2）15000150003030(
6)303026303023002430,S x x x x
=-+≤-=-⨯= 当且仅当
15000
=6x x
，即50(6,500)x =∈时，上述不等式等号成立， 此时，max 5060,2430.x y S ===，
答：设计50m 60m x y ，== 时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米.
.………………………………………12分
21. （本题共12分）
解：（1）
()()2
3
122(1)
,
(2)(2)x
x f x f x x x +-'=
=-
++……………..1分
[]()1,1,0x f x '∈-∴≥ ，所以函数()f x 在[]1,1-上递增……………..2分 当1x =-时，()f x 取最小值-1， 当1x =时，()f x 取最大值
1
3
……………..4分 ∴1
1()3
f x -≤≤
；……………..5分 （1） 不等式sin ()x a g x ≤⋅等价于
sin 2cos x
ax x
≤+
令sin ()(0)2cos x x ax x x
ϕ=-
≥+， 则2
12cos ()(2cos )x x a x ϕ+'=-+
由（１）知2121
1(2cos )3
cosx x +-≤
≤+……………..6分
①当1
3
a ≥
时，()0x ϕ'≥，所以函数()x ϕ在[)0,+∞上递增
所以 ()(0)0x ϕϕ≥=满足条件 ……………..7分
②当0a ≤时，1
()0222
a ππϕ=⋅-<∴不满足条件……………..8分
③当103a <<
时，对sin 0,()23
x x x ax πϕ<<<- 令sin ()3x h x ax =-
， cos ()3
x
h x a '=- 显然'
()h x 在(0,)2
x π
∈上单调递增
又''1(0)0,()0032
h a h a π
=-<=-> 存在00,
2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，使得0(0,)x x ∈时，()0h x '≤ ∴()h x 在0(0,)x 上单调递减，∴()(0)0h x h <=
∴0(0,)x x ∈时()0h x < ∴不满足条件……………..11分
综上得，a 的取值范围1
3
a ≥。

……………..12分 22．选修4-4：解：(1)C 曲线的普通方程为:2
2
2
2
(1)1,2,x y x y x -+=+=即即
22cos ρρθ=,
:2cos C ρθ=即曲线的极坐标方程为. …………2分
2().12
x m t l t y t ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩直线的参数方程为为参数 …………5分 (2)12,,,A B t t l 设两点对应的参数分别为将直线的参数方程代入2
2
2,x y x +=中
2220,t t m m ++-=得2122t t m m =-所以, …………8分
2|2|1,1,11m m m -==-由题意得得 …………10分
22．选修4-5：解：（1）当3m =时，()5f x ≥即|6||3|5x x +--≥， ①当6x <-时，得95-≥，所以x φ∈；
②当63x -≤≤时，得635x x ++-≥，即1x ≥，所以13x ≤≤；
③当3x >时，得95≥，成立，所以3x >.…………………………………4分 故不等式()5f x ≥的解集为{}|1x x ≥.…………………………………5分 （Ⅱ）因为|6||||6|x m x x m x +--≤++-＝|6|m + 由题意得67m +≤，则767m -≤+≤，…………8分 解得131m -≤≤,
故m 的取值范围是[13,1]-.……………………………………………10分。