内蒙古集宁一中2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)

内蒙古集宁一中2018-2019学年高一上学期期末考试
数学试题
第一卷（选择题共60分）
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。

每小题5分，共60分）
1. 设A={a，b}，集合B={a+1，5}，若A∩B={2}，则A∪B=（）
A. {1，2}
B. {1，5}
C. {2，5}
D. {1，2，5}
【答案】D
【解析】
试题分析：由A∩B={2}可知集合A，B中都含有2，
考点：集合的交并运算
2.已知直线与平行，则实数的取值是 ( )
A. －1或2
B. 0或1
C. －1
D. 2
【答案】C
【解析】
因为两直线的斜率都存在，由与平行得，当时，两直线重合，，故选C.
3.已知，，则（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】A
【解析】
f(3)＝f(5)＝f(7)＝7－5＝2.故选A.
4.已知，则直线通过（）
A第一、二、三象限
B第一、二、四象限
C第一、三、四象限
D第二、三、四象限
【答案】C
【解析】
由直线ax＋by＋c＝0，得：
∵ab＜0，bc＜0，∴，
即直线的斜率为正值，纵截距为正值；
故直线ax＋by＋c＝0通过第一、二、三象限.
5.直线y=3与函数y=∣x2-6x∣的图像的交点个数为（）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 1个
【答案】C
【解析】
【分析】
联立方程组求解，根据解的个数来判断结果。

【详解】由得：或，
解得：或
所以直线y=3与函数y=∣x2-6x∣的图像的交点个数为：4个。

故选：C
【点睛】本题主要考查了函数图像交点个数问题，考查了方程思想，属于基础题。

6.函数的定义域为（）
A. （，1）
B. （，∞）
C. （1，+∞）
D. （，1）∪（1，+∞）
【答案】A
【解析】
解：由解得，所以原函数的定义域为。

7. 如图:正四面体S－ABC中，如果E，F分别是SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（）
A. 90°
B. 45°
C. 60°
D. 30°
【答案】B
【解析】
正四面体S－ABC中，如果E，F分别是SC，AB的中点，那么取SA的中点G，连接EG,FG,则可通过解三角形得到异面直线EF与SA所成的角45°，选B.
8.设a>b>c>1，则下列不等式中不正确的是( )
A. a c>b c
B. log a b>log a c
C. c a>c b
D. log b c<log a c
【答案】D
【解析】
【分析】
利用对数与指数式互化，对，变形即可判断。

【详解】令，，
则，，即
因为a>b>c>1，所以，所以log b c<log a c不正确。

故选：D
【点睛】本题主要考查了对数与指数式互化，还考查了指数运算，属于基础题。

9.设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①若，，则；②若，，，，则；
③若，，则；④若，，，，则
其中真命题的个数是（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
对于①，②可在正方体中举例说明它们错误即可。

对③利用面面平行的定义即可判断其正确，对于④利用线面平行的性质来证明即可。

【详解】对照下图，
对于①，令平面，平面,平面,
满足，，但是与不平行。

所以①错误。

对于②，令平面，平面，，
满足，，，，但是与不平行，所以②错误。

对于③，利用面面平行的定义即可判断③正确，
对于④，，同理可得：，所以，所以④正确。

故选：B。

【点睛】本题主要考查了面面平行的判断及线面平行的判断，还考查了线面平行的性质，属于基础题。

10.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）
A. 30
B. 60
C. 20
D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】
由三视图还原，还原后的几何体是一个长方体中对应的三棱锥，问题得解。

【详解】由题可得，该几何体是下图长方体中的三棱锥,
其中,,
所以该三棱锥的体积为：，
故选：D
【点睛】本题主要考查了三视图还原，还考查了锥体体积计算，属于基础题。

11.已知是上的减函数，那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：根据题意，由于是上的减函数，则说明x<1时，3a-1<0,,同时由于对数函数递减，则说明底数,同时要满足当x=1时，有3a-1+4a,故解得参数a的范围是，故选B.
考点：函数的单调性
点评：解决的冠关键是理解分段函数的单调性，要整体来分析，每段都是减函数，同时右边函数的最大值，要小于等于左边函数的最小值即可，属于基础题。

12.如图,三棱锥中,,,且,则三棱锥的外接球表面积为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
∵面，面，∴，∵，，∴面，∵面，∴，取的中点，则，∴为球心，∵，∴，∴球半径为，∴该三棱锥的外接球的表面积为，故选B.
第二卷（非选择题共 90分）
二．填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分。

把答案填在题中横线上）
13.若幂函数y＝(m2＋3m＋3)的图象不过原点，且关于原点对称，则m＝________.
【答案】-2
【解析】
【分析】
根据函数为幂函数，可知函数的系数为1，从而可求m的取值，再根据具体的幂函数，验证是否符合图象不过原点，且关于原点对称即可．
【详解】由题意，m2+3m+3=1
∴m2+3m+2=0
∴m=﹣1或m=﹣2
当m=﹣1时，幂函数为y=x﹣4，图象不过原点，且关于y轴对称，不合题意；
当m=﹣2时，幂函数为y=x﹣3，图象不过原点，且关于原点对称，符合题意；
故答案为：-2
【点睛】本题以幂函数性质为载体，考查幂函数的解析式的求解．函数为幂函数，可知函数的系数为1是解题的关键．
14.已知点,直线过点 ,且与线段相交,则直线的斜率的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用斜率计算公式及其意义即可得出．
【详解】k PA==﹣4，k PB==．
∵直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，
则直线l的斜率k的取值范围是k≥或k≤﹣4．
故答案为：.
【点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
15.若直线与直线与直线互相垂直，则实数=_______
【答案】
【解析】
：，即
16.在△中，，，，若使△绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是．
【答案】
【解析】
试题分析：过A作AD垂直BC于D点，则，因此所形成的几何体的体积是
考点：旋转体体积
三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(1)
(2)
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用分数指数幂的运算求解即可
（2）利用对数运算知识求解即可。

【详解】（1）原式=
==.
（2）原式=
=
【点睛】本题主要考查了指数幂的运算及负分数指数幂，还考查了对数运算知识，考查计算能力，属于基础题。

18.设直线L的方程为（a＋1）x＋y＋2－a＝0（a∈R）。

⑴求证：不论a为何值，直线L必过一定点；
⑵若直线L在两坐标轴上的截距相等，求直线L的方程；
⑶若直线L不经过第二象限，求a的取值范围。

【答案】（1）；（2）或；（3） .
【解析】
【分析】
（1）对直线L的方程（a＋1）x＋y＋2－a＝0整理即可
（2）对是否为0分类讨论，结合直线的截距概念列方程求解。

（3）由直线的斜率及纵截距列不等式组求解即可。

【详解】（1）由（a＋1）x＋y＋2－a＝0整理得：，
当时，方程总是成立，
即：，方程总是成立，
所以不论a为何值，直线L必过一定点。

（2）由（a＋1）x＋y＋2－a＝0整理得：，
当时，直线L的方程为：，此时直线的横、纵截距都为0，满足题意。

当时，直线L的方程可化为：，要使得直线L在两坐标轴上的截距相等，则，即：。

此时直线L的方程为：。

（3）直线L不经过第二象限，则，解得：
【点睛】本题主要考查了直线过定点问题，还考查了直线的截距概念，直线图像特征相关知识，属于基础题。

19.已知三棱锥A-BCD中，底面BCD为边长等于2的等边三角形，AB⊥面BCD，AB=3。

（1）求点B到平面ACD的距离
（2）求直线AB与平面ACD所成角的余弦值。

【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求出三角形的面积，利用等体积法计算点B到平面ACD的距离即可。

（2）利用（1）中的结果解三角形即可。

【详解】（1）过点作CD的垂线段，连接AE,过点B作AE的垂线段BF.则线段BF的长就是B到平面ACD
的距离，设点B到平面ACD的距离为，
由题可得：,
,
所以
又,所以，解得：
（2）由（1）得：直线AB与平面ACD所成角就是中的，其正弦值为：，
所以直线AB与平面ACD所成角的余弦值为：
【点睛】本题主要考查了等体积法求三棱锥的高，还考查了线面角知识，考查同角三角函数基本关系及计算能力，属于基础题。

20.已知函数，为实数。

（1）求函数y=f(x)的最小值；
（2）求实数的取值范围，使在区间上是单调函数。

【答案】（1）当；当；当；（2） . 【解析】
【分析】
（1）对的范围分类讨论其最小值即可。

（2）对函数的对称轴限制即可求得使在区间上是单调函数的实数的取值范围
【详解】（1）函数的对称轴为：，
当时，即：时，=，
当时，即：时，=，
当时，即：时，=，
（2）要使在区间上是单调函数，则或，
即：.
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，考查分类讨论思想，属于基础题。

21.如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)中，AB=8，，BC=10，D是BC边中点。

（1）求证：；
（2）求证：∥ 面；
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）证明平面即可。

（2）连接交于点M，连接DM，证明DM//即可。

【详解】（1）由直三棱柱得：平面ABC,
所以AB.
又AB=8，，BC=10满足,
所以AC.
所以平面，又平面,
所以.
（2）连接交于点M，连接DM
由题可得：M是线段的中点，又D是BC边中点，
所以DM//，又DM平面，
所以∥面.
【点睛】本题主要考查了线线垂直的证明及线面平行证明，考查了转化思想，属于基础题。

22.如图，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AB⊥BC，AF⊥PC,PA=AB=BC=2
（1）求证：平面AEF⊥平面PBC；
（2）求二面角A—PC—B的大小；
（3）求三棱锥P-AEF的体积。

【答案】（1）见解析；（2）；（3） .
【解析】
【分析】
（1）证明BC平面PAB，即可证明AE BC，即可证明AE平面PBC，
即可证得：PC平面AEF，问题得证。

（2）由（1）得PC平面AEF，所以就是二面角A—PC—B的一个平面角，解三角形即可. （3）利用三棱锥体积公式求解即可.
【详解】（1）因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，又AB⊥BC
所以BC平面PAB，又AE平面PAB，
所以AE BC，又AE⊥PB，
所以AE平面PBC.
所以AE PC，又AF⊥PC，
所以PC平面AEF，平面PBC，
所以平面AEF⊥平面PBC.
（2）由题可得：，,所以,,
解得：,同理可得：，
由及可得：，由可得：
,所以,在三角形AEF中由余弦定理可得：
，
所以.
所以二面角A—PC—B的大小为.
（3）.
【点睛】本题主要考查了面面垂直的证明，考查了转化思想，还考查了二面角的概念及余弦定理，锥体体积公式，考查计算能力，属于基础题。

23.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O为AC与BD 的交点，E为棱PB上一点．
（1）证明：平面EAC⊥平面PBD；
（2）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD的体积．
【答案】（1）见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）证明AC平面PBD即可。

（2）由PD∥平面EAC可得：E为线段PB的中点，利用体积转换即可求解.
【详解】（1）由底面ABCD是菱形可得：AC BD，
又PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AC.
所以AC平面PBD，
所以平面EAC⊥平面PBD.
（2）由PD∥平面EAC可得：,又O为BD的中点，
所以E为线段PB的中点，
由题可得：,
所以.
【点睛】本题主要考查了面面垂直的证明，考查转化思想及空间思维能力，还考查了体积计算，属于基础题。