海南省海南中学2018届高三数学上学期第四次月考试题理201901080286

海南中学2018届高三第四次月考
理科数学
（考试用时为120分钟，满分分值为150分.）
注息事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卷上，写在本试卷上无效.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设复数21i
z i
=
-，则z =（ ） A ．1i -+ B ．1i -- C ．1i + D ．1i -
2. 已知向量()()()3,1,1,3,,2a b c k ===-，若()
//a c b -，则实数k 的值等于（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 3. 若()
2,4,a b a b a ==+⊥，则a 与b 的夹角为（ ） A ．
6
π
B ．
3
π
C ．
23π D ．43
π
4. 已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若336,12a S ==，则公差d 等于（ ）
A ．1
B ．
5
3
C ．2
D ．3 5. 已知数列{}n a 中，13a =，11
1
n n a a +=-+（*n ∈N ），则2017a 的值等于（ ） A ．3 B ．14
-
C ．4
3- D ．3-
6. 数列{}n a 的通项公式为()()
1
2121n a n n =
-+，则数列{}n a 的前n 项和n S =（ ）
A ．
221n n + B ．21n n + C ．241n n + D ．41
n
n + 7. 在等比数列{}n a 中，首项11a =,且3454,2,a a a 成等差数列, 若数列{}n a 的前n 项之积．
为n T ,则10T 的值为（ ）
A ．921-
B ．362
C ．1021-
D ．45
2
8. 一个等差数列的项数为2n ，若132190n a a a -++⋅⋅⋅+=，24272n a a a ++⋅⋅⋅+=，且1233n a a -=，则该数列的公差是（ ）
A.3
B.-3
C.-2
D.-1
9. 在ABC ∆中，2AB =，3BC =，60ABC ∠=，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若(),AO AB BC R λμλμ=+∈，则λμ+的值为（ ）
A.
23
B.
3
4
C.
5
6
D.1
10. 在ABC ∆中，90C =，6,3CA CB ==，点M 满足2BM MA =，则CM CB ⋅=（ ）
A ．2
B ．3
C ．3-
D ．6
11. 设ABC ∆的三内角A B C 、、成等差数列，sin sin sin A B C 、
、成等比数列，则这个三角形的形状是（ ）
A ．直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
12. 已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，其导函数为()f x '，且1
(1)2
f =
，不等式1()f x x x '≤
+的解集为(0,1]，则不等式2()ln 12
f x x x ->的解集为（ ） A ．(0,1) B ．(0,)+∞ C ．(1,)+∞ D ．(0,1)(1,)+∞
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做
答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 数列{}n a 的前n 项的和231n S n n =++，则此数列的通项公式n a = ． 14. 已知数列{}n a 中，)(1
3,1*11N n a a a a n n
n ∈+=
=+，则{}n a 的通项公式
=n a ．
15. 若等差数列}{n a 满足0987>++a a a ，0107<+a a ，则当=n 时，}{n a 的前n 项和最大.
16. 已知向量,,a b c 满足→→→→=++0c b a ，→
→→→-=b a c c 与,32所成的角为
120，则当
时R t ∈，(1)ta t b +-的最小值是 ．
三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 向量
()si n ,cos m x x =，()()()cos ,sin n x A x A =--，函数()()f x m n x R =⋅∈ 在512
x π
=
处取得最大值．
（1）当0,
2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，求函数()f x 的值域；
（2）若ABC ∆的面积等于13b c +=，求a 的值．
18. （本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且12,111+==+n n S a a ，数列
{}n b 满足11b a =，点),(1+n n b b P 在直线02=+-y x 上，*∈N n ．
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设n
n
n a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．
19. （本小题满分12分）某校从6名学生会干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加青年联合会志愿者.
（1）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；
（2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率.
20. （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中， PD ⊥底面ABCD , //AB CD , ,2,3,3
BAD AB CD π
∠=
== M 为线段
PC 上一点且2PM MC =.
（1）证明： BM ∥平面PAD ;
（2）若2AD =, 3PD =，求二面角D MB C --的正弦值．
21. （本小题满分12分）对于函数()y f x =的定义域为D ，如果存在区间[],m n D ⊆，
同时满足下列条件：①()f x 在[],m n 上是单调函数；②当()f x 的定义域为[]
,m n 时，值域也是[],m n ，则称区间[]
,m n 是函数()f x 的“K 区间”．
对于函数(
)()ln ,0
0,0
a x x x f x a a x ->⎧⎪=>≤．
（1）若1a =，求函数()f x 在(),1e e -处的切线方程； （2）若函数()f x 存在“K 区间”，求a 的取值范围．
请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，已知直线l
的参数方程为 112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
(t 为参数).以原点O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos21ρθ=，直线l 与曲线C 交于,A B 两点.
(1)求AB 的长； (2)若点P 的极坐标为π1,
2⎛⎫
⎪⎝⎭
，求AB 中点M 到P 的距离.
23. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 设函数()1
f x x x a a
=+
+-（0a >）
． （1）证明：()2f x ≥；
（2）若()35f <，求a 的取值范围．
海南中学2018届高三第四次月考
理科数学 参考答案
一、选择题：
1—12：BDCCAB DBADDD 二、填空题
13．5,162,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩
14．132n - 15．8 16．3
2
三、解答题
17．（本小题12分）在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,,a b c ()sin ,cos m x x =，
()()()cos ,sin n x A x A =--，函数()()f x m n x R =⋅∈ 在512
x π
=
处取得最大值． （1）当0,
2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，求函数()f x 的值域；
（2）若ABC ∆的面积等于13b c +=，求a 的值． 解:（1）()()()sin cos cos sin f x x x A x x A =-+- ()sin 2x A =- 因为函数在512x π=
处取得最大值，所以52122A ππ⨯
-=，得3
A π
= 所以()sin 23f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
因为0,
2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，所以22,333x πππ⎛⎫⎛⎫
-
∈- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，则函数值域为⎛⎤ ⎥ ⎝⎦
（2）由（1）知3
A π
=
，所以由1
S sin 2
bc A =
=40bc =， 又由余弦定理得22222cos ()492a b c bc A b c c b b a =+-=-=-+，所以7a =
18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且12,111+==+n n S a a ，数列{}n b 满足11b a =，点
),(1+n n b b P 在直线02=+-y x 上，*∈N n ．
（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设n
n
n a b c =
，求数列{}n c 的前n 项和n T 。

解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得
()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥．又21213a S =+= ,所以213a a =．
故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列．所以13n n a -=． 由点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上，所以12n n b b +-=．
则数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列．则()11221n b n n =+-⋅=-． （Ⅱ）因为121
3
n n n n b n c a --==，所以0121
13521
3333n n n T --=+++
+
． 则123
11352133333n n
n T -=
++++
, 两式相减得：
1
1
211113322222121121112213333333313
n n n n n n n n n n T ---⎡⎤
⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭---⎢⎥⎛⎫⎣⎦=++++-=+⨯
-=-- ⎪⎝⎭
- 211
1211
3323233n n n n n n T ----+∴=--=-⋅⋅
19．某校从6名学生会干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加青年联合会志愿者。

（1）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望； （2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率。

解：（1）由题意得ξ可能取值为0，1，2；
()34361
05C P C ξ∴===, ()142362315C C P C ξ∴===, (
)12
423
6125
C C P C ξ∴===. ξ∴的分布列为：
0121555
E ξ∴=⨯+⨯+=.
（2）解：设事件A ：男生甲被选中；事件B ：女生乙被选中。

则由题意可得()253612C P A C ==; ()1
4361
5C P AB C ==, ()()()2| 5
P AB P B A P A ∴==
故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为
25
.
20．如图，四棱锥P ABCD -中， PD ⊥底面A B C D ， //AB CD ，
,2,3,3
BAD AB CD π
∠=
== M 为PC 上一点2PM MC =．
（1）证明： BM ∥平面PAD ；
若2AD =， 3PD =，求二面角D MB C --的正弦值．
解：证明：（1）在DC 上取点E ，使2DE =， 则//DE AB ， DE AB =，
则四边形ABED 是平行四边形，则//EB AD ， ,AD PAD EB PAD ⊂⊄又面面，所以//EB PAD 面
2,//,PM DE
PD ME MC EC
==∴ ,PD PAD ME PAD ⊂⊄又面面，所以//ME PAD
面
又ME EB E ⋂=，,EB MBE ME MBE ⊂⊂面面
所以平面PAD ∥平面MBE ，∵BM ⊂平面MBE ，∴BM ∥平面PAD
（或者在PD 上取点F ,先证ABMF 是平行四边形，再由线线平行得线面平行也可）
（2）ABD ∆是正三角形，建立以D 为坐标原点的空间直角坐标系如图：
则)
()()(),0,0,3,0,3,0,0,2,1,B
P C M
所以(
)
()3,1,0,0,2,1,DB DM =
=
设平面DBM 的法向量为(),,,n x y z =
则由30{
,20
n DB x y n DM y z ⋅=+=⋅=+=得{
,2y z y
==-令1,x =则
3,23y z ==，
则(1,3,2,n =-
同理得平面MBC 的法向量为(2,3,,m = 则610
cos ,8410
m n m n m n ⋅+=
==⋅⨯
则二面角D MB C --的正弦值sin α=
21．对于函数()y f x =的定义域为D ，如果存在区间[],m n D ∈，同时满足下列条件： ①()f x 在[],m n 上是单调函数；
②当()f x 的定义域为[],m n 时，值域也是[],m n ，则称区间[],m n 是函数()f x 的“K 区间”．
对于函数(
)()ln ,00,0
a x x x f x a a x ->⎧⎪=>≤．
（1）若1a =，求函数()f x 在(),1e e -处的切线方程； （2）若函数()f x 存在“K 区间”，求a 的取值范围． 解：（1）1a =时，()()()1ln 0,1f x x x x f x x '=->=
-，则()1
1f e e
'=-， ∴函数()f x 在(),1e e -处的切线方程为()()111y e x e e ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，即11y x e ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
． （2）()(
))()1000a
x x
f x a x ⎧->⎪⎪'=>⎨<，列表如下
设函数()f x 存在“K 区间”是[],m n
（i ）当0
m n <≤
时，由上表可知a n
a m
==，
n m
=-=
，
1=，代入a n a m ==，得1
1
a n a m ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，
欲使此关于,m n 的方程组在0m n <≤时有解，需使y a =与()2
10y x x x =-+≥的图象有两
个交点，2
1y x x =-+在10,2⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
是减函数，在1,2⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭是增函数，且102
3,14x x y y ====，所
以此时满足()f x 存在“H 区间”的a 的取值范围是3,14⎛⎤
⎥⎝⎦
． （ii ）当0m n a <<≤时，由上表可知，ln ln a m m m a n n n -=⎧⎨-=⎩，即1ln 21ln 2m
a m
n
a n
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，
设()()2
ln 1ln ,22x x
g x g x x x -'=
=，当()0,x e ∈时，()0g x '>，()g x 为增函数， 当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为减函数，
欲使此关于,m n 的方程1ln 21ln 2m
a m
n a n
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩有两解，需使1y a =与ln 2x y x =在(]0,a 有两个交点，
所以有()()1
a e
g a g e a >⎧⎪⎨≤<⎪⎩
，解得2
2e a e <≤． 所以此时满足()f x 存在“H 区间”的a 的取值范围是(
2
2,e e ⎤⎦．
（iii ）当a m n <<时，由上表可知，ln ln a m m m
a n n n
-=⎧⎨
-=⎩，两式相减得，()ln ln 0a m n -=，
此式不可能成立，所以此时()f x 不存在“H 区间”． 综上所述，函数()f x 存在“H 区间”的a 的取值范围是(2
3,12,4e e
⎛⎤
⎤
⎦⎥⎝⎦
．
22．在直角坐标系xOy 中，已知直线l
的参数方程为 112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
(t 为参数).以原点O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
cos21ρθ=，直线l 与曲线C 交于,A B 两点. (1)求AB 的长；
(2)若点P 的极坐标为π1,
2⎛⎫
⎪⎝⎭
，求AB 中点M 到P 的距离.
解：（1）曲线2:cos21C ρθ=的直角坐标方程为221x y -=，
将2 112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
代入曲线22:1C x y -=，得： 2240t t --=， 设A 点、B 点所对应的参数分别为12t t 、，则12122,?4t t t t +==-，
AB =
=
（2）点1,
2P π⎛⎫
⎪⎝⎭
对应的直角坐标为()0,1在直线l 上， AB 中点M 对应的参数为1212t t +=， 所以
M 点坐标为32⎫
⎪⎪⎝⎭
，点M 到点P 的距离为
1d =． 23．【选修4-5：不等式选讲】 设函数()1
f x x x a a
=+
+-（0a >）
． （1）证明：()2f x ≥；
（2）若()35f <，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）证明：11
()||2f x x x a x x a a a
=+
+-+-+≥≥． （Ⅱ）解：1(3)3|3|5f a a =++-<11|3|2|3|2a a a a ⇒-+<⇒-<-132132120,a a a a a ⎧
-<-⎪⎪
⎪
⇒->-⎨⎪
⎪->⎪⎩
，，
a <<．。