1-2-3平面向量

(5)向量的投影：|b|cos a，b 叫做向量 b 在向量 a 方向上的 投影．
2．平面向量的两个重要定理 (1)向量共线定理：向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是当且 仅当存在唯一一个实数 λ，使 b＝λa. (2)平面向量基本定理：如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共 线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1， λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2，其中 e1，e2 是一组基底．
2．(2015·郑州一检)在 Rt△ABC 中，CA＝CB＝3，M，N 是
斜边 AB 上的两个动点，且 MN＝ 2，则C→M·C→N的取值范围为
()
A.2，52 C．[3,6]
B．[2,4] D．[4,6]
(2)解法一：因为 A，B，C 均在单位圆上，AC 为直径，故P→A ＋P→C＝2P→O＝(－4,0)，|P→A＋P→B＋P→C|＝|2P→O＋P→B|≤2|P→O|＋|P→B|，
又|P→B|≤|P→O|＋1＝3，所以|P→A＋P→B＋P→C |≤4＋3＝7，故其最大值
为 7，选 B.
解法二：因为 A，B，C 均在单位圆上，AC 为直径，不妨设 A(cos x，sin x)，B(cos(x＋α)，sin(x＋α))(α≠kπ，k∈Z)，C(－cos x， －sin x)，P→A＋P→B＋P→C＝(cos(x＋α)－6，sin(x＋α))，|P→A＋P→B＋P→C |＝ [cosx＋α－6]2＋sin2x＋α＝ 37－12cosx＋α≤7，故选 B.
重点透析 难点突破
考向一 平面向量的概念及线性运算 1．平面向量中的五个基本概念 (1)零向量模的大小为 0，方向是任意的，它与任意非零向量 都共线，记为 0. (2)长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量，a 的单位向量 为|aa|. (3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．
(4)如果直线 l 的斜率为 k，则 a＝(1，k)是直线 l 的一个方向 向量．
[探究追问] 在例 2(1)中，条件不变，则B→D在C→D上的投影如 何求？
[解析] 在边长为 a 的菱形 ABCD 中，B→D在C→D上的投影|B→D |cos B→D，C→D ＝ 3acos 30°＝23a.
[答案]
3 2a
数量积、模和夹角的问题 (1)涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路： ①直接利用数量积的定义； ②建立坐标系，通过坐标运算求解． (2)在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图 形中模和夹角已知的向量进行计算． 求平面向量的模时，常把模的平方转化为向量的平方．
(3)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为 a 与 b 的夹角，
则 cos θ＝|aa|·|bb|＝
x1x2＋y1y2 x21＋y12 x22＋y22
.
两非零向量 a，b，a·b>0(或<0)是 a 与 b 的夹角为锐角(或钝 角)的必要不充分条件．
(1)(2015·山东卷)已知菱形 ABCD 的边长为 a，∠ABC＝60°，
则B→D·C→D＝( )
A．－32a2
B．－43a2
C.34a2
D.32a2
(2)(2015·重庆卷)若非零向量 a，b 满足|a|＝232|b|，且(a－b)
⊥(3a＋2b)，则 a 与 b 的夹角为( )
π
π
A.4
B.2
3π C. 4
D．π
[思路引导] 应用数量积的定义求解．
[解析] (1)在菱形 ABCD 中，B→A＝C→D，B→D＝B→A＋B→C，所以 B→D·C→D＝(B→A＋B→C)·C→D＝B→A·C→D＋B→C·C→D＝a2＋a×a×cos 60°＝ a2＋12a2＝32a2，故选 D.
A．(0,1) C．(－∞，－1)
B．(1，＋∞) D．(－1,0)
[解析] 依题意，由点 D 是圆 O 外一点，可设B→D＝λB→A(λ>1)， 则O→D＝O→B＋λB→A＝λO→A＋(1－λ)O→B.
又 C，O，D 三点共线， 令O→D＝－μO→C(μ>1)， 则O→C＝－μλO→A－1－μ λO→B(λ>1，μ>1)， 所以 m＝－μλ，n＝－1－μ λ.
[答案] 4
考向二 平面向量的数量积 1．平面向量的两个充要条件 若两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则： (1)a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 2．平面向量的三个性质 (1)若 a＝(x，y)，则|a|＝ a·a＝ x2＋y2. (2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |A→B|＝ x2－x12＋y2－y12.
[举一反三]
1．(2015·兰州诊断)设向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2，且 a 与
b 的夹角为π3，则|2a＋b|＝( )
A．2
B．4
C．12
D．2 3
[解析] 因为 a·b＝|a|·|b|cosπ3＝1×2×12＝1，所以|2a＋b|2＝ 4a2＋4a·b＋b2＝4×1＋4×1＋22＝12，即|2a＋b|＝2 3，故选 D.
运用三角形法则、四边形法则进行向量运算时，注意向量的 方向．
(1)(2015·新课标全国卷Ⅰ)设 D 为△ABC 所在平面内一点，B→C
＝3C→D，则( )
A.A→D＝－31A→B＋43A→C
B.A→D＝31A→B－43A→C
C.A→D＝43A→B＋31A→C
D.A→D＝34A→B－13A→C
(2)(2015·北京卷)在△ABC 中，点 M，N 满足A→M＝2M→C，B→N＝ N→C.若M→N＝xA→B＋yA→C，则 x＝________；y＝________.
[解析] 因为 AB＝AC，BC＝4，∠BAC＝120°，
所以∠ABC＝30°，AB＝4
3 3.
又因为B→E＝3E→C，所以B→E＝34B→C，
设B→P＝tB→C，则 0≤t≤1，A→P＝A→B＋B→P＝A→B＋tB→C，
A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋34B→C，
所以A→P·A→E＝(A→B＋tB→C)·A→B＋34B→C ＝A→B2＋tB→C·A→B＋34B→C·A→B＋43tB→C2
E23，23，F13，43，所以A→E＝23，23，A→F＝13，34，所以A→E·A→F ＝23×13＋23×43＝190，故选 B.
[答案] B
3．(2015·江西南昌一模)已知三角形 ABC 中，AB＝AC，BC ＝4，∠BAC＝120°，B→E＝3E→C，若 P 是 BC 边上的动点，则A→P·A→E 的取值范围是________．
[思路引导] 把未知向量用基底A→B，A→C表示．
[解析] (1)由题意得A→D＝A→C＋C→D＝A→C＋13B→C＝A→C＋13A→C－ 13A→B＝－13A→B＋43A→C，故选 A.
(2)由题中条件得M→N＝M→C＋C→N＝13A→C＋21C→B＝31A→C＋12(A→B－ A→C)＝12A→B－16A→C＝xA→B＋yA→C，所以 x＝12，y＝－16.
要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向 量的有关性质解题．
(1)(2015·皖南八校联考)已知 D 是△ABC 所在平面内一点，且
满足(B→C－C→A)·(B→D－A→D)＝0，则△ABC 是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
(2)(2015·湖南卷)已知点 A，B，C 在圆 x2＋y2＝1 上运动，且
故 m＋n＝－μλ－1－μ λ＝－μ1∈(－1,0)． 故选 D.
[答案] D
3．向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示．若 c＝λa ＋μb(λ，μ∈R)，则μλ＝________.
[解析] 设 i，j 分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向 量，则 a＝－i＋j，b＝6i＋2j，c＝－i－3j，所以－i－3j＝λ(－i＋ j)＋μ(6i＋2j)，根据平面向量基本定理得 λ＝－2，μ＝－21，所以μλ ＝4.
(2)由条件，得(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－2b2－a·b＝0，即 a·b＝
3a2－2b2.又|a|＝2 32|b|，所以 a·b＝3·2 3 2|b|2－2b2＝32b2，所以 cos
a，b
＝|aa|·|bb|＝2
32b2 ＝ 3 2b2
22，所以
a，b
＝π4，故选 A.
[答案] (1)D (2)A
2)，若向量 λa＋b 与 c 共线，则实数 λ 的值为( )
A．－2
B．－31
C．－1
D．－32
[解析] 由题可知 λa＋b＝(λ＋2,2λ)，又 λa＋b 与 c 共线，∴ －2(λ＋2)－2λ＝0，∴λ＝－1，故选 C.
[答案] C
2．如图所示，A，B，C 是圆 O 上的三点，线段 CO 的延长 线与线段 BA 的延长线交于圆 O 外的点 D，若O→C＝mO→A＋nO→B， 则 m＋n 的取值范围是( )
[答案] D
2．(2015·沈阳一模)在△ABC 中，|A→B＋A→C|＝|A→B－A→C|，AB
＝2，AC＝1，E，F 为 BC 的三等分点，则A→E·A→F＝( )
8
10
A.9
B. 9
25
26
C. 9
D. 9
[解析] 由|A→B＋A→C|＝|A→B－A→C|，化简得A→B·A→C＝0，又因为 AB 和 AC 为三角形的两条边，不可能为 0，所以A→B与A→C垂直，所 以△ABC 为直角三角形．以 AC 为 x 轴，以 AB 为 y 轴建立平面 直角坐标系，如图所示，则 A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)，由 E，F 为 BC 的三等分点知
＝136＋t×4×4
3
3 cos
150°＋43×4×4
Байду номын сангаас
3
3 cos
150°＋34t×42
＝4t－23，
因为 0≤t≤1，所以－32≤4t－32≤130，即A→P·A→E的取值范围是
－23，130.
[答案] －23，130
考向三 平面向量的综合应用 向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化为对应向量或 向量坐标的运算问题，三角形形状的判定可化归为相应向量的数 量积问题，向量的数量积公式 a2＝|a|2，沟通了向量与实数间的转 化关系．
第三讲
平面向量(选择、填空题型)
———————————名师指南—————————— [核心考点] 平面向量的基本概念、平面向量的运算、平面向量的数量
积及应用． [高考解密] 1．平面向量基本定理和向量共线定理是向量运算和应用
的基础，高考中常以小题形式进行考查．
2．平面向量的线性运算和数量积是高考的热点，有时和三 角函数相结合，凸显向量的工具性，考查处理问题的能力.
AB⊥BC.若点 P 的坐标为(2,0)，则|P→A＋P→B＋P→C|的最大值为( )
A．6
B．7
C．8
D．9
[思路引导] (1)借助数量积的定义和余弦定理进行判断；(2) 借助P→A＋P→C＝2P→O和|P→B|≤|P→O|＋1 求解．
[解析] (1)(B→C－C→A)·(B→D－A→D)＝(B→C－C→A)·B→A＝0，所以 B→C·B→A＝C→A·B→A，所以 acos B＝bcos A，利用余弦定理化简得 a2 ＝b2，即 a＝b，所以△ABC 是等腰三角形．
[答案] (1)A (2)B
向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身 是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形 的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．
[举一反三]
1．已知点 P 是△ABC 内一点，且B→A＋B→C＝6B→P，则SS△ △AABCPP＝
()
[答案]
(1)A
1 (2)2
－16
对于平面向量的线性运算问题，要注意向量的起点和终点的 确定，灵活利用三角形法则、平行四边形法则．同时，要抓住两 条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是 基于“数”，借助坐标运算来实现．
[举一反三]
1．(2014·洛阳统考)已知向量 a＝(1,2)，b＝(2,0)，c＝(1，－
1
1
A.2
B.3
1
1
C.4
D.5
[解析] 设点 D 为 AC 的中点，在△ABC 中，B→A＋B→C＝2B→D，
即
2B→D＝6B→P，所以B→D＝3B→P，即
P
为
BD
的三等分点，所以S△ABP S△APD
＝1，又S△APD＝1，所以S△ABP＝1，故选
2
S△APC 2
S△ACP 4
C.
[答案] C