冲激偶函数(可编辑修改word版)
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- ⎰ (1/) ˆ'(t ) -/2 /2 t '(t )
O t 三、单位冲激偶信号
冲激函数(t ) 的导数定义为(单位)冲激偶函数,用'(t ) 或
(1) (t ) 表示。
'(t ) =
d (t ) d t (1.3-16) 式(1.3-16)可从极限的角度理解, '(t ) = lim ˆ'(t )
→0 ,由图 1.3-6, ˆ
(t ) 的导 数ˆ'(t ) 如图 1.3-11(a)所示,用公式表示为
ˆ'(t ) = 1 (t + - 1 (t -
2 ) 2 )
当→ 0 时,ˆ'(t ) 由两个在时间上无限靠近,而强度趋于无限大的冲激构成。
故称它为冲激偶函数,用图 1.3-11(b)表示。
(a ) (b )
图 1.3-11 冲激偶函数
设 x (t ) 为常规函数,其导数 x '(t ) 在t = t 0 处连续,则积分
∞ ∞
⎰-∞ x (t )'(t - t 0 )d t =⎰-∞ x (t )d (t - t 0 )
= x (t )(t - t 0
∞
∞ -∞ -∞ x '(t )(t - t 0 )d t = -⎰-∞ x '(t )(t - t 0 )d t
) ∞
∞ ∞ 利用冲激函数的抽样性质,从上式得
⎰
-∞ x (t )'(t - t 0 )d t = -x '(t 0 ) (1.3-17)
该式称为'(t ) 的抽样性质。
采用对 x (t )(t ) 分步求导的方法,或利用式(1.3-17),还可得
x (t )'(t ) = x (0)'(t ) - x '(0)(t ) (1.3-18)
注意 x (t )'(t ) ≠ x (0)'(t ) 。再来考虑'(t ) 的对称性。
'(-t ) = =-t
由于(t ) 为偶对称函数,则有
'(-t ) =
d (t ) = -'(t ) -
d t (1.3-
19)
可见,'(t ) 为奇对称函数。故
⎰
-∞ '(t )d t = 0 当然,令式(1.3-17)中的 x (t ) = 1 ,也可得上式结果 。
函数(t ) 的各阶导数统称为高阶冲激。特别指出,在同一时刻出现的单
位冲激函数、高阶冲激函数间的乘积,如 2 (t ) ,(t )'(t ) 等没有意义。 d (τ ) d τ