江西省南昌市教研室2014高考数学理科押题卷及答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．集合{0,1,2,3,4,5},{0,2,3}M N ==，则M N ð＝（ ）
A ．{0,2,3}
B ．{0,1,4}
C ．{1,2,3}
D ．{1,4,5}
2．若函数1
21
)(+=
x x f ，则该函数在()+∞∞-,上是（ ） A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最小值 C ．单调递增无最大值 D ．单调递增有最大值
3．已知函数x x f ωcos )(=)0,(>∈ωR x 的最小正周期为π，为了得到函数()=x g
)4
sin(π
ω+
x 的图象，只要将()x f y =的图象( )
A ．向左平移8π个单位长度
B ．向右平移8π
个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4
π
个单位长度
4．设01,a b <<<则下列不等式成立的是( )
A ．3
3
a b >
B ．
11a b
< C ．1b
a >
D ．()lg 0b a -<
5．“数列n n a aq =为递增数列”的一个充分不必要条件是（ ） A ．0,1a q << B ．1
0,2
a q >> C ．0,0a q >> D ．10,02a q <<<
6．已知函数)2
,2(tan π
πω-=在x y 内是减函数，则（ ）
A ．0<ω≤1
B ．－1≤ω<0
C ．ω≥1
D ．ω≤－1
7．M 是正方体1111ABCD A BC D -的棱1DD 的中点，给出下列命题： ①过M 点有且只有一条直线与直线AB 、11B C 都相交； ②过M 点有且只有一条直线与直线AB 、11B C 都垂直； ③过M 点有且只有一个平面与直线AB 、11B C 都相交；
④过M 点有且只有一个平面与直线AB 、11B C 都平行.其中真命题是（ ） A ．②③④ B ．①③④ C ．①②④ D ．①②③
8．过点P (4,2)作圆x 2＋y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则△OAB 的外接圆方程是( )
A ．(x －2)2＋(y －1)2＝5
B ．(x －4)2＋(y －2)2＝20
C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5
D ．(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝20
9．已知二次函数2()1f x ax bx =++的导函数为'()f x ，且'(0)f ＞0，()f x 的图象与x 轴恰有一个交点，则
'(1)
(0)
f f 的最小值为 ( ) A ．3 B ．32 C ．2 D ．5
2
10．设1F ，2F 分别为双曲线
C ：22
221x y a b
-=(0,0)a b >>的左、右焦点，A 为双曲线 的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线某条渐近线于M 、N 两点，且满足：
120MAN ∠=︒，则该双曲线的离心率为（ ）
A
B
C ．73 D
二、选做题：请在下列两题中任选一题作答。

若两题都做，则按第一题评阅计分。

本题
共5分.
11．(1)（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C
的极坐标方程为：ρθ=
，直线的极坐标方程为：
2cos ρθ=则它们相交所得弦长等于 .
(2)（不等式选做题）已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|，则不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的
解集为 ．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

12．复数
为复数的虚数单位)的模等于 ．
13．掷均匀硬币5次，则总共掷出3次正面且在整个投掷过程中掷出反面的次数总是小
于正面次数的概率是 ． 14．语句：
S=0 i=1 Do
S=S+i i=i+2
Loop while S ≤200 n=i －2
Output n 则正整数n= .
15．在平面直角坐标系中，设点(,),[]||||P x y OP x y =+定义，其中O 为坐标原点，对于以下结论：
①符合[OP]=1的点P 的轨迹围成的图形的面积为2； ②设P
220y +-=上任意一点，则[OP]的最小值为1；
③设P 为直线(,)y kx b k b R =+∈上的任意一点，则“使[OP]最小的点P 有无数个” 的必要不充分条件是“1k =±”.
其中正确的结论有 （填上你认为正确的所有结论的序号）.
三、解答题:本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤3，且AB ·BC = 6 , AB 与BC 的夹角为θ.
(1) 求θ的范围;(2)求函数()f θ
=
1)
4sin π
θθ
-的最大值. 17．（本小题满分12分）八一商场进行促销活动，促销方案为顾客消费1000元，便可获
得奖券一张，每张奖券中奖的概率为
1
5
，中奖后商场返还顾客现金1000元. 顾客甲 购买一台价格2400元的手机，只能得2张奖券，于是甲补偿50元给同事购买价格 600元的商品（甲可以得到三张奖券），甲抽奖后实际支出为ξ（元）. （1）求ξ的分布列；
（2）试说明甲出资50元增加1张奖券是否划算.
18．（本小题满分12分）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90ABC ∠=︒，当E 、F
分别在线段AD 、BC 上，且EF BC ⊥，AD=4，CB=6，AE=2.现将梯形ABCD 沿EF 折 叠，使平面ABFE 与平面EFCD 垂直.
（1）判断直线AD 与BC 是否共面，并证明你的结论；
（2）当直线AC 与面EFCD 所成角的正切值为多少时，二面角A-DC-E 的大小是60°？
19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：
)1(+-=n n n a S a S （正常数1a ≠），111
11n n n c a a +=-+-.
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）设n n n n a S a b ⋅+=2，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值；
（3）在满足条件（2）的情形下，111
11
n n n c a a +=
-+-，数列{}n c 的前n 项和为n T , 求证：2
12-
>n T n ．
20．（本小题满分13分）已知抛物线C 1:y 2
=4x 的焦点与椭圆C 2:22
219x y b
+=的右焦点F 2
重合，F 1是椭圆的左焦点.
（1）在∆ABC 中，若A(-4,0)，B(0,-3)，点C 在抛物线y 2
=4x 上运动，求∆ABC 重心G
的轨迹方程； （2）若P 是抛物线C 1与椭圆C 2的一个公共点，且∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β,求cos αβcos ⋅
的值及∆PF 1F 2的面积.
21．（本小题满分14分）已知函数22()2ln f x a x x =-(常数0)a >. （1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；
（2）讨论函数()f x 在区间2
(1,)e 上零点的个数（e 为自然对数的底数）.
答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．集合{0,1,2,3,4,5},{0,2,3}M N ==，则M N ð＝（ D ）
A ．{0,2,3}
B ．{0,1,4}
C ．{1,2,3}
D ．{1,4,5}
2．若函数1
21
)(+=
x x f ，则该函数在()+∞∞-,上是（ A ） A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最小值 C ．单调递增无最大值 D ．单调递增有最大值
3．已知函数x x f ωcos )(=)0,(>∈ωR x 的最小正周期为π，为了得到函数()=x g
)4
sin(π
ω+
x 的图象，只要将()x f y =的图象( B )
A ．向左平移8π个单位长度
B ．向右平移8π
个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4
π
个单位长度
4．设01,a b <<<则下列不等式成立的是( D )
A ．3
3
a b >
B ．
11a b
< C ．1b
a >
D ．()lg 0b a -<
5．“数列n n a aq =为递增数列”的一个充分不必要条件是（ D ） A ．0,1a q << B ．1
0,2
a q >> C ．0,0a q >> D ．10,02a q <<<
6．已知函数)2
,2(tan π
πω-=在x y 内是减函数，则（ B ）
A ．0<ω≤1
B ．－1≤ω<0
C ．ω≥1
D ．ω≤－1
7．M 是正方体1111ABCD A BC D -的棱1DD 的中点，给出下列命题： ①过M 点有且只有一条直线与直线AB 、11B C 都相交； ②过M 点有且只有一条直线与直线AB 、11B C 都垂直； ③过M 点有且只有一个平面与直线AB 、11B C 都相交；
④过M 点有且只有一个平面与直线AB 、11B C 都平行.其中真命题是（ C ） A ．②③④ B ．①③④ C ．①②④ D ．①②③
8．过点P (4,2)作圆x 2＋y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则△OAB 的外接圆方程是( A )
A ．(x －2)2＋(y －1)2＝5
B ．(x －4)2＋(y －2)2＝20
C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5
D ．(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝20
9．已知二次函数2()1f x ax bx =++的导函数为'()f x ，且'
(0)f ＞0，()f x 的图象与x
轴恰有一个交点，则
'(1)
(0)
f f 的最小值为 ( C ) A ．3 B ．32 C ．2 D ．5
2
10．设1F ，2F 分别为双曲线
C ：22
221x y a b
-=(0,0)a b >>的左、右焦点，A 为双曲线 的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线某条渐近线于M 、N 两点，且满足：
120MAN ∠=︒，则该双曲线的离心率为（ A ）
A ．
213 B ．19 C ．73 D ．73
二、选做题：请在下列两题中任选一题作答。

若两题都做，则按第一题评阅计分。

本题
共5分.
14．语句：
S=0 i=1 Do
S=S+i i=i+2
Loop while S ≤200 n=i －2
Output n 则正整数n= 29 .
15．在平面直角坐标系中，设点(,),[]||||P x y OP x y =+定义，其中O 为坐标原点，对于以下结论：
①符合[OP]=1的点P 的轨迹围成的图形的面积为2； ②设P
220y +-=上任意一点，则[OP]的最小值为1；
③设P 为直线(,)y kx b k b R =+∈上的任意一点，则“使[OP]最小的点P 有无数个”
的必要不充分条件是“1k =±”.
其中正确的结论有 ①③ （填上你认为正确的所有结论的序号）.
三、解答题:本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤3，且AB ·BC = 6 , AB 与BC 的夹角为θ.
(1) 求θ的范围;(2)求函数()f θ
=
1)
4sin π
θθ
-的最大值.
解：（1）∵
cos 6
1
sin()
2
AB BC AB BC S AB BC θπθ⋅=⋅⋅==⋅⋅
-
∴S=3tan 33tan 13
S θθ≤≤≤≤又. ∴]4,6[ππθ∈。

（2）]4,6[)4sin(22)(πππ
θθ在-
=f 上递增，∴0)4
()(max ==π
θf f .
17．（本小题满分12分）八一商场进行促销活动，促销方案为顾客消费1000元，便可获
得奖券一张，每张奖券中奖的概率为
1
5
，中奖后商场返还顾客现金1000元. 顾客甲 购买一台价格2400元的手机，只能得2张奖券，于是甲补偿50元给同事购买价格
600元的商品（甲可以得到三张奖券），甲抽奖后实际支出为ξ（元）. （1）求ξ的分布列；
（2）试说明甲出资50元增加1张奖券是否划算. 解：（1）ξ的所有可能取值为2450,1450,450，－550 ,
34645
125(2450)()P ξ=
==1231448()55125(1450)()P C ξ⨯===2231412()55125(450)()P C ξ⨯===
33311
()5125
(550)P C ξ==-=，
ξ分布列为
（2）6448121
()125125125125
24501450450550E ξ
+++-=⨯
⨯⨯⨯ ＝1850（元）） …（9分）
设小李不出资50元增加1张奖券,消费的实际支出为1ξ（元） 则1
2416(2400)()525P ξ===,112148(1400)5525
P
C ξ==⨯⨯=
122
211(400)()525P C ξ===
∴11681
240014004002000()252525
E ξ=⨯+⨯+⨯=元 ∴1E E ξξ＜, 故小王出资50元增加1张奖券划算.…（12分）
18．（本小题满分12分）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90ABC ∠=︒，当E 、F
分别在线段AD 、BC 上，且EF BC ⊥，AD=4，CB=6，AE=2.现将梯形ABCD 沿EF 折 叠，使平面ABFE 与平面EFCD 垂直.
（1）判断直线AD 与BC 是否共面，并证明你的结论；
（2）当直线AC 与面EFCD 所成角的正切值为多少时，二面角A-DC-E 的大小是60°？ 解：（1）AD 、BC 是异面直线， （1分） （反证法）假设AD 、BC 共面为α． EF BC ⊥,90ABC ∠=︒,EF AB ∴,EF α⊄,AB α⊂．
EF α∴,又EFCD CD α=,EF CD CD AB ∴∴．
这与ABCD 为梯形矛盾．故假设不成立．即AD 、BC 是异面直线．
…6分
（2）延长CD,FE 相交于N ，由已知2,4,ED CF ∴==设,AB x =则△NDE 中，NE x =， AE EF ⊥，平面ABFE ⊥平面EFCD ,
AE ∴⊥平面EFCD ．过E 作EH DN ⊥于H ，连结AH ， 则AH DN ⊥．AHE ∴∠是二面角A DC E --的平面角，
则60AHE ∠=︒．
,2,NE x DE HE ==∴=
2AE =
,
tan AE
AHE EH
∴∠==
=22,x x ∴== 此时在△EFC
中，4,EF FC
=EC ∴=AE ⊥平面EFCD ,
ACE ∴∠是直线AC 与平面EFCD 所成的角,
tan AE ACE EC ∴∠=
==
即当直线AC 与平面EFCD
所成角的正切值为3
时，二面角A DE E --的 大小为60︒。

19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：
)1(+-=n n n a S a S （正常数1a ≠）
，111
11n n n c a a +=-+-.
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）设n n n n a S a b ⋅+=2
，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值；
（3）在满足条件（2）的情形下，111
11
n n n c a a +=
-+-，数列{}n c 的前n 项和为n T , 求证：2
12-
>n T n ． 解：（1）)1(111+-=a S a S , ∴1,=a a ……….1分 当2n ≥时， )1(+-=n n n a S a S
)1(111+-=---n n n a S a S
两式相减得：1-⋅=n n a a a ， 1
n
n a a a -= , 即{}n a 是等比数列． ∴1n n n a a a a -=⋅=；…4分
（2）由（1）知, n n n n a a a a a b 1)1()(2
--+=,1
)12(2---=a aa a a b n
n n ，
若{}n b 为等比数列，则有2213,b b b =
而2
12a b = ，)12(3
2+=a a b , )12(243++=a a a b ……6分 故=+23)]12([a a 242(21)a a a ⋅+，
解得21
=a ， ……………………7分 再将21=a 代入得n
n b )2
1(=成立，所以21=a ． …………8分
（3）证明：由（2）知n
n b )2
1(=，
所以1)2
1
(1+=
n n c 1)2
1
(11--
+n 11222121
n n n n ++=++-1212+-=n 121
1-++n … 10分
所以111
222
n n n c +>-
+ 12n n T c c c =++
+
211(2)22>-
+)21212(32+-+)2
1212(1++-++n n
2
1
2212121->+-
=+n n n ………12分 20．（本小题满分13分）已知抛物线C 1:y 2
=4x 的焦点与椭圆C 2:22
2
19x y b +=的右焦点F 2
重合，F 1是椭圆的左焦点.
（1）在∆ABC 中，若A(-4,0)，B(0,-3)，点C 在抛物线y 2
=4x 上运动，求∆ABC 重心G
的轨迹方程； （2）若P 是抛物线C 1与椭圆C 2的一个公共点，且∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β,求cos αβcos ⋅
的值及∆PF 1F 2的面积.
解：（1）设重心G(x,y)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-+'=+-'=3303
04y y x x 整理得(*)3343⎩⎨⎧+='+='y y x x 将(*)式代入
y 2
=4x 中，得(y+1)2
=)34(34+x ∴ABC ∆重心G 的轨迹方程为(y+1)2=)3
4
(34+x .…6分 (2) ∵椭圆与抛物线有共同的焦点，由y 2
=4x 得F 2(1,0)，
∴b 2
=8，椭圆方程为1892
2=+y x .设P(x 1,y 1)
由⎪⎩⎪⎨⎧==+121
2
1214189x
y y x 得0189212
1=-+x x ，∴x 1=23，x 1=-6(舍).∵x=-1是y 2=4x 的准线，即抛物线的准线过
椭圆的另一个焦点F 1.
设点P 到抛物线y 2
=4x 的准线的距离为PN ，则︱PF 2︱=︱PN ︱.
又︱PN ︱=x 1+1=25123=+,
∴272,25212=-==PF a PF PF .
过点P 作PP 1⊥x 轴，垂足为P 1，在Rt △PP 1F 1中，cos α=75在Rt △PP 1F 2中，cos(л-β)=51,cos β=51
-,
∴cos αcos β=71-。

∵x 1=23
,∴∣PP 1∣=6,
∴62
1
21212
1=⋅=∆P P F F S F PF .…13分
21．（本小题满分14分）已知函数2
2
()2ln f x a x x =-(常数0)a >. （1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；
（2）讨论函数()f x 在区间2(1,)e 上零点的个数（e 为自然对数的底数）.
解:（1）当 1a =时，2()2ln f x x x =-，2()2f x x x '∴=
-. (1)0f '∴=.…3分 又(1)1f =-，∴曲线()y f x =在点1x =处的切线方程为10y +=．…4分
（3）22()2ln f x a x x =-，所以222222()2a a x f x x x x
-'=-=2()()x a x a x --+=. 因为0x >，0a >，于是当0x a <<时，()0f x '>，当x a >时，()0f x '<.
所以()f x 在(]0,a 上是增函数，在[),a +∞上是减函数. …7分
所以2max ()()(2ln 1).f x f a a a ==- …8分
讨论函数()f x 的零点情况如下．
①2(2ln 1)0a a -<，即0a <<
()f x 无零点，在2(1,)e 上也无零点；…9分
②当2(2ln 1)0a a -=，即a =函数()f x 在(0,)+∞内有唯一零点a ，而 21a e <=，∴()f x 在2(1,)e 内有一个零点；……10分
③当2(2ln 1)0a a ->，即a >
由于(1)10f =-<， 2()(2ln 1)0f a a a =->22422()4(2)(2)f e a e a e a e =-=-+，
当2
20a e -<2
2e a <时， 2
212
e a e <<<<，2()0
f e <，由单调性可知，函数()f x 在(1,)a 内有唯一零点1x 、在2(,)a e 内有唯一零点2x 满足，()f x 在2(1,)e 内有两个零点； …11分
当2
20a e -≥时，即2
2e a ≥>2()0f e ≥，而且221202f a e a e =⋅-=->，(1)10f =-<
由单调性可知，无论2a e ≥还是2
a e <，()f x 在内有唯一的一个零点，在2)e 内没有零点，
从而()f x 在2(1,)e 内只有一个零点；…14分
（注：这一类的讨论中，若没有类似“0f >来说明唯一零点在内”的这一步，则扣去这2
分）综上所述，有：当0a <<()f x 无零点；当a =2
2
e a ≥时，函数()
f x 有一个零
2
2e a <时，函数()f x 有两个零点.。