人教版七年级数学上册第五单元一元一次方程《实际问题与一元一次方程(第5课时)》示范公开课教学课件

三位数为“倍尾数”，如 521．已知一个“倍尾数”的百位数字比 十位数字大 1，其各位数字之和是 16，求这个“倍尾数”．
解：设这个“倍尾数”的个位数字为 x，则十位数字为 2x， 百位数字为 2x＋1，由题意可得，(2x＋1)＋2x＋x＝16， 解方程，得 x＝3，所以 2x＝6，2x＋1＝7， 即这个“倍尾数”是 763. 答：这个“倍尾数”是 763．
6．一列火车匀速行驶，经过一条长 450 m 的隧道时，需要 20 s 的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的 时间是 5 s．根据以上数据，解答下列问题：
（1）求火车的长度； （2）求火车完全在隧道里行驶的时间． 解：（1）设火车的长度为 x m，由题意，得 450 x x，
手的笔试成绩是 86 分，王小明要使自己的综合成绩追平竞争对手，则
他的面试成绩必须比竞争对手多（ D ）．
A．2.4 分
B．4 分
C．5 分
D．6 分
解析：若王小明要使自己的综合成绩追平竞争对手，设他的面 试成绩必须比竞争对手多 x 分，由题意，得82×60%＋40%x＝ 86×60%，解得 x＝6．所以王小明要使自己的综合成绩追平竞争对 手，则他的面试成绩必须比竞争对手多 6 分．故选 D．
解：（2）设第一次购买该商品 x 件， 则第二次购买该商品(700－x)件． ①当0＜x＜200时，3x＋2(700－x)＝1 860， 解方程，得 x＝460（不合题意，舍去）； ②当200≤x≤300时，3x＋2.5(700－x)＝1 860， 解方程，得 x＝220，所以700－x＝700－220＝480； ③当300＜x＜350时，2.5x＋2.5(700－x)＝1 750≠1 860， 该情况不存在． 答：第一次购买该商品 220 件，第二次购买该商品 480 件．
➢ 类型四 分段计费问题与方案选择问题 7．为了鼓励节约用水，某市对自来水的收费标准作如下规定：
另外：1 m3收污水处理费 1 元． （1）9月，小张家用水 10 m3，交费_____元；小赵家用水 26 m3， 交费_____元． （2）已知小李家 10 月份缴水费 175 元，他家 10 月份用了多少水？
解：（2）设小李家 10 月份用水 x m3，由题意，得 2.2×18＋(40－18)×3.3＋(x－40)×6.6＋x＝175， 解方程，得 x＝43． 答：他家 10 月份用水 43 m3 ．
8．小商品批发市场内，某商品的价格按如下优惠：购买不超 过 300 件时，每件 3元；超过 300 件但不超过 500 件时，每件2.5元； 超过 500 件时，每件 2元．某客户欲采购这种小商品 700 件．
－200×5－400×3＝2 102， 解得 a＝80，即 a 的值为 80．
总结
类型
常用概念
相关公式
①利润＝售价－成本（进价）
商品 销售
①成本：进价，即进货价格；
＝成本（进价）×利润率；
②标价：商品在出售时标明的价格；
②利润率＝
利润 成本
×100%；
③售价：商品在出售时的实际价格； ③售价＝成本＋利润＝成本×
（1）该水果店两次分别购进了多少千克的橙子？ （2）售卖中，第一批橙子在其进价的基础上加价 a% 进行定价， 第二批橙子因为进价便宜，因此以第一批橙子的定价再打八折进行销 售．销售时，在第一批橙子中有 5% 的橙子变质不能出售，在第二批橙 子中有10%的橙子变质不能出售，该水果店售完两批橙子能获利 2 102 元，求a 的值．
（1）9月，小张家用水 10 m3，交费__3_2__元； 小赵家用水 26 m3，交费___9_2__元．
解：（1）由题意知 10×1＋2.2×10＝32（元）， 2.2×18＋(26－18)×3.3＋26＝92（元） ．
（2）已知小李家 10 月份缴水费 175 元，他家 10 月份用了 多少水？
数字问题设未知数的技巧 在数字问题中，一般直接设未知数不易列出方程， 可以采用间接设法，即设某个数位上的数字为未知数， 并用它表示出其他数位上的数字，求解后再确定要求的 具体数字．
➢ 类型六 调配问题和图形问题 11．某工厂有甲、乙两车间各生产不同型号的产品，原计划
乙车间人数比甲车间少100人，产品上市后，甲车间的产品成为爆 款，于是又从乙车间调 50人支援甲车间，这时甲车间的人数是乙 车间剩余人数的 3倍，求原来甲、乙车间各有多少人．
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解方程，得 x＝150． 答：火车的长度为 150 m．
6．一列火车匀速行驶，经过一条长 450 m 的隧道时，需要 20 s 的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的 时间是 5 s．根据以上数据，解答下列问题：
（1）求火车的长度； （2）求火车完全在隧道里行驶的时间． 解 所： 以（火2车）完因全为在火隧车道的里速行度驶为的：时155间0＝为3：0（45m0－/3s10）50， 2＝5（s）． 答：火车完全在隧道里行驶的时间是 5 s．
解决这类问题的关键是先通过对实际问题进行分析，找出相等 关系，再设未知数列方程求解．
本节课，主要对这几种类型的题目进行复习巩固，进一步提高 同学们分析和解决问题的能力．
➢ 类型一 配套问题与工程问题 1．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身 25 个，或制盒底
40 个，一个盒身与两个盒底配成一套．现在有 36 张白铁皮，用 多少张制盒身，多少张制盒底，可使盒身与盒底正好配套？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
10．小明问老师的年龄，老师说：“我们两人现在的年龄和 为50岁，5年后，我的年龄比你的年龄的2倍还大3岁．”小明听后 说：“老师，我知道自己的年龄，也就知道了您的年龄．”同学 们，你们知道老师今年的年龄是多少吗？
解：设老师今年的年龄为 x 岁，则小明的年龄为(50－x)岁， 根据题意，得 x＋5＝2(50－x＋5)＋3， 解方程，得 x＝36． 答：老师今年的年龄为 36 岁．
50 cm
解：设小长方形的长为 x cm，则宽为(50－x)cm． 由题意，得 2x＝x＋4(50－x)， 解方程，得 x＝40，所以 50－x＝10． 所以一个小长方形的面积为：10×40＝400（cm2 ）． 答：其中一个小长方形的面积为 400 cm2 ．
总结 类型
特点
等量关系
调配 问题
从甲处调一些人（或物）到 乙处，使之符合一定数量关 系，或从第三方调入一些人 （或物）到甲、乙两处，使
解：（1）设第一次购进橙子x千克，则第二次购进橙子(600－x)千克，
由题意，得 1.2×5x＝(5－2)×(600－x)，
解方程，得 x＝200， 所以 600－x＝400． 答：第一次购进橙子 200 千克，第二次购进橙子 400 千克． （2）由题意，得
5(1＋a%)×200×(1－5%)＋5(1＋a%)×80%×400×(1－10%)
第五章 一元一次方程
实际问题与一元一次方程 第5课时
列一元一次方程解决实际问题的一般步骤
审
分析题意，找出等量关系
设
设未知数（一般求什么，设什么）
列
根据等量关系，列一元一次方程
解
解方程，求出未知数的值
检
检验解是否符合题意
答
写出答案（包括单位）
一元一次方程在实际生活中有着广泛的应用，这类问题常与现 实生活背景结合，常见类型有“配套问题”“工程问题”“商品销 售问题”“比赛积分问题”“分段计费问题”等．
归纳 相遇问题中等量关系的寻找方法： （1）从时间考虑：两人同时出发，相遇时两人所用的时间相等． （2）从路程考虑：沿直线运动，两人相向而行，相遇时两人所走
的路程之和等于全路程．
反思：火车是有长度的，不能看成一个点，分析路程时，选
取的标准要始终保持一致，即始终以车头或始终以车尾为标 准，不能之前看车头，之后看车尾．
反思：配套问题一般涉及两个量之间的数量关系，厘清两个
量间的数量关系是解此类问题的关键．
➢ 类型二 商品销售问题
3．某商场将某种电器的标价按进价提高40%后，进行促销： “大酬宾，八折优惠”，结果每件电器可获利 270 元，请问这种 电器每件的进价是多少元？
解：设每件电器的进价是 x 元，按进价提高40%后的价格是 x (1＋ 40%)元，“大酬宾，八折优惠”，是价格提高后的 80%，
甲数＋乙数＝总数； 甲调人数＋乙调人数 ＝总调人数
之符合一定数量关系
➢ 类型七 古代数学问题中的一元一次方程
13．我国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得
客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤，问：人 数多少？银子几何？意思是：有若干客人分银若干两，如果每人分 7 两，
解：设乙车间原有 x 人，则甲车间原有(x＋100)人， 由题意得，x＋100＋50＝3(x－50)， 解方程，得 x＝150． 故甲车间原有人数为：150＋100＝250． 答：乙车间原有 150 人，甲车间原有 250 人．
12．如图，宽为 50 cm 的长方形图案由 10 个相同的小长方 形拼成，求其中一个小长方形的面积．
（1）现有两种购买方案： ①分两次购买，第一次购买 240 件，第二次购买 460 件； ②一次性购买 700 件． 问哪种购买方案费用较省？省多少元？说明理由． （2）若该客户分两次购买该商品共 700 件（第二次多于第一 次），共付费1 860元，则第一次、第二次分别购买该商品多少件？
解：（1）购买方案②费用较省，理由如下： 购买方案①所需费用为： 3×240＋2.5×460＝720＋1 150＝1 870（元）； 购买方案②所需费用为：2×700＝1 400（元）． 因为1 870＞1 400，1 870－1 400＝470（元）， 所以购买方案②费用较省，省470元．
（1）正常情况下，甲、乙两人能按期履行该合同吗？为什么？ （2）现两人合作完成了这项工程的 75%，因别处有急事，必 须调走 1人，则调走谁合适？为什么？
解：（1）能按期履行该合同．理由如下：
设甲、乙两人合作
x
天完成，则有
1 30
1 20
x＝1．解得x＝12．
因为12＜15，因此两人能按期履行该合同．
解：设用 x 张白铁皮制盒身，则用(36－x)张制盒底． 由题意，得 2×25x＝40(36－x)． 解方程，得 x＝16，36－x＝36－16＝20． 答：用 16 张制盒身，20 张制盒底，可使盒身与盒底正好配套．
2．甲、乙两人计划共同承包一项工程，甲单独做 30 天完成， 乙单独做 20 天完成，合同规定 15 天完成，每超过 1天罚款1 000 元，甲、乙两人经商量后签订了该合同．
由题意，得x (1＋40%)×80%－x＝270．
解方程，得 x＝2 250． 答：这种电器每件的进价是 2 250 元．
4．某水果店以 5元/千克的价格购进一批橙子，很快售罄，该店又 再次购进，第二次进货价格比第一次每千克便宜了 2 元，两次一共购 进 600 千克，且第二次进货的花费是第一次进货花费的 1.2 倍．
问题
④利润：商品的售价高于成本的钱数；（1＋利润率）；
⑤利润率：商品的利润与成本的比值 ④商品售价（打折后）＝商品 标价× 打折数 ．
10
➢ 类型三 比赛积分问题与行程问题
5．某市今年公务员录用考试是这样统计成绩的：综合成绩＝笔试
成绩×60%＋面试成绩×40%．王小明的笔试成绩是 82 分，他的竞争对
解：（2）调走甲合适．理由：由（1）知，两人合作完成这项 工程的 75% 需要的时间为12×75%＝9（天）．
剩下 6 天必须由某人单独做完余下的工程，故他的工作效率至
少为(1－75%)÷6＝ 1 ．
24 因为 1 ＜ 1 ＜ 1 ，所以调走甲合适．
30 24 20
归纳
列一元一次方程解决工程问题应注意： （1）要清楚地表达出各个工作者的工作效率； （2）明确各阶段工作效率对应的工作时间； （3）一般有单独工作、合作两种形式，总量一般记为单位“1”．
解决方案选择问题时，无论是给出几种可行方 案，还是通过分析得出可选择方案，都一定把这个 问题抽象成一元一次方程，通过解方程找出相对应 的未知数的值，根据未知数的值及已知量之间的关 系进行分析，最终得出最佳的可行性方案．
➢ 类型 数字问题和年龄问题 9．若一个三位数的十位数字是个位数字的 2 倍，我们称这个