人教版九年级数学上册同步练习：22.3 第2课时 商品利润最大问题【精品】

第2课时 商品利润最大问题
知识点1、二次函数常用解决最优化的问题，这个问题实质是求函数的最大（小）值。

2、抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点是它的最高（低）点，当=2b a
- 时，二次函数有最大（小）值y=2
44ac b a
-。

一、选择题
1、进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价。

若设平均每
次降价的百分率是，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与之间的函数关系式为
（ ）
A 、2(1)y a x =-
B 、2(1)y a x =-
C 、2(1)y a x =-
D 、2
(1)y a x =- 2、某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价。

若每件商品
的售价为元，则可卖处(350-10)件商品。

商品所获得的利润y 元与售价的函数关系为
（ ）
A 、2105607350y x x =--+
B 、2105607350y x x =-+-
C 、210350y x x =-+
D 、2103507350y x x =-+-
3、某产品的进货价格为90元，按100元一个售出时，能售500个，如果这种商品每涨价
1元，其销售量就减少10个，为了获得最大利润，其定价应定为（ ）
A 、130元
B 、120元
C 、110元
D 、100元
4、小明在跳远比赛中跳出了满意的一跳，函数2
3.5
4.9h t t =-（t 单位s ，h 单位m ）可
用描述她的重心的高度变化，则她从起跳后到重心处于最高位置时所用的时间是
（ ）
A 、0.71s
B 、0.70s
C 、0.63s
D 、0.36s
5、如图，正△ABC 的边长为3cm ，动点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度，沿A →B →
C 的方向运动，到达点C 时停止，设运动时间为（秒），2y PC =，则y 关于的函数图像
大致为（ ）
A B 第5题 C D
6、已知二次函数2(0)
=++≠的图像如图所示，现有下列结论：①abc＞0；
y ax bx c a
②24
-＜0；③c＜4b；④a+b＞0.则其中正确的结论的个数是（）
b ac
A、1
B、2
C、3
D、4
7、如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为，则s关于的函数图象大致是（）
A B C 第7题 D
8、某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形（阴影部分）片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长、y应分别为（）
A、=10,y=14
B、=14,y=10
C、=12,y=15
D、=15,y=12
第6题第8题
二、填空题
1、已知卖出盒饭的盒数（盒）与所获利润y（元）满足关系式：21200357600
=-+-，
y x x
则卖出盒饭数量为盒时，获得最大利润为元。

2、人民币存款一年期的年利率为，一年到期后，银行会将本金和利息自动按一年期定期存款储蓄转存。

如果存款额是a元，那么两年后的本息和y元的表达式为
（不考虑利息税)。

11、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。

为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。

经调查发现：若这种衬衫每降价2元，商场平均每天可多售出4件，则商场降价后每天的盈利y（元）与降价（元）的函数关系式。

3、已知正方形ABCD的边长是1，E为CD边的中点，P为正方形ABCD边上的一个动
点，动点P从点A出发，沿A→B→C→E运动，到达E点．若点P经过的路程为自变量，
△APE的面积为函数y，则当
1
3
y 时，的值= .
4、如图，抛物线y=a2-4和y=-a2+4都经过轴上的A、B两点，两条抛物线的
14、如图，点P在抛物线y=2-4+3上运动，若以P为圆心，为半径的⊙P与轴
5、如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过秒，四边形APQC的面积最小．
三、解答题
1、某旅馆有30个房间供旅客住宿。

据测算，若每个房间的定价为60元/天，房间将会住满；若每个房间的定价每增加5元/天，就会有一个房间空闲。

该旅馆对旅客住宿的房间每间要支出各种费用20元/天（没住宿的不支出）。

当房价定为每天多少时，该旅馆的利润最大？
2、最近，某市出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加。

某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元每千克。

经市场调查发现，该产品每天的销售量w（千克）与销售量（元）有如下的关系：w=-2+80。

设这种产品每天的销售利润为y（元）。

（1）求y与之间的函数关系式；
（2）当销售价定为多少元每千克时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元每千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？
3、与某雪糕厂由于季节性因素，一年之中产品销售有淡季和旺季，当某月产品无利润时就停产。

经调查分析，该厂每月获得的利润y（万元）和月份之间满足函数关系式2
=-++，已知3月份、4月份的利润分别是9万元、16万元。

问
y x ax b
（1）该厂每月获得的利润y（万元）和月份之间的函数关系式；
（2）该厂在第几个月份获得最大利润？最大利润为多少？
（3）该厂一年中应停产的是哪几个月份？通过计算说明。

4、（黄冈）某技术开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买这种新型产品，公司决定商家一次性购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次性购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元。

（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？
（2）设商家一次购买这种产品件，开发公司所获得的利润为y元，求y（元）与（元）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）该公司的销售人员发现：当商家一次性购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况。

为使商家一次购买的数量越越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其他销售条件不变）
5、（长沙）在长株潭建设两型社会的过程中。

为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工。

已知生产这种产品的成本价为每件20元。

经过市场调查发现，该产品的销售单价定为25元到30元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售
单价（元）之间的函数关系式为：
40(2530)
250.5(3035)
x x
y
x x
-≤≤
⎧
=⎨
-≤
⎩＜。

（年获利=年销售收
入-生产成本-投资成本）
（1）当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？
（2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价（件）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利,最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？
（3）第二年，该公司决定给希望工程捐款万元，该项捐款由两部分组成：一部分是10万元的固定捐款；另一部分则是每销售一件产品，就抽出一元作为捐款。

若出去第一年的最大获利（或是最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的单位。

（选作）
参考答案
选择题1、D 2、B 3、B 4、D 5、D 6、B 7、B 8、D
二.填空题 1、600 240000 2、()21y a x =+ 3、2
26080y x x =-++ 4、2533或 5、0.16
6、（-2,1） ()2,1+ ()2,1-
7、3
三．解答题1、解：设每天的房价为60+5元，
则有个房间空闲，已住宿了30-个房间．
∴度假村的利润y=（30-）（60+5）-20（30-），其中0≤≤30．
∴y=（30-）•5•（8+）
=5（240+22-2）
=-5（-11）2+1805．
因此，当=11时，y 取得最大值1805元，
即每天房价定为115元∕间时，度假村的利润最大。

2、解：（1）y=（-20）w
=（-20）（-2+80）
=-22+120-1600，
∴y 与的函数关系式为：
y=-22+120-1600；（3分）
（2）y=-22+120-1600
=-2（-30）2+200，
∴当=30时，y 有最大值200，
∴当销售价定为30元/千克时，每天可获最大销售利润200元；（6分）
（3）当y=150时，可得方程：
-2（-30）2+200=150，
解这个方程，得
1=25，2=35，（8分）
根据题意，2=35不合题意，应舍去，
∴当销售价定为25元/千克时，该农户每天可获得销售利润150元．
3、解：（1）把点（3，9），（4，16）代入函数关系式：
99316164a b a b =-++⎧⎨=-++⎩
解得：1424a b =⎧⎨=-⎩
∴y=-2+14-24
（2）当1472(1)x =-
=⨯-时，=25y 最大
∴7月份获得最大利润，最大利润是25万元．
（3）当y=0时，有方程：
2-14+24=0
解得：1=2，2=12．
所以第二月和第十二月份无利润，根据二次函数的性质，第一月份的利润为负数， 因此一年中应停产的是第一月份，第二月份和第十二月份．
4、解：（1）设件数为，依题意，得3000-10（-10）=2600，解得=50，
答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元；
（2）当0≤≤10时，y=（3000-2400）=600，
当10＜≤50时，y=[3000-10（-10）-2400]，即y=-102+700
当＞50时，y=（2600-2400）=200
∴y=⎧⎪⎨⎪⎩ 600(0≤≤10，且为整数)
−102+700(10＜≤50，且为整数)
200(＞50，且为整数)
（3）由y=-102+700可知抛物线开口向下，当=35时，利润y 有最大值， 此时，销售单价为3000-10（-10）=2750元，
答：公司应将最低销售单价调整为2750元．
5、解：（1）∵25＜28＜30，
y＝⎧
⎨
⎩40−(25≤≤30) 25−0.5(30＜≤35)
∴把=28代入y=40-得，
∴y=12（万件），
答：当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为12万件；
（2）①当 25≤≤30时，W=（40-）（-20）-25-100=-2+60-925=-（-30）2-25，故当=30时，W最大为-25，即公司最少亏损25万；
②当30＜≤35时，
W=（25-0.5）（-20）-25-100=
2
1
35625
2
x x
-+-
=
2
1
(35)12.5
2
x
---
故当=35时，W最大为-12.5，即公司最少亏损12.5万；
对比①，②得，投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万；
答：投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万；
（3）①当 25≤≤30时，W=（40-）（-20-1）-12.5-10=-2+61-862.5≥67.5，-2+61-862.5≥67.5，
化简得：2-61+930≤0
解得：30≤≤31，
当两年的总盈利不低于67.5万元时，=30；
②当30＜≤35时，W=（25-0.5）（-20-1）-12.5-10=
2
1
35.5547.567.5 2
x x
-+-≥
化简得：2-71+1230≤0
解得：30≤≤41，
当两年的总盈利不低于67.5万元时，30≤≤35，
答：到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，此时销售单价的范围是30≤≤35．。