2022-2023学年安徽省池州市贵池区数学九年级第一学期期末质量检测模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确的是（ ）
A ．∠ABD=∠C
B ．∠ADB=∠AB
C C ．AB CB B
D CD = D ．AD AB AB AC
= 2．已知线段c 是线段a 和b 的比例中项，若a =1，b =2,则c =( )
A ．1
B 2
C ．2
D ．33．下列一元二次方程中，有一个实数根为1的一元二次方程是（ ）
A ．x 2+2x -4=0
B ．x 2-4x +4=0
C ．x 2+4x +10=0
D ．x 2+4x -5=0
4．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 5．把抛物线2y x =-向右平移一个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的解析式为（ ）
A ．2(1)3y x =--+
B ．2(1)3y x =-+
C ．2(1)3y x =-++
D ．2(1)3y x =++
6．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M ，若CD ＝8 cm ，MB ＝2 cm ，则直径AB 的长为（ ）
A ．9 cm
B ．10 cm
C ．11 cm
D ．12 cm
7．已知正多边形的边心距与边长的比为12，则此正多边形为（ ） A ．正三角形 B ．正方形 C ．正六边形 D ．正十二边形
8．如图，以点A 为中心，把△ABC 逆时针旋转m°，得到△AB′C′（点B 、C 的对应点分别为点B′、C′），连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（ ）
A ．1902m -
B ．3902
m - C ．30m - D ．1302m + 9．用配方法将二次函数267y x x =--化为2()y a x h k =-+的形式为（ ）
A ．2(3)2y x =-+
B ．2(3)16y x =--
C ．2(3)2y x =++
D ．2(3)16y x =+- 10．若函数2(0)y ax bx c a =++≠其几对对应值如下表，则方程20ax bx c ++=（a ，b ，
c 为常数）根的个数为（ ） x 2- 1-
1 y 1 1-
1 A ．0 B ．1 C ．
2 D ．1或2
11．若抛物线223y x =+经过点()1,A m ，则m 的值在（ ）．
A ．0和1之间
B ．1和2之间
C ．2和3之间
D ．3和4之间
12． “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为( )
A ．9
B ．6
C ．4
D ．3
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ADC ＝60°，∠B ＝30°，若CD ＝3cm ，则BD ＝_____cm ．
14．在英语句子“Wish you success”（祝你成功）中任选一个字母，这个字母为“s”的概率是 ．
15．把方程2x 2﹣1=x （x+3）化成一般形式是_________.
16．如图，正方形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点D （5，3）在边AB 上，以C 为中心，把△CDB 旋转90°，则旋转后点D 的对应点D ′的坐标是___________．
17．若1x 、2x 为关于x 的方程220x mx m ++=（m≠0）的两个实数根，则12
11+x x 的值为________． 18．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，当y ＜3时，x 的取值范围是____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）已知：ABC ∆中，AB AC =．
（1）求作：ABC ∆的外接圆；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若ABC ∆的外接圆的圆心O 到BC 边的距离为4，12BC =，求O 的面积．
20．（8分）在正方形ABCD 和等腰直角BGF ∆中，90BGF ∠=︒，P 是DF 的中点，连接PG 、PC .
（1）如图1，当点G 在BC 边上时，延长GP 交DC 于点E .求证：PG PC =；
（2）如图2，当点F 在AB 的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；
（3）如图3，若四边形ABCD 为菱形，且60ABC ∠=︒，BGF ∆为等边三角形，点F 在CB 的延长线上时，线段PC 、PG 又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线.
21．（8分）某校综合实践小组要对一幢建筑物MN 的高度进行测量.如图，该小组在一斜坡坡脚A 处测得该建筑物顶端M 的仰角为45︒，沿斜坡向上走20m 到达B 处，（即20AB m =）测得该建筑物顶端M 的仰角为30.已知斜坡的坡度3:4i =，请你计算建筑物MN 的高度（即MN 的长，结果保留根号）.
22．（10分）如图，C 地在A 地的正东方向，因有大山阻隔，由A 地到C 地需要绕行B 地，已知B 地位于A 地北偏东67°方向，距离A 地520km ，C 地位于B 地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A 地到C 地之间高铁线路的长（结果保留整数）（参考数据：sin67°≈0.92；cos67°≈0.383≈1.73）
23．（10分）如图所示，小吴和小黄在玩转盘游戏，准备了两个可以自由转动的转盘甲、乙，每个转盘被分成面积相等的几个扇形区域，并在每个扇形区域内标上数字，游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止转动后，指针所指扇形区域内的数字之和为4，5或6时，则小吴胜；否则小黄胜．（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）
（1）这个游戏规则对双方公平吗？说说你的理由；
（2）请你设计一个对双方都公平的游戏规则．
24．（10分）某商场经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售单价为25元/件时，每天的销售量是250件；销售单价每上涨一元，每天的销售量就减少10件，
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？
25．（12分）如图，已知直线
1
2
2
y x
=-+与两坐标轴分别交于A、B两点，抛物线2
1
-
2
y x bx c
=++经过点A、
B，点P为直线AB上的一个动点，过P作y轴的平行线与抛物线交于C点, 抛物线与x轴另一个交点为D．
（1）求图中抛物线的解析式；
（2）当点P在线段
．．AB上运动时，求线段PC的长度的最大值；
（3）在直线
．．AB上是否存在点P，使得以O、A、P、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．
26．如图，在四边形ABCD 中，AB DC ，AB AD =，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ．
（1）求证：四边形ABCD 是菱形；
（2）若5AB =，2BD =，求OE 的长．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】由∠A 是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A 与B 正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D 正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【详解】∵∠A 是公共角，
∴当∠ABD=∠C 或∠ADB=∠ABC 时，△ADB ∽△ABC （有两角对应相等的三角形相似），故A 与B 正确，不符合题意要求；
当AB ：AD=AC ：AB 时，△ADB ∽△ABC （两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D 正确，不符合题意要求；
AB ：BD=CB ：AC 时，∠A 不是夹角，故不能判定△ADB 与△ABC 相似，故C 错误，符合题意要求，
故选C ．
2、B
【分析】根据线段比例中项的概念，可得a ：c=c ：b ，可得c 2=ab=2，故c 的值可求，注意线段不能为负．
【详解】解：∵线段c 是a 、b 的比例中项，∴c 2=ab=2，
解得c=
又∵线段是正数，∴
故选：B ．
【点睛】
本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方．求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．
3、D
【分析】由题意，把x=1分别代入方程左边，然后进行判断，即可得到答案．
【详解】解：当x=1时，分别代入方程的左边，则
A 、1+24-=1-，故A 错误；
B 、1-4+4=1，故B 错误；
C 、1+4+10=15，故C 错误；
D 、1+4-5=0，故D 正确；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是分别把x=1代入方程进行解题．
4、C
【分析】设这种植物每个支干长出x 个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论
【详解】设这种植物每个支干长出x 个小分支，
依题意，得：2143x x ++=，
解得： 17x =-（舍去），26x =．
故选C ．
【点睛】
此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程
5、A
【解析】试题解析：抛物线2y x =-的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后得到的点的坐标为（1，1），所以所得的抛物线的解析式为y=（x-1）2+1．
故选B ．
考点：二次函数图象与几何变换
6、B
【分析】由CD ⊥AB ，可得DM=1．设半径OD=Rcm ，则可求得OM 的长，连接OD ，在直角三角形DMO 中，由勾股定理可求得OD 的长，继而求得答案．
【详解】解：连接OD ，设⊙O 半径OD 为R,
∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M ，
∴DM=12
CD=1cm ，OM=R-2, 在RT △OMD 中，
OD²=DM²+OM²即R²
=1²+(R-2)², 解得：R=5,
∴直径AB 的长为:2×
5=10cm ． 故选B ．
【点睛】
本题考查了垂径定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．
7、B
【分析】边心距与边长的比为12
，即边心距等于边长的一半，进而可知半径与边心距的夹角是15度．可求出中心角的度数，从而得到正多边形的边数．
【详解】如图，圆A 是正多边形的内切圆；
∠ACD ＝∠ABD ＝90°，AC ＝AB ，CD ＝BD 是边长的一半，
当正多边形的边心距与边长的比为
12
，即如图有AB ＝BD ， 则△ABD 是等腰直角三角形，
∠BAD ＝15°，∠CAB ＝90°，
即正多边形的中心角是90度，
所以它的边数＝360÷
90＝1． 故选：B ．
【点睛】 本题利用了正多边形与它的内切圆的关系求解，转化为解直角三角形的计算．
8、B
【分析】根据旋转的性质可得BAB CAC m ''∠=∠=︒、AB AB '=，利用等腰三角形的性质可求得
1902AB B m '∠=︒-︒，再根据平行线的性质得出1902
C AB m ''∠=︒-︒，最后由角的和差得出结论． 【详解】解：∵以点A 为中心，把ABC 逆时针旋转m ︒，得到AB C ''△
∴BAB CAC m ''∠=∠=︒，AB AB '= ∴()()11118018090222
AB B BAB m m ''∠=︒-∠=︒-︒=︒-︒ ∵//AC BB '' ∴1902
C AB AB B m '''∠=∠=︒-︒ ∴13909022CAB CAC C AB m m m ⎛
⎫''''∠=∠-∠=︒-︒-
︒=︒-︒ ⎪⎝⎭ 故选：B
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等；也考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质及角的和差．
9、B
【分析】加上一次项系数一半的平方凑成完全平方式，将一般式转化为顶点式即可．
【详解】()2
22676997316=---+--=--y x x x x x =
故选：B ．
【点睛】
本题考查二次函数一般式到顶点式的转化，熟练掌握配方法是解题的关键．
10、C
【分析】先根据表格得出二次函数的图象与x 轴的交点个数，再根据二次函数与一元二次方程的关系即可得出答案．
【详解】由表格可得，二次函数的图象与x 轴有2个交点
则其对应的一元二次方程20ax bx c ++=根的个数为2
故选：C ．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象、二次函数与一元二次方程的关系，掌握理解二次函数的图象特点是解题关键． 11、D
【分析】将点A 代入抛物线表达式中，得到2m =+，根据12<
<进行判断．
【详解】∵抛物线22y x =()1,A m ，
∴2m =，
∵12<<，
∴m 的值在3和4之间，
故选D ．
【点睛】
本题考查抛物线的表达式，无理数的估计，熟知12<
<是解题的关键．
12、D
【分析】已知ab ＝8可求出四个三角形的面积，用大正方形面积减去四个三角形的面积得到小正方形的面积，根据面积利用算术平方根求小正方形的边长.
【详解】a b -由题意可知：中间小正方形的边长为：， 11ab 8422
=⨯=每一个直角三角形的面积为：， 214ab a b 252
（），∴⨯+-= 2a b 25169∴-=-=（），
a b 3∴-=，
故选D.
【点睛】
本题考查勾股定理的推导，有较多变形题，解题的关键是找出图形间面积关系，同时熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
二、填空题（每题4分，共24分） 13、1
【分析】根据30°直角三角形的比例关系求出AD,再根据外角定理证明∠DAB=∠B,即可得出BD=AD ． 【详解】∵∠B ＝30°，∠ADC ＝10°， ∴∠BAD ＝∠ADC ﹣∠B ＝30°， ∴AD ＝BD ， ∵∠C ＝90°， ∴∠CAD ＝30°， ∴BD ＝AC ＝2CD ＝1cm ， 故答案为：1． 【点睛】
本题考查30°直角三角形的性质、外交定理,关键在于熟练掌握基础知识并灵活运用． 14、
【解析】试题解析：在英语句子“Wishyousuccess!”中共14个字母，其中有字母“s”4个．故其概率为42
=147
. 考点：概率公式． 15、x 2﹣3x ﹣1=1
【解析】2x 2﹣1=x （x+3）， 2x 2﹣1=x 2+3x ， 则2x 2﹣x 2﹣3x ﹣1=1， 故x 2﹣3x ﹣1=1， 故答案为x 2﹣3x ﹣1=1． 16、（2，10）或（﹣2，0）
【解析】∵点D （5，3）在边AB 上，∴BC=5，BD=5﹣3=2，
①若顺时针旋转，则点D′在x 轴上，OD′=2，所以，D′（﹣2，0），
②若逆时针旋转，则点D′到x 轴的距离为10，到y 轴的距离为2，所以，D′（2，10）， 综上所述，点D′的坐标为（2，10）或（﹣2，0）． 17、-2
【分析】根据根与系数的关系12b x x a +=-
，12c
x x a
=，代入化简后的式子计算即可. 【详解】∵122x x m +=-，12x x m =，
∴1212121122x x m
x x x x m
+-+
===-， 故答案为：2- 【点睛】
本题主要考查一元二次方程ax 2+bx+c=0的根与系数关系，熟记：两根之和是b a -，两根之积是c
a
，是解题的关键． 18、－1＜x ＜3
【分析】根据图象，写出函数图象在y=3下方部分的x 的取值范围即可． 【详解】解：如图，根据二次函数的对称性可知，－1＜x ＜3时，y ＜3， 故答案为：－1＜x ＜3. 【点睛】
本题考查了二次函数与不等式和二次函数的对称性，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便．
三、解答题（共78分） 19、 (1)详见解析;(2)52π
【分析】(1)分别作出AB 、BC 的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即是圆的圆心，以O 为圆心，OB 为半径作圆即可，如图所示．
(2)已知ABC ∆的外接圆的圆心O 到BC 边的距离为4，12BC =，利用勾股定理即可求出OB 2，再根据圆的面积公式即可求解．
【详解】解：（1）如图
（2）设BC 的垂直平分线交BC 于点D 由题意得：4OD =，1
62
BD CD BC ==
= 在Rt OBD ∆中，222224652OB OD BD =+=+= ∴252O
S
OB ππ=⋅=
【点睛】
本题主要考查的是圆的外接三角形尺规作图法和勾股定理的应用，掌握这两个知识点是解题的关键． 20、（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）3PG PC =，图详见解析.
【分析】（1）利用已知条件易证DPE FPG ∆≅∆，则有PE PG =，DE GF =，从而有CE CG =，再利用直角三角形的斜边中线的性质即可得出结论；
（2）由已知条件易证DPE FPG ∆≅∆，由全等三角形的性质证明CDE CBG ∆≅∆，最后利用直角三角形的斜边中线的性质即可得出结论；
（3）由已知条件易证DPE FPG ∆≅∆，由全等三角形的性质证明CDE CBG ≅，最后利用等腰三角形的性质和特殊角的三角函数值即可求出答案.
【详解】（1）证明：FG BC ⊥，DC BC ⊥
//DC GF ∴ EDP GFP ∴∠=∠
又
DP PF =，DPE FPG ∠=∠
DPE FPG ∴∆≅∆(ASA)
PE PG ∴=，DE GF =
又
GF GB =，DC BC =，
CE CG ∴=
在Rt ECG ∆中，
PE PG =
PC PG ∴=
（2）成立，证明如下：
延长GP 到E ，使PE PG =，连接DE 、CE 、CG .
DP PF =，DPE FPG ∠=∠，PE PG =
DPE FPG ∴∆≅∆
PE PG ∴=、DE GF =、EDP GFP ∠=∠ GF GB = DE BG ∴= //DC BF CDP BFP ∴∠=∠
45CDE BFG CBG ∴∠=∠=∠=︒
DC BC =，CDE CBG ∠=∠，DE BG = CDE CBG ∴∆≅∆
CE CG ∴=，DCE BCG ∠=∠ 90ECG ∴∠=︒
在Rt ECG ∆中，
PE PG =
PC PG ∴=
（3）3PG PC =
论证过程中需要的辅助线如图所示
证明：延长GP 到点E ，使EP PG =,连接DE ，CE,CG , ∵,,DP PF DPE GPF EP PG =∠=∠= ∴()DPE GPF SAS ≅ ∴,DE GF EDP GFP =∠=∠ ∵BGF 为等边三角形 ∴GF BG = ∴DE BG = ∵//DC AB
∴CDP GQF ∠=∠
∴EDP CDP GFP GQF ∠+∠=∠+∠
∵180********GFP GQF FGB ∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒ ∴120CDE EDP CDP ∠=∠+∠=︒ ∵60ABC ∠=︒
∴180********CBG ABC ∠=︒-∠=︒-︒=︒ 又∵CD CB =
∴()CDE CBG SAS ≅ ∴,DCE GCB CE CG ∠=∠= 又∵EP PG =
∴90,CPG ECP GCP ∠=︒∠=∠ ∵120DCB ∠=︒
∴1
602ECP DCB ∠=∠=︒
∴tan 60PG
PC
︒==
∴PG = 【点睛】
本题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，解直角三角形等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
21、建筑物MN 的高度为()
26m .
【分析】过点B 作BC MN ⊥，根据坡度的定义求出AB ，BD,AD ，再利用三角函数的定义列出方程求解. 【详解】解：过点B 作BC MN ⊥，垂足为C .过点B 作BD AN ⊥，垂足为D . ∵MN AN ⊥，
∴90BCN CND BDN ∠=∠=∠=︒， ∴四边形BCND 是矩形，
∴BC DN =，BD CN =，90ADB ∠=︒. ∵3:4i =， ∴
3
4
BD AD =，
∴设3BD k =，4AD k =， ∴520AB k ==， ∴4x =，
∴12BD m =，16AD m =.
根据题意，30MBC ∠=︒，45MAN ∠=︒， 在Rt BCM ∆中，设CM x m =，
∵3
tan 303
CM BC ︒==
， ∴3BC x m =
，
∴3DN x m =， ∴(
)
316AN DN AD x m =-=-，
在Rt AMN ∆中，
∵45MAN ∠=︒，(
)
316MN AN x m ==
-.
又∵()12MN MC CN x m =+=+， ∴31612x x -=+，解得14314x =+， ∴()
14326MN m =+.
答：建筑物MN 的高度为()
14326m +.
【点睛】
此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义. 22、A 地到C 地之间高铁线路的长为592km ．
【分析】过点B 作BD ⊥AC 于点D ，利用锐角三角函数的定义求出AD 及CD 的长，进而可得出结论． 【详解】过点B 作BD ⊥AC 于点D ，
∵B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，∴∠ABD＝67°，
∴AD＝AB•sin67°＝520×0.92＝478.4km，
BD＝AB•cos67°＝520×0.38＝197.6km．
∵C地位于B地南偏东30°方向，
∴∠CBD＝30°，
∴CD＝BD•tan30°＝197.63
113.9km，
∴AC＝AD+CD＝478.4+113.9≈592（km）．
答：A地到C地之间高铁线路的长为592km．
【点睛】
考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，需要熟记锐角三角函数的定义．
23、（1）不公平
（2）1 2
【解析】解：列表或画树状图正确，
转盘甲
转盘乙
1 2 3 4 5
1 （1，1）和为
2 （2，1）和为
3 （3，1）和为
4 （4，1）和为
5 （5，1）和为6
2 （1，2）和为
3 （2，2）和为
4 （3，2）和为
5 （4，2）和为
6 （5，2）和为7
3 （1，3）和为4
（2，3）和为5
（3，3）和为6
（4，3）和为7
（5，3）和为8
4
（1，4）和为5
（2，4）和为6
（3，4）和为7
（4，4）和为8
（5，4）和为9
（1）数字之和一共有20种情况，和为4，5或6的共有11种情况， ∵P （小吴胜）＝＞P （小黄胜）＝
，
∴这个游戏不公平；
（2）新的游戏规则：和为奇数小吴胜，和为偶数小黄胜.
理由：数字和一共有20种情况，和为偶数、奇数的各10种情况， ∴P （小吴胜）＝P （小黄胜）＝
.
24、（1）w=-10x 2+700x-10000；（2）35元
【分析】（1）利用每件利润×销量=总利润，进而得出w 与x 的函数关系式； （2）利用配方法求出二次函数最值进而得出答案． 【详解】解：（1）由题意可得：w=（x-20）[250-10（x-25）] =-10（x-20）（x-50） =-10x 2+700x-10000；
（2）∵w=-10x 2+700x-10000=-10（x-35）2+2250， ∴当x=35时，w 取到最大值2250，
即销售单价为35元时，每天销售利润最大，最大利润为2250元． 【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用，根据销量与售价之间的关系得出函数关系式是解题关键． 25、（1）213
222
y x x =-
++；（2）当2x =时，线段PC 有最大值是2；（3）21（,），(222,12)-+
，
(222,12)+-
【分析】把x=0，y=0分别代入解析式可求点A ，点B 坐标，由待定系数法可求解析式；
设点C 213
(,2)22x x x -
++,可求PC 2)1(2
22x -=-+,由二次函数的性质可求解； 设点P 的坐标为(x,−
12
x+2)，则点C 213
(,2)22x x x -++，分三种情况讨论，由平行四边形的性质可出点P 的坐标．
【详解】解：(1)可求得 A （0,2 ），B(4,0 ) ∵抛物线2
1-
2
y x bx c =++经过点A 和点B ∴把(0,2),(4,0)分别代入2
1-2y x bx c =++得：2840c b c =⎧⎨-++=⎩
解得：322
b c ⎧
=⎪⎨⎪=⎩
∴抛物线的解析式为213
222y x x =-
++. （2）设点P 的坐标为(x,−12
x+2)，则C （213
(,2)22x x x -++）
222131
2(2)
222
1
221
(2
)2
2c p PC y y x x x x x x =-=-++--=+-+-=-+
∵点P 在线段AB 上 ∴04x ≤≤
∴当2x =时，线段PC 有最大值是2 （3）设点P 的坐标为(x,−1
2
x+2)， ∵PC ⊥x 轴，
∴点C 的横坐标为x ，又点C 在抛物线上， ∴点C(x,213
-
222
x x ++) ①当点P 在第一象限时，假设存在这样的点P ，使四边形AOPC 为平行四边形，
则OA=PC=2,即2131
-
2(2)2222
x x x ++--+=， 化简得：2440x x -+=， 解得x 1=x 2=2把x=2代入1
212
y x =-+= 则点P 的坐标为(2,1)
②当点P 在第二象限时，假设存在这样的点P ，使四边形AOCP 为平行四边形，
则OA=PC=2,即2113
-
2(2)2222
x x x +--++=， 化简得：2440x x --=，
解得：222()222x x =+=-舍去或 把1
2222122
x y x =-=-
+=+代入， 则点P 的坐标为(2-22,12)+;
③当点P 在第四象限时，假设存在这样的点P ，使四边形AOCP 为平行四边形，
则OA=PC=2,即2113-2(2)2222
x x x +--+==， 化简得：2440x x --=，
解得：22)x x =+=-舍去
把12212
x y x =+=-+=-
则点P 的坐标为2+-（ 综上，使以O 、A. P 、C 为顶点的四边形是平行四边形，
满足的点P 的坐标为2,1;(2-++-（）.
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式，最值问题，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用分类讨论的思想解决问题．
26、（1）证明见解析；（2）2.
【解析】分析：（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可.
（2）根据菱形的性质和勾股定理求出2OA =．根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解. 详解：（1）证明：∵AB ∥CD ，
∴CAB ACD ∠=∠
∵AC 平分BAD ∠
∴CAB CAD ∠=∠，
∴CAD ACD ∠=∠
∴AD CD =
又∵AD AB =
∴AB CD =
又∵AB ∥CD ，
∴四边形ABCD 是平行四边形
又∵AB AD =
∴ABCD 是菱形
（2）解：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 交于点O ．
∴AC BD ⊥．12OA OC AC ==，12OB OD BD ==， ∴112
OB BD ==．
在Rt AOB 中，90AOB ∠=︒．
∴2OA ==．
∵CE AB ⊥，
∴90AEC ∠=︒．
在Rt AEC 中，90AEC ∠=︒．O 为AC 中点． ∴122
OE AC OA ===． 点睛：本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键.。