高中数学2.4向量的应用2.4.2向量在物理中的应用优化训练新人教B版必修4201710024106

2.4.2 向量在物理中的应用
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.下列各量中是向量的是（）
A.密度
B.体积
C.电流强度
D.重力
解析：利用物理定义及向量的定义.
答案：D
2.已知两个力F1、F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，则F1的大小为（）
A.53N
B.5 N
C.10 N
D.52N
解析：|F1|=|F|·cos60°=5.
答案：B
3.已知两个粒子A、B从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为v a=(4，3)，v b=(3，
4)，则v a在v b上的正射影为_______________.
解析：由题知v a与v b的夹角θ的余弦值为cosθ=
12
12
55
2424
∴v a在v b上的正射影为|v a|cosθ=5×= .
255
24
答案：
5
24
25
.
4.一条河的两岸平行，河的宽度d=500 m，一艘船从A处出发到河对岸(如图2-4-3).已知船的速度|v1|=10 km/h，水流速度|v2|=2 km/h，问行驶最短航程时，所用时间是多少?为什么?
图2-4-3
解：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶，就能使行驶的航程最短，所用时间最短.考虑到水的流速，要使船行驶最短航程，那么船的速度与水流速度的合速度v必须垂直于对岸，如下图.
|v|= 1|||2
|v2v≈9.8km/h，θ=90°+arccos
2
|
|
v
v
1
|
|
≈104°28′.
所以t=
|
d
v|
0.5
9.8
≈3.1min.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.某人先位移向量a：“向东走3 km，”接着再位移向量b：“向北走3 km，”则a+b为
1
（）
A.向东南走32km
B.向东北走32km
C.向东南走33km
D.向东北走33km
解析：由图知|a+b|=32km.
答案：B
2.在重600 N的物体上系两根绳子，与铅垂线的夹角分别为30°、60°，重物平衡时，两根绳子拉力的大小分别为( )
A.3003,3003
B.150，150
C.3003，300
D.300，3003
解析：作A OACB，使∠AOC=30°，∠BOC=60°，
在△OAC中，∠ACO=∠BOC=60°，∠OAC=90°，
|OA|=|OC|cos30°=3003N,
|AC|=|OC|sin30°=300 N
|OB|=|AC|=300 N.
答案：C
3.一条渔船距对岸4 k m，以2 k m/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8 km，则河水的流速为（）
A.23km/h
B.2 km/h
C. 3km/h
D.3 km/h
2
解析：如图，设河水流速大小为v1，实际航向与水流方向的夹角为α，则sinα=
4
8
=
1
2
，所2
以α=30°，v1= 23
tan 30
k m/h，即水流速度大小为23km/h.
答案：A
4.已知向量O F=(4，-5)，
1
OF=(-7，9)分别表示两个力f1、f2，则f1+f2的大小为
2
_____________.
解析：f1+f2=OF1+OF2=(-3，4)，
∴|f1+f2|= 324
=5.
2
答案：5
5.如图2-4-4,甲表示橡皮条在两个力的作用下，沿着GC的方向伸长了EO；图乙表示撤去F1和F2，用一个力F作用在橡皮条上，使橡皮条沿着相同的直线方向伸长相同的长度.改变力F1与F2的大小和方向，重复以上实验，可以得到F与F1、F2的关系为________________.
图2-4-4
解析：由向量的加法可得F=F1+F2，如图，实验验证了向量加法在力的分解中的应用.
答案：F=F1+F2
6.一自行车以6 m/s的速度向北行驶，这时骑车人感觉风自正西方吹来，但站在地面上测得风
自西偏南
6
方向吹来，试求：
(1)风相对于车的速度；
(2)风相对于地面的速度.
解：按相对速度概念，作速度向量如图，已知|v车地|=6 m/s，方向为正北，v风车与v风地的夹
角为.由此可知
6
3
(1)风相对于车(即人)的速度的大小为|v 风车|=|v 车地|cot 6
=6 3 m/s. (2)风相对于地面的速度大小为|v 风地|=
| v
车地
sin 6
| =12 m/s.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.用力 f 推动一物体水平运动 s m ，设 f 与水平面夹角为 θ，则它所做的功是( ) A.f ·s·cosθ B.f ·s C.-|f |·s·cosθ D.|f ||s|cosθ
解析：W=|f ||s|cosθ. 答案：D
2.所受重力为 G 的物体用绳子缚着，某人手拉着绳子在水平地面上拖走.若物体与地面滑动系
数 U= 3 3
，那么绳子与地面所成角 θ=____________时，所用拉力最少.（
）
A.30°
B.60°
C.90°
D.45°
解析：Fcosθ=
3 3
(G-Fsinθ)，F=
G G
sin
3 cos 2sin(
60 )
，
∴当 θ=30°时，F 取最小值其最小值为 答案：A
G 2
.
3.已知作用在坐标原点的一个力 F 1=(3，4)，F 2=(2，-5)，F 3=(3，1)，则作用在原点的合力 F 1+F 2+F 3 的坐标为（ ） A.(4，0) B.(8，0) C.(0，8) D.(6，2) 解析：F 1+F 2+F 3=(3，4)+(2，-5)+(3，1)=(8，0). 答案：B
4.一架飞机向北飞行 300 k m 后改变航向向西飞行 300 k m ，则飞行路程为_____________，两次 位移和的方向为_____________，大小为_____________.( ) A.300 km ，北偏东 45°，300 2 km B.600 km ，南偏东 45°，300 2 km C.600 km ，北偏西 45°，300 2 km
D.300 2 km ，北偏东 45°，300 km
解析：路程为300+300=600 km ，可按平形四边形(如图)作出位移及方向，知|AC |=300 2 km ， 而∠BAC=45°.
4
答案：C
5.在静水中划船速度为每分钟40 m，水流速度为每分钟20 m，如果船从岸边A处出发，沿着垂直于水流的航线到达对岸，那么船应该沿上游与河岸夹角为___________的方向前进. （）
A.30°
B.60°
C.90°
D.45°
解析：设水速对应向量AB，则|AB|=20 m，静水中船速对应向量AD，则|AD|=40 m，
而AD+AB=AC，由题意知△ADC为直角三角形，
sin∠DAC=
|AB|20
40
|AD|
1
2
.
∴∠DAC=30°.
∴船沿上游与河岸夹角为60°方向前进.
答案：B
6.(2006高考辽宁卷，12)设O(0，0)，A(1，0)，B(0，1)，点P是线段AB上的一个动点，AP =λAB.若OP·AB PA·PB,则实数λ的取值范围是（）
A.
1
2
2
≤λ≤1 B.
1≤λ≤1
2
C.
1
2
22
≤λ≤
1 D.1≤λ≤1+
22
2
2
解析：由AP=λAB，可得P点坐标为(1-λ,λ)，若OP·AB≥PA·PB,可得
(1-λ)×(-1)+λ≥λ(λ-1)+(-λ)(1-λ)，
即2λ2-4λ+1=0，得1-
2
2
≤λ≤1+
2
2
.
同时因为点P在线段AB上，所以0≤λ≤1.所以1-
2
2
≤λ≤1.
答案：B
7.用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N，则每根绳子的拉力大小
为_______________.
5
解析：由题意，知∠AOB=∠COB=60°，|OB|=10，|OA|=|OC|=10.
答案：10 N
8.质量为m的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为α，则斜面对于物体的摩擦力f
的大小为______________ N.
解析：物体受三个力：重力g，斜面对物体的支持力p，摩擦力f.
由于物体静止，
∴ｗ+f+p=0，设垂直于斜面斜下方、大小为1 N的力为e1，沿斜面下降方向、大小为1 N的力为e2，以e1，e2为基底，写出涉及三个力的坐标，则p=(-p，0)，f=(0，f)，
G=(mgcosα，mgsinα),
ｗ+f+p=(mgcosα-p，mgsinα-f)=(0，0),
故mgsinα-f=0，f=mgsinα(N).
答案：mgsinα
9.如图2-4-5，用两根绳子把重10 kg的物体W吊在水平杆子AB上,∠ACW=150°，∠BCW=120°,求A和B处所受力的大小(忽略绳子的重量).
图2-4-5
解：设A、B处所受力分别为f1、f2，10 kg的重力用f表示，则f1+f2=f.以重力作用点C为f1、f2的始点作平行四边形CFWE，使CW为对角线，则CF=f2，CE=f1，CW=f,
∠ECW=180°-150°=30°，∠FCW=180°-120°=60°，∠FCE=90°.
∴四边形CEWF为矩形.
∴|CE|=|CW|cos30°=10·
3
2
=53，|CF|=|CN|cos60°=10×
1
2
=5.
∴A处所受力为53kg，B处所受力为5 kg.
10.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图2-4-6所示，一艘船从长江南
6
岸A点出发，以23km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2 km/h.
图2-4-6
(1)试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度；
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示).
解：(1)如图所示，AD表示船速，AB表示水速，以AD、AB为邻边作A ABCD，则AC表示船实际航行的速度.
(2)在Rt△ABC中，|AB|=2，|BC|=23，
∴|AC|= |AB|2|BC|222(23)2=4.
23.
∵tan∠CAB=3
2
∴∠CAB=60°.
11.在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠
上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗?并请同学们思
考下面的问题：
(1)θ为何值时，|F1|最小，最小值是多少?
(2)θ为何值时，|F1|=|G|?
(3)如果|F|=588 N，|G|=882 N，θ在什么范围时，绳子才不会断?
解：如图，由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道|F|=
|G|
2cos
2
.
通过上面的式子，我们发现：当θ由0°到180°逐渐增大时，
2
由0°到90°逐渐变大，cos
2的值由大逐渐变小，因此F由小逐渐变大，即F1、F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力.
7
由三角函数及表达式得：(1)θ=0时，|F1|最小，这时|F1|= (2)θ=120°时，|F1|=|G|；(3)0°≤θ＜82°.|G
2
|
；
8。