二轮专题突破：同构法在解析几何中的运用

同构法在解析几何中的应用
【方法简述】
同构法是处理解析几何对称问题的有力武器．同构思想的介入，使得解析几何中对称问题、切线问题、平行线截线段成比例问题等，结构相同或相似问题的求解过程变得简单明了． 【典例精析】
一、同构法解决平行线截线段成比例问题
例1.【2022‧湖北省部分重点中学高三第一次联考‧22】
如图所示，已知抛物线24x y =的角度为F ，过F 的直线交抛物线与,A B 两点，A 在y 轴左侧且AB 的斜率大于0.
(1)当直线AB 斜率为1时，求弦AB 的长；
(2)已知(1,0)P 为x 轴上一点，弦AB 过抛物线的焦点F ，且斜率0k >,若直线,PA PB 分别交抛物线与,C D 两点，问是否存在实数λ使得AB CD λ=，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.
设22
12123344(,),(,),(,),(,)44
x x A x B x C x y B x y ， 直线AB 的方程为1y kx =+，
联立21
4y kx x y
=+⎧⎨=⎩得2440x kx --=，12124,4x x k x x +==-，
若AB CD λ=则||AB CD ，且
AB CD λ=，于是PA AB
PC CD
λ==，从而PA PC λ=， 即21133(1,)(1,)4x x x y λ-=-，132
131(1)4x x x y λλ-=-⎧⎪⎨=⎪
⎩，于是13213
14x x x y λλλ+-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， 即2111(
,)4x x C λλλ+-，同理2
221(,)4x x D λλλ
+- 将C 坐标代入24x y =整理得2211(1)x x λλ+-=，2211(1)2(1)(1)0x x λλλ-----=
y
x
D
C B
A
P
O
1λ≠211210x x λ∴-+-=，同理222210x x λ-+-=
于是12,x x 是方程2210x x λ-+-=的两根，121x x λ∴=-，
故14λ-=-，5λ=.
【点评】同构思想是处理对称问题的有力武器；本题同构思想的介入，使得过程简洁明了，运算简单直接，是很好的解题方法．
二、同构法解决双斜率问题：同构+齐次化处理 例2.【2022‧新高考1卷‧21】
已知点(2,1)A 在双曲线22
22
:1(1)1
x y C a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0． （1）求l 的斜率；
（2）若tan 22PAQ ∠=，求PAQ △的面积． 【答案】（1）1- （2）
162
9
【解析】(1)将点(2,1)A 代入2222
:11x y C a a -=-解得2
2a =，所以双曲线为2212x y -= 双曲线可化为
2
2[(2)2][(1)1]12
x y -+--+=即22(2)2(1)4[(2)(1)]0x y x y ---+---= 设直线PQ 的方程为(2)(1)1a x b y -+-=
联立22(2)2(1)4[(2)(1)]0(2)(1)1x y x y a x b y ⎧---+---=⎨
-+-=⎩
可得22(2)24[(2)(1)][(2)(1)]0x y x y a x b y --+----+-= 即22(41)(2)4()(2)(1)(42)(1)0a x b a x y b y +-+----+-= 两边同除2(2)x -整理得211
(42)(
)4()(41)022
y y b a b a x x --++--+=-- 其中
1
2
y x --表示直线AP 与BP 的斜率,AP AQ k k 由于4()
024AP AQ a b k k b
-+=-
=+
所以a b =，直线PQ 的斜率为1a
k b
=-
=-.
(2)不妨设直线AP 的斜率0AP k >，设其倾斜角为θ 由0AP BP k k +=可知22PAQ θπθ∠=-或 而tan 22PAQ ∠=tan 222θ=± 即
2
2tan 221tan θ
θ
=±-tan 2θ=±或2tan 2θ=± 因为双曲线2
212
x y -=渐近线斜率为22±，故舍去2tan 2θ=±
因为tan 0θ>，故舍去tan 2θ=tan 2θ=故2,2AP AQ k k ==-直线AP 的方程为12(2)y x -=-，直线AP 的方程为12(2)y x -=-，
22
1
2
12(2)x y y x ⎧-=⎪⎨⎪-=-⎩
消去y 得223(4216)2(12)20x x ++-+= 方程的两根为点,A P 的横坐标，所以164223P x -+=
，102
3
P x -= 22
1
2
12(2)x y y x ⎧-=⎪⎨⎪-=-⎩
消去y 得223(4216)2(122)20x x -+++= 方程的两根为点,A Q 的横坐标，所以1642
23
Q x ++=，1023Q x +=
于是||32|(21)3P AP x =-=
，||32|(21)3
Q AQ x =-= 而由tan 22PAQ ∠=22
sin PAQ ∠=
所以1162||||sin 29
PAQ S AP AQ PAQ ∆=
∠=. 【点评】本题直线,AP AQ 的斜率具有相同的结构，即
1
2
y x --的形式，于是可考虑构造关于1y -与2x -的二次齐次方程．齐次化在解决圆锥曲线同构问题上往往有奇效．直接将直线PQ 的方程设为(2)(1)1a x b y -+-=，进行“１代换”，为齐次化带来了方便．本解法思路奇巧，运算简洁明了．但
需要考生平时付出大量训练才能掌握此方法的精髓和技巧！
三、同构法解决圆双切线问题
例3.【2022‧荆门市东宝中学高二上期中检测试题‧22】
如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为
（1）求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标；
（2）若两条切线于轴分别交于两点，求面积的最小值．
【答案】（1）5(,0)2Q （2）
【解析】
（1）由题意可知PAB ∆外接圆即以CP 为直径的圆，而(4,),(2,0)P t C ， 故所求方程为(4)(2)()0x x y t y --+-=，即22680x y x ty +--+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅① 圆22:(2)1C x y -+=即22430x y x +-+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅②，
-②①得：250x ty +-=，即直线AB 的方程，
所以直线AB 恒过定点5
(,0)2
Q . （2）设直线与的斜率分别为，
与圆，即．
所以，
22:(2)1C x y -+=P :4l x =P C ,A B y
x
l
4
O
C
N
M
P
B
A
AB Q ,PA PB y ,M N QMN 3
3
AP BP 12,k k (4)y t k x -=-C 2
11k
=+223410k tk t -+-=2121241
,33
-+=⋅=t t k k k k
而，， 故 . 【点评】本题圆的两条切线,PA PB 的斜率12,k k 都满足2
11k =+，即，
这是同构方程.韦达化使问题轻松得以解决. 【强化练习】
1.已知抛物线2:2(0)C y px p =>过点(4,)P m ，点P 到抛物线C 焦点F 的距离与点P 到y 轴的距
离之比为
32
. (1)求抛物线C 的方程；
(2)直线y kx =与直线4y =-的交点为Q ，过Q 点作两条相异直线1l 和2l ，其中1l 与抛物线C 交于A B 、两点，2l 与抛物线C 交于,M N 两点，
且点A 和M 分别是,QB QN 的中点，记12,l l 的斜率为1k 和2k ，试问：12
111
()k k k +是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.
2.椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为6
3
，并与直线2y x =+相切 (1)求椭圆C 的方程；
(2)如图，过圆22:4D x y +=上任一点P 作椭圆C 的两条切线,m n .求证m n ⊥.
3.如图，已知抛物线2:4C y x =，过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于,A B 两点，P 是抛物线外一点，连接,PA PB 与抛物线交于,C D 两点，且CD AB ，设,AB CD 的中点分别为,M N .
14M y t k =-24N y t k =-()
22
12121241283
||444+=-=+-=≥
⋅t MN k k k k k k ()
min
1835103
22MNQ S
∆=
=
103
22
3410k tk t -+-=
(1)求证MN x 轴；
(2)若3
2
PC CA =，求PAB ∆面积的最小值.
4.如图所示，已知抛物线24x y =的焦点F ，过F 的直线交抛物线于,A B 两点，A 在y 轴的左侧且AB 的斜率大于0.
(1)当AB 的斜率为1时，求弦长||AB 的值；
(2)点0(,0)P x 在x 正半轴上，连接,PA PB 与抛物线交于,C D 两点，若CD AB ，且||3||AB CD =，求0x 的值.
5. 如图，已知抛物线24x y =，直线1y kx =+与抛物线交于,A B 两点，P 是抛物线外一点，连接
,PA PB 与抛物线交于,C D 两点，且CD AB .
(1)若1k =，求点P 的轨迹方程；
(2)若2PC CA =，且PA x 轴，求PAB ∆的面积.
6.已知实数0p >，且过的2(0,)M p -的直线l 与曲线2:2C x py =交于,A B 两点. (1)设O 为坐标原点，直线,OA OB 的斜率为12,k k ，若121k k =，求p 的值；
(2)设直线12,MT MT 与曲线分别C 相切于点12,T T ，点N 为直线12T T 与弦AB 的交点，且
,MA MN MB MN λμ==，证明
1
1
λ
μ
+
为定值.
y
x
P
D
C
B
A
O
【答案与解析】
1.【答案】(1) 28y x = (2)-2 【解析】
(1)设点(4,)P m 到y 轴的距离为d ，则3
2
PF d =，即43242
p
+
=，解得4p =， 所以抛物线方程为28y x =.
(2)由题意可知(4,4)Q k --，设2222
(,),(,),(,),(,),8888
N A B M A B M N y y y y A y B y M y N y 则 1228
88
A B A B A B A B
A B y y y y k y y x x y y --=
==-+-,同理2
8M N k y y =+, 故
121188
M N
A B y y y y k k +++=+， 因为点A 和M 分别是,QB QN 的中点，所以42
2
Q B
B
A x x x x +-+=
=
, 即2
2
1418822
B
Q B A y x x y -++==
，即2211448A B y y =-+， 又42
2
Q B
B
A y y k y y +-+==
，所以24B A y y k =+， 从而
2211
4(24)48
A A y y k =-++，整理得2288160A A y ky k ++-=， 同理可得2288160M M y ky k ++-=，
所以,A M y y 是方程2288160y ky k ++-=的两根， 故8A M y y k +=-， 所以
122424118888
3()8248288
M N A B A A M M A M y y y y y y k y y k k k y y k k k
k
+++++++=+=+++-+===-
所以12
111
()2k k k +=-,为定值.
2.【答案】(1) 2
213
x y += 【解析】(I)由63e =知22
3a b =，椭圆方程可设为222213x y b b
+=.
又直线2y x =+与椭圆相切，代入整理后方程224121230x x b ++-=满足0=△.由此得21b =.
故椭圆方程为2
213
x y +=.
(II)设00(,)P x y .
当03x =±时，有一条切线斜率不存在，此时01y =±，于是另一条切线平行于x 轴，故两切线,m n 满足m n ⊥.
当03x ≠±时，两条切线,m n 的斜率都存在.
设直线m 的斜率为k ，则其方程为00()y y k x x -=-，即00y kx kx y =-+.代入2
213x y +=并整理得
2220000(13)6()3()30k x k y kx x y kx ++-+--=.
由0=△得2220000(3)210x k x y k y -++-=.
注意到直线n 的斜率也适合上述关系，所以,m n 的斜率12,k k 就是上述方程的两根，
由韦达定理可得2
0122
13y k k x -=-. 由于点P 在圆224x y +=上，所以22003(1)x y -=--，于是121k k =-，故m n ⊥. 终上所述，过圆22:4D x y +=上任一点P 作椭圆C 的两条切线,m n ，总有m n ⊥.
3.【答案】(2)
16
5
【解析】
(1)抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，设11223444(,),(,),(,),(,),A x y B x y C x y D x y 设直线AB 的方程为1x my =+，代入24y x =整理得2440y my --=， 于是12124,4y y m y y +==-，12
22
M y y y m +==， 因为CD AB ，所以43432243434341
1144
CD
AB y y y y k k x x y y t y y --=====-+-，于是3
422N y y y m +==， 由知MN x 轴.
(2)由(1)可知12124,4y y m y y +==-，22
212122128
M x x y y x t ++===+， 设00(,)P x y ，由3
2PC CA =，得010
1332323,55
x x y y x y ++==， 代入抛物线24y x =，得到2210100362020y y y x y -+-=， 同理由3
2
PD DA =
，可得2220200362020y y y x y -+-=， 所以12,y y 为方程22000362020y y y x y -+-=的两根， 故12024y y y m +==，所以02y m =，于是,,P M N 三点共线，
又2001220243x y y y -==-，所以2200623
1055
y t x --==， 又212||41y y t -=+23012116
||||(1)25
PAB M S x x y y t ∆=-⋅-=+， 当0t =时，PAB ∆面积的最小值为165
. 4.【答案】(1)8 (2)02x =【解析】设1122(,),(,),(,),C C A x y B x y C x y
(1)由题意知，点F 的坐标为(1,0)，直线AB 的方程为10x y --=，
联立2104x y x y --=⎧⎨=⎩，得2610y y -+=，12126,||28y y AB y y ∴+==++=.
(2)设22(2,),(2,)A t t B s s
AB CD 且||3||AB CD =，得||3||,3AP CP AP CP ==,
21
3C y t ∴=且0023()C x t x x -=-，得0223
C t x x +=
， 又因为点C 在抛物线24x y =上，22
0224()33
t x t +∴=，整理得2200220t x t x --=，
同理2200220s x s x --=，
,s t ∴是关于x 的方程2
2
00220x x x x --=的两根，2
00,2
x s t x st +==-， 设直线AB 的方程为1y kx =+，与抛物线方程24x y =联立得2440x kx --=，
则2,2s t 是此方程的两根，故224s t ⋅=-，2
001,1,22
x st x ∴=-∴-=-=.
5.【答案】(1) 2(11)x y =-<< (2)
72011121
【解析】 (1)因为CD AB ，设,PC CA PD DB λλ==, 设112200(,),(,),(,),A x y B x y P x y
联立214y kx x y
=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x kx --=，12124,4x x k x x ∴+==-. 设(,)C C C x y 由PC CA λ=即0011(,)(,)C C C C x x y y x x y y λ--=--，得01210141C C x x x x y y λλλλ+⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩
， 代入抛物线方程得2
102014()411x y x x λλλλ++=⨯++，整理得221010024(1)0x x x y x λλλ-++-=， 同理可得222020024(1)0x x x y x λλλ-++-=， 故12,x x 是关于x 的方程2200024(1)0x x x y x λλλ-++-=的两根， 所以12002442x x x k x +===⇒=，2000124(1)4(1)44y x y x x λλλλ+-+-=
==-， 于是0121(0)11y λλλλ
-==-+>++，故0(1,1)y ∈-， 所以点P 的轨迹是2(11)x y =-<<.
(2) 由12,x x 是关于x 的方程2200024(1)0x x x y x λλλ-++-=的两根， 可得12024x x x k +==，所以02x k =，200124(1)4y x x x λλ
+-=
=-， 2PC CA =则2λ=，于是有2023k y -=， 因为AC x 轴且,A C 在抛物线上，所以,A C 关于y 轴对称， 因为01112213C x x k x x x λλ++===-+，得125
k x =-，故222(,)53k k A --， 代入抛物线方程得2222()453k k --=⨯，解得22511k =，
设AB 的中点为M 则222212121211()[()2]212448
M x x y x x x x k =+=+-=+， 所以22201022125720112|||||2||21|||(1)5353121
PAB PAM M k k S S x x y y k k k k ∆∆-==--=++-=⨯+=. 6.【答案】(1)2p = (2)2
【解析】
(1)设直线AB 的方程为2y kx p =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，
联立222y kx p x py
⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消去y 可得23220(*)x pkx p -+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅， 所以312122,2x x pk x x p +==，
2244121212()y y k x x kp x x p p =-++=，
直线,OA OB 的斜率为12,k k ，且121k k =，即1212
1y y x x =，即4312p p =，解得2p =. (2)对于方程(*)，当232(2)8022pk p k p k p ∆=-=⇒=⇒=± 当2k p p =122x x pk p p ===2T 的横坐标为2p p ， 在22x py =中令2x p p =2y p =，所以22(2,)T p p p ，直线12T T 的方程为2y p =，
在2y kx p =-中令2
y p =得22p x k =，即点N 的横坐标2
2N p x k =， 由,MA MN MB MN λμ==可得：12,N N x x x x λμ==， 所以2
123121212111122()22N N N N x x x x pk p x x x x x x x x p k λμ++=+=+==⋅=.。