近年届高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语课时训练3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词文(2

2019届高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语课时跟踪训练3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词文
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课时跟踪训练（三) 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量
词
［基础巩固]
一、选择题
1．下列命题中的假命题是( ）
A．∀x∈R，x2≥0B．∀x∈R，2x－1〉0
C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，sin x＋cos x＝2
[解析］对于D选项,sin x＋cos x＝2sin错误!≤ 错误!,故D错，易得A、B、C正确．
[答案] D
2．命题“∃x0∈N，x错误!＋2x0≥3”的否定为（)
A．∃x0∈N，x20＋2x0≤3
B．∀x∈N，x2＋2x≤3
C．∃x0∈N，x错误!＋2x0〈3
D．∀x∈N，x2＋2x〈3
[解析］命题“∃x0∈N,x错误!＋2x0≥3”的否定为“∀x∈N，x2＋2x 〈3"．故选D。

[答案］D
3．（2017·云南玉溪一中第四次月考）已知命题p：在△ABC中，“C〉B”是“sin C〉sin B"的充分不必要条件；命题q：“a〉b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件，则下列选项中正确的是( ）
A．p真q假B．p假q真
C．p∨q为假D．p∧q为真
[解析］在△ABC中,若C〉B，根据大角对大边,可得c〉b,再由正弦定理边角互化,可得sin C>sin B，反之也成立．所以在△ABC中，C>B是sin C>sin B 的充要条件，故命题p是假命题．由a〉b，当c＝0时,ac2〉bc2不一定成立，但若ac2〉bc2成立，则a>b成立，所以a〉b是ac2>bc2的必要不充分条件，
故命题q是假命题．所以p∨q为假．故选C.
[答案] C
4．若命题“∀x∈R,kx2－kx－1〈0”是真命题，则实数k的取值范围是( ）
A．（－4,0)
B．(－4，0]
C．（－∞,－4］∪（0，＋∞）
D．（－∞,－4）∪［0,＋∞)
[解析] 命题：“∀x∈R，kx2－kx－1〈0”是真命题．当k＝0时，则有－1<0；当k≠0时,则有k〈0，且Δ＝（－k)2－4×k×（－1）＝k2＋4k<0，解得－4<k〈0.综上所述,实数k的取值范围是（－4,0］．
[答案] B
5．（2018·河北衡水中学调研)已知命题p：方程x2－2ax－1＝0有两个实数根；命题q：函数f（x）＝x＋错误!的最小值为4.给出下列命题：①p∧q;②p∨q;③p∧（綈q）；④(綈p)∨（綈q)．则其中真命题的个数为( ）A．1 B．2
C．3 D．4
[解析］由于Δ＝4a2＋4>0,所以方程x2－2ax－1＝0有两个实数根，即命题p是真命题；当x〈0时，f(x)＝x＋错误!的值为负值,故命题q为假命题，所以p∨q，p∧（綈q),綈p∨(綈q)是真命题，故选C。

[答案］C
6．（2017·安徽蚌埠质检)给出以下命题：①∀a∈R,函数y＝x3＋ax2＋1不是偶函数;②∃a∈R，函数y＝ax2－x＋1是奇函数；③∀m〉0，函数g(x)＝mx｜x｜在R上单调递增；④∃m〉0，函数g(x)＝mx2＋2x－1在错误!上单调递减．其中正确命题的序号是（)
A．①③B．②③
C．①④D．②④
[解析］显然,命题①为真，命题②为假．对于命题③，由于y＝mx｜x｜＝错误!所以当m〉0时，y＝mx｜x|在R上单调递增，命题为真;对于命题④，
若y ＝mx 2＋2x －1在错误!上单调递减，必有错误!解得m ≤－2,故命题为假．综上可得,正确命题为①③。

［答案］ A
7．(2017·福建福州外国语学校期中）已知定义域为R 的函数f （x ）不是偶函数,则下列命题一定为真命题的是（ ）
A ．∀x ∈R ，f （－x ）≠f (x ）
B ．∀x ∈R ,f （－x )≠－f （x ）
C ．∃x 0∈R ，f （－x 0)≠f （x 0)
D ．∃x 0∈R ，f (－x 0）≠－f (x 0)
[解析］ ∵定义域为R 的函数f （x )不是偶函数，∴∀x ∈R ,f (－x ）＝f (x ）为假命题，∴∃x 0∈R ，f （－x 0）≠f (x 0）为真命题．故选C.
［答案］ C
二、填空题
8．(2017·安徽合肥一模)命题：∃x 0∈R ，x 错误!－ax 0＋1〈0的否定为____________________．
[解析] 写命题的否定时，除结论要否定外，存在量词与全称量词要互换,因此命题：∃x 0∈R ，x 错误!－ax 0＋1<0的否定为∀x ∈R ，x 2
－ax ＋1≥0。

［答案] ∀x ∈R ，x 2－ax ＋1≥0
9．已知命题p ：∃x 0∈R ，ax 错误!＋x 0＋错误!≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．
［解析] 因为命题p 是假命题，所以綈p 为真命题,即∀x ∈R ，ax 2＋x ＋12
>0恒成立．当a ＝0时,x >－错误!,不满足题意;当a ≠0时，要使不等式恒成立，则有错误!即错误!解得错误!所以a >错误!,即实数a 的取值范围是错误!.
[答案] 错误!
10．(2018·甘肃兰州一中月考)已知命题p ：∃x ∈R ,(m ＋1)（x 2＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1〉0恒成立．若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为________．
［解析］ 当命题p 为真命题时，m ＋1≤0，解得m ≤－1.当命题q 为真
命题时，Δ＝m2－4×1×1〈0，解得－2<m〈2。

当命题p∧q为真命题时，则有错误!⇒－2<m≤－1.所以命题p∧q为假命题时，m的取值范围是(－∞,－2］∪(－1，＋∞)．
[答案] （－∞，－2］∪(－1，＋∞）
［能力提升]
11．(2017·河北五个一名校联考)命题“∃x0∈R,1<f（x0)≤2”的否定形式是（）
A．∀x∈R,1〈f（x）≤2
B．∃x∈R,1<f(x）≤2
C．∃x∈R，f（x)≤1或f(x）〉2
D．∀x∈R,f（x）≤1或f(x)>2
[解析] 根据特称命题的否定是全称命题可知原命题的否定形式为“∀x∈R，f(x）≤1或f（x)〉2"．故选D.
[答案] D
12．(2017·安徽安庆二模）设命题p：∃x0∈（0，＋∞），x0＋1
x
>3；命
题q：∀x∈（2，＋∞），x2>2x,则下列命题为真的是( ）
A．p∧(綈q) B．（綈p)∧q
C．p∧q D．（綈p)∨q
[解析］对于命题p，当x0＝4时，x0＋错误!＝错误!>3，故命题p为真命题;对于命题q，当x＝4时,24＝42＝16，即∃x0∈(2,＋∞）,使得2x0＝x错误!成立,故命题q为假命题，所以p∧（綈q）为真命题,故选A.
［答案］A
13．(2017·湖北黄冈二模)下列四个结论：
①若x>0,则x〉sin x恒成立；②命题“若x－sin x＝0，则x＝0"的逆否命题为“若x≠0,则x－sin x≠0"；③“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真"的充分不必要条件；④命题“∀x∈R，x－ln x〉0”的否定是“∃x0∈R，x0－ln x0〈0”．
其中正确结论的个数是（）
A．1 B．2
C．3 D．4
［解析］对于①，令y＝x－sin x,则y′＝1－cos x≥0，则函数y＝x －sin x在R上递增，则当x〉0时,x－sin x>0－0＝0,即当x〉0时，x〉sin x 恒成立,故①正确；对于②，命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”，故②正确；对于③，命题p∨q为真即p,q中至少有一个为真,p∧q为真即p，q都为真,可知“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件，故③正确;对于④，命题“∀x∈R，x－ln x〉0"的否定是“∃x0∈R，x0－ln x0≤0”，故④错误．综上，正确结论的个数为3，故选C.
[答案] C
14．(2017·甘肃高台一中第三次检测）设p：∃x∈错误!，使函数g(x）＝log2（tx2＋2x－2）有意义．若綈p为假命题，则实数t的取值范围为________．
［解析］因为命题綈p为假命题，所以命题p为真命题．∃x∈错误!，使函数g(x）＝log2(tx2＋2x－2)有意义等价于∃x∈错误!，使tx2＋2x－2〉0成立，即∃x∈错误!，使t>错误!－错误!成立．令h(x)＝错误!－错误!，x∈错误!,则∃x∈错误!,使t>错误!－错误!成立等价于t〉h(x）min。

因为h(x）＝错误!－错误!＝2错误!2－错误!，x∈错误!，所以当错误!＝错误!，即x＝2时,h（x）min ＝－错误!，所以t〉－错误!.
［答案] 错误!
15．已知m∈R,命题p：对任意x∈［0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立；命题q:存在x∈［－1,1］，使得m≤ax成立．
（1）若p为真命题，求m的取值范围；
（2)当a＝1，若p且q为假,p或q为真，求m的取值范围．
［解］（1）∵对任意x∈［0,1］，不等式2x－2≥m2－3m恒成立,∴(2x －2）min≥m2－3m，即m2－3m≤－2，解得1≤m≤2.
因此，若p为真命题时，m的取值范围是［1，2］．
（2）∵a＝1，且存在x∈[－1，1］,使得m≤ax成立，
∴m≤1.
因此，命题q为真时,m≤1.
∵p且q为假,p或q为真，∴p,q中一个是真命题，一个是假命题．
当p真q假时，由错误!得1<m≤2；
当p假q真时，由错误!得m〈1。

综上所述，m的取值范围为（－∞，1)∪（1,2］．
[延伸拓展]
（2017·皖南名校4月联考）设命题p：函数f(x）＝x3－ax－1在区间［－1,1]上单调递减；命题q：函数y＝ln（x2＋ax＋1）的值域是R，如果命题p或q是真命题,p且q为假命题，则实数a的取值范围是（) A．（－∞，3］B．（－∞，－2］∪[2，3）
C．(2,3］D．［3，＋∞）
［解析] 若p为真命题，则f′（x)＝3x2－a≤0在区间［－1，1］上恒成立，即a≥3x2在区间［－1，1］上恒成立，所以a≥3；若q为真命题,则方程x2＋ax＋1＝0的判别式Δ＝a2－4≥0，即a≥2或a≤－2.由题意知,p 与q一真一假．当p真q假时，错误!则a∈∅；当p假q真时，错误!则a≤－2或2≤a〈3。

综上所述，a∈（－∞,－2］∪[2，3)．故选B。

［答案］B。