江苏省宿迁市泗洪中学高中数学 3.4基本不等式(一)练习(无答案)苏教版必修5

3.4.1 基本不等式的证明（1） 班级 姓名 【课前预习】 一、新知感受 预习课本P96-98相关内容，填要点,并找出不理解的地方先在课本上作出记号。

1.对于正数b a ,，我们把 称为b a ,的算术平均数，把 称为b a ,的几何平均数。

其中两个正数b a ,的几何平均数 与它们的算术平均数 的关系为 ，也就是说， ， 。

2.如果b a ,是正数，那么 （当且仅当 时取“=”）。

我们把不等式 （ ）称为基本不等式。

即两非负数的算术平均数 它们的几何平均数，当两数 时两者相等。

3.不等式证明的三种常用方法：比较法，综合法，分析法。

（1）比较法：利用不等式两边差的正负来证明不等式的方法。

（2）综合法：从已知条件出发，利用某些已证不等式或不等式的性质来证明不等式的方法。

（3）分析法：从结论出发，不断寻找使结论成立的条件，一直找到已知条件来证明不等式的方法。

说明：1.“当且仅当a b =时取‘=’”可从两方面理解：一方面是当a b =时取等号，即
2a b a b ab +=⇒=
；另一方面是仅当a b =时取等号，即2
a b ab a b +=⇒=。

综合起来就是2a b a b ab +=⇔=。

特别提醒：在运用基本不等式时一定要注意等号成立的条件。

2.基本不等式中的b a ,可以是简单的字母或数字，也可以是复杂的代数式。

基本不等式的常
用变形形式：（1）若,0,0≥≥b a 则2a b ab +?；（2）若,0,0≥≥b a 则22⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤b a ab 。

3.(1)比较法证题步骤：作差，变形，判断；(2)综合法证题模式：A （已知）1
2n B B B L 揶揶?B （结论）；(3)分析法证题模式：B （结论）12n A A A L 苘苘?A （已知）。

【概念运用】
1．计算下列两个数的算术平均数与几何平均数（其中0p >）。

（１）2，8；（２）3，12；（３）p ，9p ；（４）2与22
p 。

2．证明：（1）222a b ab +?；（2）2
12x x +≥；（3）22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab 。

【典型例题】
例1 已知0,0≥≥b a ，用三种方法证明2b a ab +≤，并给出其几何解释。

例2 设a ，b 为正数，证明下列不等式成立：
（1）2≥+b a a b ；（2）21≥+a a ；（3）11()()4a b a b
++≥。

例3 求证: (1) 2
2111x x +≥+ ； (2) 22322>++x x 。

《基本不等式的证明（1）》课堂作业
【课堂作业】
1. 已知R b a ∈,,求证：（1）22222
b a b a +≤⎪⎭
⎫ ⎝⎛+；（2）22222a b a b +≥+-。

2．（1）设x 是实数，求证：222x x
-+≥；（2）设R b a ∈,，求证：22222a b a b ++≥； （3）设,(0,)a b ∈+∞，求证：
ab b a ab ≤+2。

3．证明：（1）311≥-+
a a )1(>a ；（2）)0(21<-≤+x x
x 。

【练习反馈】 1. 4与9的算术平均数是___ _____，几何平均数是____ ___。

2.若b>a>0 , 则下列不等式一定成立的是 （1）a>
>>+ab b a 2
b ； （2）b>>+>2b a ab a ；（3）b>>>+ab b a 2a ；（4） b>a>ab b a >+2。

3.若a>b>1 , P=b a lg lg ⋅, Q =21(lga+lgb), R=lg 2b a +, 则P ，Q ，R 的大小关系为___ __ ___。

4.证明：（1）165(3)3x x x +≥>-+；（2）44(0)x x x
+≤-<。

5．（1）已知0,0>>b a ，且1=+b a ，求证：41≤ab ； （2）已知0,0>>b a ，求证：
b a b a a b +≥+。

6. 已知0,0>>b a ，试判断2a b +，ab ，211a b
+，22
2a b +之间的大小关系，并用基本不等式证明。

你能给出其几何解释吗？。