(课件)1.1任意角和弧度制
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8、若90º<β<α<135º，则α－β的范围是 __(_0_º,_4_5_º)___，α+β的范围是___(_1_8_0_º,_2_7_0_º;)
9、若β的终边与60º角的终边相同，那么在 [0º,360º]范围内，终边与角 的终边相同的角
3
为______________;
解：β=k·360º+60º，k∈Z.
(四)角的关系:
终边相同的角的表示方法 一般地,所有与角α终边相同的角， 连同角α在内，可构成一个集合 S=｛β︱β=α+k·360°,k∈Z｝ 即任何一个与角α终边相同的角， 都可以表示成角α与周角的整数倍的和.
注意以下四点：
(1) k Z
(2) 是任意角；
(3) k 3600与之间是“+”号， 如k 3600-30°，应看成 k 3600 +(-30°)
(4)终边相同的角不一定相等，但相等 的角，终边一定相同，终边相同的角 有无数多个，它们相差360°的整数倍．
例1. 在0º到360º范围内，找出与下列各角终边 相同的角，并判断它是哪个象限的角.
(1) －120º；(2) 640º；(3) －950º12′.
解：⑴∵－120º=－360º+240º， ∴240º的角与－120º的角终边相同， 它是第三象限角．
解 S={β∣β= -45º+ k·360°,k∈Z}.
S中适合-720º ≤β＜ 360º的 元素是:
-405º -45º 315º
能力提升
·角α的终边经过P(-3,0),则角α( D)
A.是第三象限角
B.是第二象限角 C.既是第二象限角又是第三象限角
D.不属于任何象限
·已知A={第一象限的角},
⑵ ∵640º=360º+280º， ∴280º的角与640º的角终边相同， 它是第四象限角．
⑶ ∵－950º12’=－3×360º+129º48’， ∴129º48’的角与－950º12’的角终边相同， 它是第二象限角．
例2终边在y轴正半轴上角的集合 ｛β︱β= 900 +k·360°,k∈Z｝
C 第一、三象限角 D 第一、四象限角
6、若α是第四象限角，则180º－α是（ C）
A 第一象限角
B 第二象限角
C 第三象限角
D 第四象限角
7、在直角坐标系中，若α与β终边互相垂直， 那么α与β之间的关系是（ ） D
A. β=α+90o B β=α±90o C β=k·360o+90o+α,k∈Z D β=k·360o±90o+α, k∈Z
390°= 30°+＿1·＿36＿0°
-330°= 30°+(＿-1＿)·3＿60° 750°= 30°+＿2·＿36＿0° 归纳: 与30°终边相同的角的集合 ｛β︱β= 30°＋ k·360°,k∈Z｝
写出与－60°终边相同的角的集合 ｛β︱β= －60 °＋ k·360°,k∈Z｝ 写出与0°终边相同的角的集合 ｛β︱β= 0 °＋ k·360°,k∈Z｝
B={锐角},C={小于90º的角},
则下列关系式正确的是( D )
A. A=B=C C. A∩C=B
B. B∪C=A D. B∪C=C
·若α是锐角,则k·180º+α, (k∈Z) 所在的象限是( C )
A.第一象限
B.第一、二象限
C.第一、三象限 D.第一、四象限
探讨 1、用集合的形式表示下列各角
及判定 教学难点:
把终边相同的角用集合和符号语言 正确地表示出来
1.初中所学角是如何定义的？ 具有公共顶点的两条 射线组成的图形
2.初中学习过哪些角？ 锐角、直角、钝角、 平角、和周角
3.初中学习的角的范围？
0º<α≤360º
观察一组图片 1.钟表的指针旋转
2.自行车的车轮周而复始地转动 一根辐条
（4）第四象限角构成的集合
| 270o k 360o 360o k 360o, k Z
探讨 2、若是第二象限角
则2是第几象限角？
是第几象限角？
2
是第几象限角？
3
3、已知α,β角的终边相同，那么α－β的终边
在（ A） A x轴的非负半轴上 B y轴的非负半轴上 C x轴的非正半轴上 D y轴的非正半轴上
所以 =k·120º+20º， k∈Z.
3
当k=0时，得角为20º， 当k=1时，得角为140º，
当k=2时，得角为260º.
终边在y轴负半轴上角的集合 ｛β︱β= 2700+k·360°,k∈Z｝ 或｛β︱β= -900+k·360°,k∈Z｝
终边在y轴上角的集合为 ｛β︱β= 900+k·360°,k∈Z｝∪ ｛β︱β= 2700+k·360°,k∈Z｝
1.与-496°终边相同的角
是 -496°+k·360°(k∈Z); 它们中最小正角是__2_2_4_°
（1）第一象限角构成的集合
| k 360o 90o k 360o, k Z
（2）第二象限角构成的集合
| 90o k 360o 180o k 360o,k Z
（3）第三象限角构成的集合
|180o k 360o 270o k 360o,k Z
解 S={β∣β= 45°+ k·360°,k∈Z} ∪
{β∣β= 225°+k·360°,k∈Z}=
S={β∣β= 45°+ k·180°,k∈Z} S中适合-360 °≤β＜ 720 °的 元素是: 45 º- 2×180°=- 315 º,
角的 概念
角的 大小
角的 位置
角的 关系
正角 负角 零角
1.1 任意角
教学目标:
1.通过实例,使学生理解角的概念推广的 必要性
2.理解任意角的概念，根据角的终边 旋转方向,能判定正角、负角和零角
3.学会建立直角坐标系来讨论任意角, 能够根据终边判断象限角,掌握终边 相同角的表示方法
教学重点: 1.任意角的概念，象限角的概念 2.掌握终边相同的角的表示方法
3.在跳水运动中， “转体720º”、 “转体1080º”等动 作名称的含义
(一)角的概念:
平面内一条射线绕着端点从一个位置
旋转到另一个位置所形成的图形
终边
B
“旋转”形成角
顶点
o
A
始边
(二)角的分类:
正角：按逆时针方向旋转所形成的角. 负角：按顺时针方向旋转所形成的角.
如α=-150º. 零角：没有作任何旋转的角.记作
4、终边与坐标轴重合的角的集合是（ C ） A {β|β=k·360º(k∈Z) } B {β|β=k·180º(k∈Z) } C {β|β=k·90º(k∈Z) } D {β|β=k·180º+90º(k∈Z) }
5 、已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是
( C) A 第一象限角
Βιβλιοθήκη Baidu
B 第一、二象限角
象限角 轴线角
终边相同角
1.掌握终边相同的角的 表示方法及判定 2.注意： 00到900的角； 00～3600的角； 第一象限角；锐角； 小于900的角的区别
课后作业
1. 阅读教材P.2-P.5； 2. 教材P.5练习第1-5题； 3. 教材P.9习题1.1第1、2、3题.
模仿一下吧
写出与-45º角终边相同的角的集合S, 并把S中适合不等式-720º≤β＜360º 的元素β写出来.
它是第 三 象限的角;
2.下列命题中正确的是( D) A.终边在y轴上的角是直角 B.第二象限角一定是钝角 C.第四象限角一定是负角
D.若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Z），则α
与β终边相同
例2.写出终边在直线y=x上的角的集合S, 并把S中适合不等式-360 º ≤β＜ 720 º 的元素β写出来.
（1） 30° （2）120 °
（3）-60 ° （4） 225°
指出它们是第几象限角 30° 是第一象限角 120 °是第二象限角 -60 °是第四象限角 225° 是第三象限角
2. 在 同 一 直 角 坐 标 系 内 作 出 30° 、 390°、 -330°、 750°,观察它们终边 的关系
α=0º. 角的概念推广后，它包括任意大小的 正角、负角和零角
注意
⑴在不引起混淆的情况下，“角 ” 或“∠ ”可以简化成“ ”；
⑵零角的终边与始边重合，如果 是零角 = 0°；
⑶角的概念经过推广后，已包括正 角、负角和零角．
1.从中午12点到下午3点， 时针走过的角度是＿-9＿00
2.钟表经过4小时，时针与 分针各转了__-1_2_0_º_、_-_1_4_4_0_º_
看谁答得快
(三)角的位置:
1.象限角
y
B1
o
x
B2
在直角坐标系内,角的顶点与
原点重合,始边与x轴的非负半轴
重合,那么角的终边在第几象限，
我们就说这个角是第几象限角.
2.非象限角（界限角、轴线角）
终边落在x轴和y轴上的角
当角的终边不落在象限内,这样的角
还是象限角吗? 否
y
y
o
x
o
x
1 .在直角坐标系中，作出下列各角
9、若β的终边与60º角的终边相同，那么在 [0º,360º]范围内，终边与角 的终边相同的角
3
为______________;
解：β=k·360º+60º，k∈Z.
(四)角的关系:
终边相同的角的表示方法 一般地,所有与角α终边相同的角， 连同角α在内，可构成一个集合 S=｛β︱β=α+k·360°,k∈Z｝ 即任何一个与角α终边相同的角， 都可以表示成角α与周角的整数倍的和.
注意以下四点：
(1) k Z
(2) 是任意角；
(3) k 3600与之间是“+”号， 如k 3600-30°，应看成 k 3600 +(-30°)
(4)终边相同的角不一定相等，但相等 的角，终边一定相同，终边相同的角 有无数多个，它们相差360°的整数倍．
例1. 在0º到360º范围内，找出与下列各角终边 相同的角，并判断它是哪个象限的角.
(1) －120º；(2) 640º；(3) －950º12′.
解：⑴∵－120º=－360º+240º， ∴240º的角与－120º的角终边相同， 它是第三象限角．
解 S={β∣β= -45º+ k·360°,k∈Z}.
S中适合-720º ≤β＜ 360º的 元素是:
-405º -45º 315º
能力提升
·角α的终边经过P(-3,0),则角α( D)
A.是第三象限角
B.是第二象限角 C.既是第二象限角又是第三象限角
D.不属于任何象限
·已知A={第一象限的角},
⑵ ∵640º=360º+280º， ∴280º的角与640º的角终边相同， 它是第四象限角．
⑶ ∵－950º12’=－3×360º+129º48’， ∴129º48’的角与－950º12’的角终边相同， 它是第二象限角．
例2终边在y轴正半轴上角的集合 ｛β︱β= 900 +k·360°,k∈Z｝
C 第一、三象限角 D 第一、四象限角
6、若α是第四象限角，则180º－α是（ C）
A 第一象限角
B 第二象限角
C 第三象限角
D 第四象限角
7、在直角坐标系中，若α与β终边互相垂直， 那么α与β之间的关系是（ ） D
A. β=α+90o B β=α±90o C β=k·360o+90o+α,k∈Z D β=k·360o±90o+α, k∈Z
390°= 30°+＿1·＿36＿0°
-330°= 30°+(＿-1＿)·3＿60° 750°= 30°+＿2·＿36＿0° 归纳: 与30°终边相同的角的集合 ｛β︱β= 30°＋ k·360°,k∈Z｝
写出与－60°终边相同的角的集合 ｛β︱β= －60 °＋ k·360°,k∈Z｝ 写出与0°终边相同的角的集合 ｛β︱β= 0 °＋ k·360°,k∈Z｝
B={锐角},C={小于90º的角},
则下列关系式正确的是( D )
A. A=B=C C. A∩C=B
B. B∪C=A D. B∪C=C
·若α是锐角,则k·180º+α, (k∈Z) 所在的象限是( C )
A.第一象限
B.第一、二象限
C.第一、三象限 D.第一、四象限
探讨 1、用集合的形式表示下列各角
及判定 教学难点:
把终边相同的角用集合和符号语言 正确地表示出来
1.初中所学角是如何定义的？ 具有公共顶点的两条 射线组成的图形
2.初中学习过哪些角？ 锐角、直角、钝角、 平角、和周角
3.初中学习的角的范围？
0º<α≤360º
观察一组图片 1.钟表的指针旋转
2.自行车的车轮周而复始地转动 一根辐条
（4）第四象限角构成的集合
| 270o k 360o 360o k 360o, k Z
探讨 2、若是第二象限角
则2是第几象限角？
是第几象限角？
2
是第几象限角？
3
3、已知α,β角的终边相同，那么α－β的终边
在（ A） A x轴的非负半轴上 B y轴的非负半轴上 C x轴的非正半轴上 D y轴的非正半轴上
所以 =k·120º+20º， k∈Z.
3
当k=0时，得角为20º， 当k=1时，得角为140º，
当k=2时，得角为260º.
终边在y轴负半轴上角的集合 ｛β︱β= 2700+k·360°,k∈Z｝ 或｛β︱β= -900+k·360°,k∈Z｝
终边在y轴上角的集合为 ｛β︱β= 900+k·360°,k∈Z｝∪ ｛β︱β= 2700+k·360°,k∈Z｝
1.与-496°终边相同的角
是 -496°+k·360°(k∈Z); 它们中最小正角是__2_2_4_°
（1）第一象限角构成的集合
| k 360o 90o k 360o, k Z
（2）第二象限角构成的集合
| 90o k 360o 180o k 360o,k Z
（3）第三象限角构成的集合
|180o k 360o 270o k 360o,k Z
解 S={β∣β= 45°+ k·360°,k∈Z} ∪
{β∣β= 225°+k·360°,k∈Z}=
S={β∣β= 45°+ k·180°,k∈Z} S中适合-360 °≤β＜ 720 °的 元素是: 45 º- 2×180°=- 315 º,
角的 概念
角的 大小
角的 位置
角的 关系
正角 负角 零角
1.1 任意角
教学目标:
1.通过实例,使学生理解角的概念推广的 必要性
2.理解任意角的概念，根据角的终边 旋转方向,能判定正角、负角和零角
3.学会建立直角坐标系来讨论任意角, 能够根据终边判断象限角,掌握终边 相同角的表示方法
教学重点: 1.任意角的概念，象限角的概念 2.掌握终边相同的角的表示方法
3.在跳水运动中， “转体720º”、 “转体1080º”等动 作名称的含义
(一)角的概念:
平面内一条射线绕着端点从一个位置
旋转到另一个位置所形成的图形
终边
B
“旋转”形成角
顶点
o
A
始边
(二)角的分类:
正角：按逆时针方向旋转所形成的角. 负角：按顺时针方向旋转所形成的角.
如α=-150º. 零角：没有作任何旋转的角.记作
4、终边与坐标轴重合的角的集合是（ C ） A {β|β=k·360º(k∈Z) } B {β|β=k·180º(k∈Z) } C {β|β=k·90º(k∈Z) } D {β|β=k·180º+90º(k∈Z) }
5 、已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是
( C) A 第一象限角
Βιβλιοθήκη Baidu
B 第一、二象限角
象限角 轴线角
终边相同角
1.掌握终边相同的角的 表示方法及判定 2.注意： 00到900的角； 00～3600的角； 第一象限角；锐角； 小于900的角的区别
课后作业
1. 阅读教材P.2-P.5； 2. 教材P.5练习第1-5题； 3. 教材P.9习题1.1第1、2、3题.
模仿一下吧
写出与-45º角终边相同的角的集合S, 并把S中适合不等式-720º≤β＜360º 的元素β写出来.
它是第 三 象限的角;
2.下列命题中正确的是( D) A.终边在y轴上的角是直角 B.第二象限角一定是钝角 C.第四象限角一定是负角
D.若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Z），则α
与β终边相同
例2.写出终边在直线y=x上的角的集合S, 并把S中适合不等式-360 º ≤β＜ 720 º 的元素β写出来.
（1） 30° （2）120 °
（3）-60 ° （4） 225°
指出它们是第几象限角 30° 是第一象限角 120 °是第二象限角 -60 °是第四象限角 225° 是第三象限角
2. 在 同 一 直 角 坐 标 系 内 作 出 30° 、 390°、 -330°、 750°,观察它们终边 的关系
α=0º. 角的概念推广后，它包括任意大小的 正角、负角和零角
注意
⑴在不引起混淆的情况下，“角 ” 或“∠ ”可以简化成“ ”；
⑵零角的终边与始边重合，如果 是零角 = 0°；
⑶角的概念经过推广后，已包括正 角、负角和零角．
1.从中午12点到下午3点， 时针走过的角度是＿-9＿00
2.钟表经过4小时，时针与 分针各转了__-1_2_0_º_、_-_1_4_4_0_º_
看谁答得快
(三)角的位置:
1.象限角
y
B1
o
x
B2
在直角坐标系内,角的顶点与
原点重合,始边与x轴的非负半轴
重合,那么角的终边在第几象限，
我们就说这个角是第几象限角.
2.非象限角（界限角、轴线角）
终边落在x轴和y轴上的角
当角的终边不落在象限内,这样的角
还是象限角吗? 否
y
y
o
x
o
x
1 .在直角坐标系中，作出下列各角