河北省张家口市2019-2020学年中考第四次质量检测数学试题含解析

河北省张家口市2019-2020学年中考第四次质量检测数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是( )
A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3
C．y＝2(x+3)2D．y＝2(x﹣3)2
2．对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是( )
A．∠α＝60°，∠α的补角∠β＝120°，∠β＞∠α
B．∠α＝90°，∠α的补角∠β＝90°，∠β＝∠α
C．∠α＝100°，∠α的补角∠β＝80°，∠β＜∠α
D．两个角互为邻补角
3．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间
（包含端点），顶点坐标为（1，n），则下列结论：①4a+2b＜0；②﹣1≤a≤
2
3
；③对于任意实数m，
a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．如图，在平行线l1、l2之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点A，B分别在直线l1、l2上，若∠l=65°，则∠2的度数是（）
A．25°B．35°C．45°D．65°
5．民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．
6．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC，若AB=8，CD=2，则cos∠ECB为（）
A ．35
B ．31313
C ．23
D ．21313
7．函数228y x x m =--+的图象上有两点()11,A x y ，()22,B x y ，若122x x <<-，则（ ）
A ．12y y <
B ．12y y >
C ．12 y y =
D ．1y 、2y 的大小不确定
8．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何?”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余
4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x 尺，绳子长为y 尺，则所列方程组正确的是( )
A ． 4.50.51y x y x =+⎧⎨=-⎩
B ． 4.521y x y x =+⎧⎨=-⎩
C ． 4.50.51y x y x =-⎧⎨=+⎩
D ． 4.521
y x y x =-⎧⎨=-⎩ 9．把边长相等的正六边形ABCDEF 和正五边形GHCDL 的CD 边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG 交AF 于点P ，则∠APG ＝（ ）
A ．141°
B ．144°
C ．147°
D ．150°
10．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将绕点A 逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积是( )
A ．6π
B ．3π
C ．2π-12
D ．12
11．已知直线2y kx =-与直线32y x =+的交点在第一象限，则k 的取值范围是（ ）
A ．3k =
B ．3k <-
C ．3k >
D ．33k -<<
12．在平面直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1D 1、D 1 E 1E 2B 2、A 2B 2 C 2D 2、D 2E 3E4B 3…按如图所示的方式放置，其中点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3…在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为l ，∠B 1C 1O=60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…，则正方形A 2017B 2017C 2017 D 2017的边长是（ ）
A．（）2016B．（）2017C．（）2016D．（）2017
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为_______cm．
14．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠1=20°，那么∠2的度数是_____.
15．在某一时刻，测得一根长为1.5m的标杆的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为26m，那么这根旗杆的高度为_____m．
16．27的立方根为．
17．在Rt△ABC纸片上剪出7个如图所示的正方形，点E，F落在AB边上，每个正方形的边长为1，则Rt△ABC的面积为_____．
18．如图，圆锥的表面展开图由一扇形和一个圆组成，已知圆的面积为100π，扇形的圆心角为120°，这个扇形的面积为．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）发现
如图1，在有一个“凹角∠A1A2A3”n边形A1A2A3A4……A n中（n为大于3的整数），∠A1A2A3＝
∠A1+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+……+∠A n﹣（n﹣4）×180°．
验证如图2，在有一个“凹角∠ABC”的四边形ABCD中，证明：∠ABC＝∠A+∠C+∠D．证明3，在有一个“凹角∠ABC”的六边形ABCDEF中，证明；∠ABC＝∠A+∠C+∠D+∠E+∠F﹣360°．
延伸如图4，在有两个连续“凹角A1A2A3和∠A2A3A4”的四边形A1A2A3A4……A n中（n为大于4的整数），∠A1A2A3+∠A2A3A4＝∠A1+∠A4+∠A5+∠A6……+∠A n﹣（n﹣）×180°．
20．（6分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数
k
y
x 的
图象上，过点A的直线y=x+b交x轴于点B．求k和b的值；求△OAB的面积．
21．（6分）甲、乙两个人做游戏：在一个不透明的口袋中装有1张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，1．从中随机摸出一张纸牌然后放回，再随机摸出一张纸牌，若两次摸出的纸牌上数字之和是3的倍数，则甲胜；否则乙胜．这个游戏对双方公平吗？请列表格或画树状图说明理由．
22．（8分）试探究：
小张在数学实践活动中，画了一个△ABC，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，再以点B为圆心，BC为半径画弧交AB于点D，然后以A为圆心，AD长为半径画弧交AC于点E，如图1，则AE＝；此时小张发现AE2＝AC•EC，请同学们验证小张的发现是否正确．
拓展延伸：
小张利用图1中的线段AC 及点E ，构造AE ＝EF ＝FC ，连接AF ，得到图2，试完成以下问题： （1）求证：△ACF ∽△FCE ；
（2）求∠A 的度数；
（3）求cos ∠A 的值；
应用迁移：利用上面的结论，求半径为2的圆内接正十边形的边长．
23．（8分）阅读材料：对于线段的垂直平分线我们有如下结论：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．即如图①，若PA ＝PB ，则点P 在线段AB 的垂直平分线上
请根据阅读材料，解决下列问题：
如图②，直线CD 是等边△ABC 的对称轴，点D 在AB 上，点E 是线段CD 上的一动点（点E 不与点C 、D 重合），连结AE 、BE ，△ABE 经顺时针旋转后与△BCF 重合．
（I ）旋转中心是点 ，旋转了 （度）；
（II ）当点E 从点D 向点C 移动时，连结AF ，设AF 与CD 交于点P ，在图②中将图形补全，并探究∠APC 的大小是否保持不变？若不变，请求出∠APC 的度数；若改变，请说出变化情况．
24．（10分）如图，AD 、BC 相交于点O ，AD ＝BC ，∠C ＝∠D ＝90°．求证：△ACB ≌△BDA ；若∠ABC ＝36°，求∠CAO 度数．
25．（10025(3)tan 45π︒--.化简：2(2)(1)x x x ---.
26．（12分）我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰，如图所示，其中山脚A 、C 两地海拔高度约为1000米，山顶B 处的海拔高度约为1400米，由B 处望山脚A 处的俯角为30°，由B 处望山脚C 处的俯角为45°，若在A 、C 两地间打通一隧道，求隧道最短为多少米（结果取整数，参考数据3）
27．（12分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝m
x
的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两
点．
求反比例函数和一次函数的解析式；根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．C
【解析】
【分析】
按照“左加右减，上加下减”的规律，从而选出答案.
【详解】
y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是y＝2（x＋3）2，故答案选C.
【点睛】
本题主要考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变换规律，解本题的要点在于熟知“左加右减，上加下减”的变化规律.
2．C
【解析】
熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．
解答：解：举反例应该是证明原命题不正确，即要举出不符合叙述的情况；
A、∠α的补角∠β＞∠α，符合假命题的结论，故A错误；
B、∠α的补角∠β=∠α，符合假命题的结论，故B错误；
C 、∠α的补角∠β＜∠α，与假命题结论相反，故C 正确；
D 、由于无法说明两角具体的大小关系，故D 错误．
故选C ．
3．C
【解析】
【分析】
①由抛物线的顶点横坐标可得出b=-2a ，进而可得出4a+2b=0，结论①错误；
②利用一次函数图象上点的坐标特征结合b=-2a 可得出a=-3c ，再结合抛物线与y 轴交点的位置即可得出-1≤a≤-23
，结论②正确； ③由抛物线的顶点坐标及a ＜0，可得出n=a+b+c ，且n≥ax 2+bx+c ，进而可得出对于任意实数m ，a+b≥am 2+bm 总成立，结论③正确；
④由抛物线的顶点坐标可得出抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=n 只有一个交点，将直线下移可得出抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=n-1有两个交点，进而可得出关于x 的方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，结合④正确．
【详解】
：①∵抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为（1，n ），
∴-2b a
=1， ∴b=-2a ，
∴4a+2b=0，结论①错误；
②∵抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A （-1，0），
∴a-b+c=3a+c=0，
∴a=-3
c ． 又∵抛物线y=ax 2+bx+c 与y 轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），
∴2≤c≤3，
∴-1≤a≤-23
，结论②正确； ③∵a ＜0，顶点坐标为（1，n ），
∴n=a+b+c，且n≥ax2+bx+c，
∴对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立，结论③正确；
④∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n只有一个交点，
又∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，结合④正确．
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，观察函数图象，逐一分析四个结论的正误是解题的关键．
4．A
【解析】
【分析】
如图，过点C作CD∥a，再由平行线的性质即可得出结论．
【详解】
如图，过点C作CD∥a，则∠1=∠ACD，
∵a∥b，
∴CD∥b，
∴∠2=∠DCB，
∵∠ACD+∠DCB=90°，
∴∠1+∠2=90°，
又∵∠1=65°，
∴∠2=25°，
故选A．
【点睛】
本题考查了平行线的性质与判定，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．
5．C
【解析】
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．因此，
A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．
故选C．
6．D
【解析】
【分析】
连接EB，设圆O半径为r，根据勾股定理可求出半径r=4，从而可求出EB的长度，最后勾股定理即可求出CE的长度．利用锐角三角函数的定义即可求出答案．
【详解】
解：连接EB，
由圆周角定理可知：∠B=90°，
设⊙O的半径为r，
由垂径定理可知：AC=BC=4，
∵CD=2，
∴OC=r-2，
∴由勾股定理可知：r2=（r-2）2+42，
∴r=5，
BCE中，由勾股定理可知：13
∴cos∠ECB=CB
CE
=
13
13
，
故选D．
【点睛】
本题考查垂径定理，涉及勾股定理，垂直定理，解方程等知识，综合程度较高，属于中等题型．7．A
【解析】
【分析】
根据x 1、x 1与对称轴的大小关系，判断y 1、y 1的大小关系．
【详解】
解：∵y=-1x 1-8x+m ，
∴此函数的对称轴为：x=-b 2a
=-()-82-2⨯=-1， ∵x 1＜x 1＜-1，两点都在对称轴左侧，a ＜0，
∴对称轴左侧y 随x 的增大而增大，
∴y 1＜y 1．
故选A ．
【点睛】
此题主要考查了函数的对称轴求法和函数的单调性，利用二次函数的增减性解题时，利用对称轴得出是解题关键．
8．A
【解析】
【分析】
根据“用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”可以列出相应的方程组，本题得以解决．
【详解】
由题意可得，
4.50.51y x y x =+⎧⎨=-⎩
， 故选A ．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 9．B
【解析】
【分析】
先根据多边形的内角和公式分别求得正六边形和正五边形的每一个内角的度数，再根据多边形的内角和公式求得∠APG 的度数．
【详解】
(6﹣2)×180°÷6＝120°，
(5﹣2)×180°÷5＝108°，
∠APG ＝(6﹣2)×180°﹣120°
×3﹣108°×2 ＝720°﹣360°﹣216°
＝144°，
故选B ．
【点睛】
本题考查了多边形内角与外角，关键是熟悉多边形内角和定理：(n ﹣2)•180 (n≥3)且n 为整数)． 10．A
【解析】
【分析】
先根据勾股定理得到，再根据扇形的面积公式计算出S 扇形ABD ，由旋转的性质得到
Rt △ADE ≌Rt △ACB ，于是S 阴影部分=S △ADE +S 扇形ABD -S △ABC =S 扇形ABD ．
【详解】
∵∠ACB=90°，AC=BC=1，
∴，
∴S 扇形ABD =2
30=3606
ππ⨯，
又∵Rt △ABC 绕A 点逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，
∴Rt △ADE ≌Rt △ACB ，
∴S 阴影部分=S △ADE +S 扇形ABD −S △ABC =S 扇形ABD =
6
π， 故选A.
【点睛】
本题考查扇形面积计算，熟记扇形面积公式，采用作差法计算面积是解题的关键.
11．C
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，利用数形结合，即可得出答案．
【详解】
根据题意，画出图形，如图：
k=时，两条直线无交点；
当3
k>时，两条直线的交点在第一象限．
当3
故选：C．
【点睛】
本题主要考查两个一次函数的交点问题，能够数形结合是解题的关键．
12．C
【解析】
利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．
解：如图所示：∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…
∴D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，
∴D1E1=C1D1sin30°=，则B2C2===（）1，
同理可得：B3C3==（）2，
故正方形A n B n C n D n的边长是：（）n﹣1．
则正方形A2017B2017C2017D2017的边长是：（）2．
故选C．
“点睛”此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．1．
【解析】
试题分析：∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，∴△ABC≌△BDE，∠CBD=60°，
∴BD=BC=12cm，∴△BCD为等边三角形，∴CD=BC=CD=12cm，在Rt△ACB中，
22
+=13，△ACF与△BDF的周长之和
512
+22
AC BC
=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=1（cm），故答案为1．
考点：旋转的性质．
14．25°．
【解析】
∵直尺的对边平行，∠1=20°，∴∠3=∠1=20°，∴∠2=45°-∠3=45°-20°=25°．
15．13
【解析】
【分析】
根据同时同地物高与影长成比列式计算即可得解．【详解】
解：设旗杆高度为x米，
由题意得,1.5x
=
326
，
解得x=13.
故答案为13.
【点睛】
本题考查投影，解题的关键是应用相似三角形.
16．1
【解析】
找到立方等于27的数即可．
解：∵11=27，
∴27的立方根是1，
故答案为1．
考查了求一个数的立方根，用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算
17．49 4
【解析】
【分析】
如图，设AH=x，GB=y，利用平行线分线段成比例定理，构建方程组求出x，y即可解决问题．【详解】
解：如图，设AH＝x，GB＝y，
∵EH ∥BC ，
AH EH AC BC
∴=， 135x x y
∴=++① ∵FG ∥AC ，
FG BG AC BC
∴= 135y x y
=++②， 由①②可得x ＝
12，y ＝2， ∴AC ＝72
，BC ＝7， ∴S △ABC ＝
494
， 故答案为494． 【点睛】
本题考查图形的相似，平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．
18．300π
【解析】
试题分析：首先根据底面圆的面积求得底面的半径，然后结合弧长公式求得扇形的半径，然后利用扇形的面积公式求得侧面积即可．∵底面圆的面积为100π， ∴底面圆的半径为10，∴扇形的弧长等于圆的周长为20π，设扇形的母线长为r ， 则120180
r π=20π， 解得：母线长为30，∴扇形的面积为πrl=π×10×30=300π 考点：（1）、圆锥的计算；（2）、扇形面积的计算
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（1）见解析；（2）见解析；（3）1．
【解析】
【分析】
（1）如图2，延长AB 交CD 于E ，可知∠ABC ＝∠BEC+∠C ，∠BEC ＝∠A+∠D ，即可解答 （2）如图3，延长AB 交CD 于G ，可知∠ABC ＝∠BGC+∠C ，即可解答
（3）如图4，延长A2A3交A5A4于C，延长A3A2交A1A n于B，可知∠A1A2A3+∠A2A3A4＝
∠A1+∠2+∠A4+∠4，再找出规律即可解答
【详解】
（1）如图2，延长AB交CD于E，
则∠ABC＝∠BEC+∠C，∠BEC＝∠A+∠D，
∴∠ABC＝∠A+∠C+∠D；
（2）如图3，延长AB交CD于G，则∠ABC＝∠BGC+∠C，
∵∠BGC＝180°﹣∠BGC，∠BGD＝3×180°﹣（∠A+∠D+∠E+∠F），
∴∠ABC＝∠A+∠C+∠D+∠E+∠F﹣310°；
（3）如图4，延长A2A3交A5A4于C，延长A3A2交A1A n于B，
则∠A1A2A3+∠A2A3A4＝∠A1+∠2+∠A4+∠4，
∵∠1+∠3＝（n﹣2﹣2）×180°﹣（∠A5+∠A1……+∠A n），
而∠2+∠4＝310°﹣（∠1+∠3）＝310°﹣[（n﹣2﹣2）×180°﹣（∠A5+∠A1……+∠A n）]，
∴∠A1A2A3+∠A2A3A4＝∠A1+∠A4+∠A5+∠A1……+∠A n﹣（n﹣1）×180°．
故答案为1．
【点睛】
此题考查多边形的内角和外角，，解题的关键是熟练掌握三角形的外角的性质，属于中考常考题型
20．（1）k=10，b=3；（2）15 2
.
【解析】
试题分析：(1)、将A 点坐标代入反比例函数解析式和一次函数解析式分别求出k 和b 的值；(2)、首先根据一次函数求出点B 的坐标，然后计算面积.
试题解析：(1)、把x=2，y=5代入y=
k x ，得k==2×5=10 把x=2，y=5代入y=x+b ，得b=3
(2)、∵y=x+3 ∴当y=0时，x=-3， ∴OB=3 ∴S=
12
×3×5=7.5 考点：一次函数与反比例函数的综合问题.
21．不公平
【解析】
【分析】列表得到所有情况，然后找出数字之和是3的倍数的情况，利用概率公式计算后进行判断即可得.
【详解】根据题意列表如下：
所有等可能的情况数有16种，其中两次摸出的纸牌上数字之和是3的倍数的情况有：（2，1），（1，2），（1，2），（3，3），（2，1），共5种，
∴P （甲获胜）=516，P （乙获胜）=1﹣516=1116
， 则该游戏不公平．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，判断游戏的公平性，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22．（1）小张的发现正确；（2）详见解析；（3）∠A ＝36°；（41
【解析】
【分析】
尝试探究：根据勾股定理计算即可；
拓展延伸：（1）由AE 2＝AC•EC ，推出=AC AE AE EC ，又AE ＝FC ，推出=AC FC FC EC
，即可解问题； （2）利用相似三角形的性质即可解决问题； （3）如图，过点F 作FM ⊥AC 交AC 于点M ，根据cos ∠A ＝
AM AF ，求出AM 、AF 即可；
应用迁移：利用（3）中结论即可解决问题；
【详解】
1；
∵∠ACB ＝90°，BC ＝1，AC ＝2，
∴AB
∴AD ＝AE 1，
∵AE 21）2＝6﹣
AC•EC ＝2×[2﹣（1）]＝6﹣，
∴AE 2＝AC•EC ，
∴小张的发现正确；
拓展延伸：
（1）∵AE 2＝AC•EC ， ∴=AC AE AE EC
∵AE ＝FC ， ∴
=AC FC FC EC ， 又∵∠C ＝∠C ，
∴△ACF ∽△FCE ；
（2）∵△ACF ∽△FCE ，∴∠AFC ＝∠CEF ，
又∵EF ＝FC ，
∴∠C ＝∠CEF ，
∴∠AFC ＝∠C ，
∴AC ＝AF ，
∵AE ＝EF ，
∴∠A ＝∠AFE ，
∴∠FEC ＝2∠A ，
∵EF ＝FC ，
∴∠C ＝2∠A ，
∵∠AFC ＝∠C ＝2∠A ，
∵∠AFC+∠C+∠A ＝180°，
∴∠A ＝36°；
（3）如图，过点F 作FM ⊥AC 交AC 于点M ，
由尝试探究可知AE 51 ，
EC ＝35
∵EF ＝FC ，由（2）得：AC ＝AF ＝2，
∴ME 35-
，
∴AM 51+ ， ∴cos ∠A ＝
514
=AM AF ； 应用迁移： ∵正十边形的中心角等于36010
︒
＝36°，且是半径为2的圆内接正十边形， ∴如图，当点A 是圆内接正十边形的圆心，AC 和AF 都是圆的半径，FC 是正十边形的边长时， 设AF ＝AC ＝2，FC ＝EF ＝AE ＝x ，
∵△ACF ∽△FCE ， ∴
AF FC EF EC
= ， ∴22=-EF EF EF ， ∴51=EF ，
∴半径为251．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题．
23．B 60
【解析】
分析：(1)根据旋转的性质可得出结论;(2)根据旋转的性质可得BF=CF ，则点F 在线段BC 的垂直平分线上，又由AC=AB ，可得点A 在线段BC 的垂直平分线上，由AF 垂直平分BC,即∠CQP=90，进而得出∠APC 的度数.
详解：(1)B,60；
（2）补全图形如图所示；
APC ∠的大小保持不变,
理由如下：设AF 与BC 交于点Q
∵直线CD 是等边ABC ∆的对称轴
∴AE BE =,1302
DCB ACD ACB ∠=∠=∠=︒ ∵ABE ∆经顺时针旋转后与BCF ∆重合
∴ BE BF =,AE CF =
∴BF CF =
∴点F 在线段BC 的垂直平分线上
∵AC AB =
∴点A 在线段BC 的垂直平分线上
∴AF 垂直平分BC ,即90CQP ∠=︒
∴120CPA PCB CQP ∠=∠+∠=︒
点睛：本题考查了旋转的性质，解题的关键是熟记旋转的性质及垂直平分线的性质，注意只证明一点是不能说明这条直线是垂直平分线的.
24．（1）证明见解析（2）18°
【解析】
【分析】
（1）根据HL 证明Rt △ABC ≌Rt △BAD 即可；（2）利用全等三角形的性质及直角三角形两锐角互余的性质求解即可．
【详解】
（1）证明：∵∠D ＝∠C ＝90°，
∴△ABC 和△BAD 都是Rt △，
在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，
AD BC AB BA =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △ABC ≌Rt △BAD （HL ）；
（2）∵Rt △ABC ≌Rt △BAD ，
∴∠ABC ＝∠BAD ＝36°，
∵∠C ＝90°，
∴∠BAC ＝54°，
∴∠CAO ＝∠CAB ﹣∠BAD ＝18°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，“HL”．
25．（1）5；（2）-3x+4
【解析】
【分析】
(1)第一项计算算术平方根，第二项计算零指数幂，第三项计算特殊角的三角函数值，最后计算有理数运算. （2）利用完全平方公式和去括号法则进行计算，再进行合并同类项运算.
【详解】
（1）解：原式5115=+-=
（2）解：原式224434x x x x x =-+-+=-+
【点睛】
本题考查实数的混合运算和整式运算，解题关键是熟练运用完全平方公式和熟记特殊角的三角函数值. 26．隧道最短为1093米．
【解析】
【分析】作BD ⊥AC 于D ，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可．
【详解】如图，作BD ⊥AC 于D ，
由题意可得：BD=1400﹣1000=400（米），
∠BAC=30°，∠BCA=45°，
在Rt △ABD 中，
∵tan30°=BD AD ，即40033
AD =， ∴3（米），
在Rt △BCD 中，
∵tan45°=BD CD ，即4001CD =， ∴CD=400（米），
∴3（米），
答：隧道最短为1093米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键.
27． (1)y=
2x -,y=−x−1；(2)x<−2或0<x<1 【解析】
【分析】
（1）利用点A 的坐标可求出反比例函数解析式,再把B （1,n ）代入反比例函数解析式,即可求得n 的值,于是得到一次函数的解析式；
（2）根据图象和A,B 两点的坐标即可写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．
【详解】
(1)∵A(−2,1)在反比例函数y=
m x 的图象上, ∴1=2
m -,解得m=−2. ∴反比例函数解析式为y=
2x
-, ∵B(1,n)在反比例函数上,
∴n=−2,
∴B 的坐标(1,−2), 把A(−2,1),B(1,−2)代入y=kx+b 得
122k b k b
=-+⎧⎨-=+⎩ 解得：11k b =-⎧⎨=-⎩
∴一次函数的解析式为y=−x−1；
(2)由图像知：当x<−2或0<x<1时,一次函数的值大于反比例函数的值.
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,属于简单题,熟悉函数图像的性质是解题关键.。