福建省南平市2018_2019学年高一数学下学期期末质量检测试题(扫描版)

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南平市2018-2019学年第二学期期末考试
高一数学试题参考答案及评分标准
说明：
1、本解答给出解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分． 1、B 2、D 3、A 4、C 5、B 6、D 7、C 8、D 9、B 10、C 11、B 12、D
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分． 13、
3
2π
14、3 15、7 16、210
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17、解：(1)由2－
7=得4 24-·+2=7，……2分
那么
2
2-03=-；……4分
解得
3=或
1-=（舍去）∴
3=；……5分
(2)由⊥（
λ-）得·
（λ-）=0，……7分
那么
2
λ-·=0 ……8分
因此023
1=-
λ ……9分 3
2
=∴λ ……10分
18、解：（1）由题意知：
，解得a =1，b =2． ……6分
（2）由（1）知a =1，b =2，∴A ={x |1＜x ＜2}，
x
x x f 94)(+
=（21<<x ）……8分
而0>x 时12629
4294=⨯=⋅≥+
x
x x x ， ……10分 当且仅当x x 94=，即2
3
=x 时取等号 ……11分 而A x ∈=
23
，∴)(x f 的最小值为12． ……12分 19、解：（1）由341n n S a =-知11341n n S a ++=-
所以113344n n n n S S a a ++-=-，即，从而14n n a a += ……3分
所以，数列
是以为公比的等比数列
又11341a a =-可得11a =， ……4分
综上所述，故1
4n n a -=. ……6分
（2）由（1）可知14n n a -=，故14n n a +=，1
24n n a ++=
……8分
综上所述，所以14log n a n +=，24log 1n a
n +=+，故而111
n b n n =
-+ ……10分 所以11111111223
111
n n T n n n n =-
+-++
-=-=+++. ……12分
20、解：（1）m x x x f ++--=)2cos 1(2sin 31)(
m x m x x ++
-=++-=)6
2sin(2)2cos 2sin 3(π
……2分
由已知32=+m ，所以1=m ……3分 因此1)6
2sin(2)(++-=π
x x f
令Z k k x k ∈+
≤+
≤+,2
326
22
2π
ππ
π
π ……4分 得Z k k x k ∈+
≤≤+
,3
26
π
ππ
π ……5分 因此函数()f x 的单调递增区间为Z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+
+,32,6
πππ
π ……6分 （2）由已知2
1)6
2sin(,01)6
2sin(2=
+∴=++-π
π
A A 由2
0π
<<A 得
67626
π
π
π
<
+
<A ，因此6
562ππ=+A 所以3
π
=
A ……8分
2
1tan 23sin sin 21
cos 3sin )
3sin(
sin sin +=+=+==∴
C C C
C C
C C
B c b π
……10分
因为为锐角三角形ABC ∆，所以⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<-=<<<23202
0π
ππC B C ，解得26ππ<<C ……11分
因此33tan >
C ，那么221<<c
b
……12分 21、解：（1）当1=n 时，21=a ． …… 1分
由n
n na a a a 232321=⋅⋅ …… ①
得113212)1(32--=-⋅⋅n n a n a a a ),2(*
N n n ∈≥ …… ② …… 3分
①÷②得2=n na 即n
a n 2=
),2(*
N n n ∈≥，…… 4分 又21=a 适合公式，则n
a n 2
=
).(*N n ∈ …… 5分 （2）由（1）知
n n a n n
n +⋅=++2221
…… 6分 记数列}2{n
n ⋅的前n 项和为n T
则n T =n n n n 22
)1(2322211
32⋅+⋅-++⨯+⨯+⨯- …… ③
2n T = +⨯+⨯322221 1
22)1(+⋅+⋅-+n n n n …… ④ …… 8分
③-④得1
322
2222+⋅-++++=-n n n n T 121
2)12(2+⋅---=n n n
则n T 22
)1(1
+⋅-=+n n …… 10分
又数列}{n 的前n 项和为
,2
)
1(+n n 故n S 22
)1(1
+⋅-=+n n +
.2
)
1(+n n …… 12分 22、（1）证法一：由题意得)(21+=⇒)2(4
1
222+⋅+=
=)cos 2(4
1
22A cb b c ++ ① …… 2分 由余弦定理得222cos 2a c b A cb -+= ②
将②代入①式并化简得=2
AM 4
222
22a c b -+，
故2
222
22a c b AM -+=
…… 5分
证法二：在ABM ∆中，由余弦定理得2
24cos 2
2
2
a AM c a AM AMB ⋅
-+=∠， 在ACM ∆中，由余弦定理得2
24cos 2
22
a AM
b a AM AMC ⋅
-+=∠， …… 2分 ︒=∠+∠180AMC AMB ，AMC AMB ∠-=∠∴cos cos ， 则222
222
4
4c a AM b a AM +--=-+，故2
222
22a c b AM -+=．…… 5分
（2）解法一：记ABC ∆面积为S ．由题意并结合（1）
所证结论得：aAM AMC aAM S 21sin 21≤∠=a
2
1
=2
222
22a c b -+，…… 8分
又已知16223222=++c b a ，
则1)2
4(41)4(4)22(162222
222222
=-+≤-=-+≤a a a a a c b a S ，…… 11分 即1≤S ，当2
10
,2=
==c b a 时，成立等号，故1max =S ， 即ABC ∆面积的最大值为1． …… 12分
解法二：163)(2222=++a b c 16)cos 2(3)(22
222=-+++⇒A cb b c b c
⇒16)cos 22(34≤-+A cb cb cb ⇒A cb cos 35162-≤
⇒S A
A
cos 35sin 4-≤
…… 8分 设A
A
u cos 35sin -=
则A A u u sin cos 35=-⇒u A u A 5cos 3sin =+⇒1
95)sin(2
+=
+u u A ϕ ……10分
由1|)sin(|≤+ϕA ⇒
11
952≤+u u ⇒192522+≤u u ⇒4
1
≤
u ⇒S 1≤， 故=max S 1. 12分。