双牌县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

双牌县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． “”是“”的（ ）2
4
x π
π
-
<≤
tan 1x ≤A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【命题意图】本题主要考查充分必要条件的概念与判定方法，正切函数的性质和图象，重点是单调性.
2． 已知直线：过椭圆的上顶点和左焦点，且被圆
l 2y kx =+)0(122
22>>=+b a b
y
a x B F 截得的弦长为，若的取值范围是（ ）224x y +=L L ≥
e （A ） （ B ） （C ） （
D ） ⎥⎦⎤
⎝⎛550，0⎛ ⎝⎥⎦⎤ ⎝⎛5530，⎦⎤ ⎝
⎛5540，3． 下列语句所表示的事件不具有相关关系的是（ ）
A ．瑞雪兆丰年
B ．名师出高徒
C ．吸烟有害健康
D ．喜鹊叫喜
　4． 已知表示数列
的前项和，若对任意的
满足
，且
，则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5． 设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）i 21i
i
-A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
6． 下列命题中的说法正确的是（
）
A ．命题“若x 2=1，则x=1”的否命题为“若x 2=1，则x ≠1”
B ．“x=﹣1”是“x 2+5x ﹣6=0”的必要不充分条件
C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2+x+1＜0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2+x+1＞0”
D ．命题“在△ABC 中，若A ＞B ，则sinA ＞sinB ”的逆否命题为真命题
7． 已知函数f （x ）=x 2﹣6x+7，x ∈（2，5]的值域是（ ）
A ．（﹣1，2]
B ．（﹣2，2]
C ．[﹣2，2]
D ．[﹣2，﹣1）
8．不等式的解集为（）
A．或B．
C．或D．
9．lgx，lgy，lgz成等差数列是由y2=zx成立的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
10．直线l⊂平面α，直线m⊄平面α，命题p：“若直线m⊥α，则m⊥l”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为（）
A．0B．1C．2D．3
11．已知向量=（﹣1，3），=（x，2），且，则x=（）
A．B．C．D．
12．下列函数在（0，+∞）上是增函数的是（）
A．B．y=﹣2x+5C．y=lnx D．y=
二、填空题
13．已知i是虚数单位，复数的模为 ．
14．若正数m、n满足mn﹣m﹣n=3，则点（m，0）到直线x﹣y+n=0的距离最小值是 ．
15．设函数则______；若，，则的大小关系是______．
16．函数f（x）=的定义域是 ．
17．
如图，P是直线x＋y－5＝0上的动点，过P作圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0的两切线、切点分别为A、B，当
四边形PACB的周长最小时，△ABC的面积为________．
18．已知f（x+1）=f（x﹣1），f（x）=f（2﹣x），方程f（x）=0在[0，1]内只有一个根x=，则f（x）=0在区
间[0，2016]内根的个数 ．
三、解答题
19．已知函数f（x）=|x﹣5|+|x﹣3|．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值m；
（Ⅱ）若正实数a，b足+=，求证：+≥m．
20．如图，椭圆C1：的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于椭圆C1的短轴长．C2与y轴的交点为M，过点M的两条互相垂直的直线l1，l2分别交抛物线于A、B两点，交椭圆于D、E两点，
（Ⅰ）求C1、C2的方程；
（Ⅱ）记△MAB，△MDE的面积分别为S1、S2，若，求直线AB的方程．
21．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x （cm ）．（1）若广告商要求包装盒侧面积S （cm 2）最大，试问x 应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V （cm 3）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
22．（本题满分12分）在中，已知角所对的边分别是，边，且ABC ∆,,A B C ,,a b c 7
2
c =
，又的面积为，求的值．tan tan tan tan A B A B +=A ABC ∆ABC S ∆=
a b +
23．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f （x ）满足f （）=f （x 1）﹣f （x 2）．
（1）求f （1）的值；
（2）若当x ＞1时，有f （x ）＜0．求证：f （x ）为单调递减函数；（3）在（2）的条件下，若f （5）=﹣1，求f （x ）在[3，25]上的最小值．　
24．（本小题满分16分）
在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量()h x （单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式()()()h x f x g x =+（37x <<，m 为常数），其中()f x 与()3x -成反比，()g x 与()7x -的平方成正比，已知销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套.（1） 求()h x 的表达式；
（2） 假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数）
双牌县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1． 【答案】A
【解析】因为在上单调递增，且，所以，即.反之，当
tan y x =,22ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
24x ππ-<≤tan tan 4x π≤tan 1x ≤时，（），不能保证，所以“”是“”
tan 1x ≤24k x k πππ-<≤+πk Z ∈24x ππ-<≤24
x ππ
-<≤tan 1x ≤的充分不必要条件，故选A.2． 【答案】 B
【解析】依题意，2, 2.
b k
c ==
设圆心到直线的距离为，则解得。

l d L =≥
216
5
d ≤又因为，所以解得。

d =2116,15k ≤+2
14k ≥
于是，所以
解得故选B ．222
222211c c e a b c k ===++2
40,5e <≤0e <≤3． 【答案】D
【解析】解：根据两个变量之间的相关关系，
可以得到瑞雪兆丰年，瑞雪对小麦有好处，可能使得小麦丰收，名师出高徒也具有相关关系，吸烟有害健康也具有相关关系，故选D ．
【点评】本题考查两个变量的线性相关关系，本题解题的关键是根据实际生活中两个事物之间的关系确定两个变量之间的关系，本题是一个基础题．　
4． 【答案】C 【解析】
令
得，所以
，即
，所以是以1为公差的等差数列，首项为
，所以
，故选C
答案：C
5．【答案】B
【解析】因为
所以，对应的点位于第二象限
故答案为：B
【答案】B
6．【答案】D
【解析】解：A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故A错误，
B．由x2+5x﹣6=0得x=1或x=﹣6，即“x=﹣1”是“x2+5x﹣6=0”既不充分也不必要条件，故B错误，
C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1≤0﹣5，故C错误，
D．若A＞B，则a＞b，由正弦定理得sinA＞sinB，即命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的为真命题．则命题的逆否命题也成立，故D正确
故选：D．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题的关系以及充分条件和必要条件的判断，含有量词的命题的否定，比较基础．
7．【答案】C
【解析】解：由f（x）=x2﹣6x+7=（x﹣3）2﹣2，x∈（2，5]．
∴当x=3时，f（x）min=﹣2．
当x=5时，．
∴函数f（x）=x2﹣6x+7，x∈（2，5]的值域是[﹣2，2]．
故选：C．
8．【答案】A
【解析】
令得，；
其对应二次函数开口向上，所以解集为或，故选A
答案：A
9．【答案】A
【解析】解：lgx，lgy，lgz成等差数列，∴2lgy=lgx•lgz，即y2=zx，∴充分性成立，
因为y2=zx，但是x，z可能同时为负数，所以必要性不成立，
故选：A．
【点评】本题主要考查了等差数列和函数的基本性质，以及充分必要行得证明，是高考的常考类型，同学们要加强练习，属于基础题．
10．【答案】B
【解析】解：∵直线l⊂平面α，直线m⊄平面α，命题p：“若直线m⊥α，则m⊥l”，
∴命题P是真命题，∴命题P的逆否命题是真命题；
￢P：“若直线m不垂直于α，则m不垂直于l”，
∵￢P是假命题，∴命题p的逆命题和否命题都是假命题．
故选：B．
11．【答案】C
【解析】解：∵，
∴3x+2=0，
解得x=﹣．
故选：C．
【点评】本题考查了向量共线定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．【答案】C
【解析】解：对于A，函数y=在（﹣∞，+∞）上是减函数，∴不满足题意；
对于B，函数y=﹣2x+5在（﹣∞，+∞）上是减函数，∴不满足题意；
对于C，函数y=lnx在（0，+∞）上是增函数，∴满足题意；
对于D，函数y=在（0，+∞）上是减函数，∴不满足题意．
故选：C．
【点评】本题考查了基本初等函数的单调性的判断问题，是基础题目．
二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：∵复数==i﹣1的模为=．
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．
14．【答案】 ．
【解析】解：点（m，0）到直线x﹣y+n=0的距离为d=，
∵mn﹣m﹣n=3，
∴（m﹣1）（n﹣1）=4，（m﹣1＞0，n﹣1＞0），
∴（m﹣1）+（n﹣1）≥2，
∴m+n≥6，
则d=≥3．
故答案为：．
【点评】本题考查了的到直线的距离公式，考查了利用基本不等式求最值，是基础题．　
15．【答案】，
【解析】【知识点】函数图象分段函数，抽象函数与复合函数
【试题解析】
，因为，所以
又若，结合图像知：
所以：。

故答案为：，
16．【答案】　{x|x＞2且x≠3}　．
【解析】解：根据对数函数及分式有意义的条件可得
解可得，x＞2且x≠3
故答案为：{x|x＞2且x≠3}
17．【答案】
【解析】解析：圆x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0的标准方程为（x －1）2＋（y ＋2）2＝9.圆心C （1，－2），半径为3，连接PC ，
∴四边形PACB 的周长为2（PA ＋AC ）＝2＋2AC ＝2＋6.
PC 2－AC 2PC 2－9当PC 最小时，四边形PACB 的周长最小．此时PC ⊥l .
∴直线PC 的斜率为1，即x －y －3＝0，
由，解得点P 的坐标为（4，1），{x ＋y －5＝0x －y －3＝0
)
由于圆C 的圆心为（1，－2），半径为3，所以两切线PA ，PB 分别与x 轴平行和y 轴平行，即∠ACB ＝90°，
∴S △ABC ＝AC ·BC ＝×3×3＝.
1
21292
即△ABC 的面积为.
92
答案：92
18．【答案】　2016　．
【解析】解：∵f （x ）=f （2﹣x ），
∴f （x ）的图象关于直线x=1对称，即f （1﹣x ）=f （1+x ）．∵f （x+1）=f （x ﹣1），∴f （x+2）=f （x ），即函数f （x ）是周期为2的周期函数，∵方程f （x ）=0在[0，1]内只有一个根x=，∴由对称性得，f （）=f （）=0，
∴函数f （x ）在一个周期[0，2]上有2个零点，即函数f （x ）在每两个整数之间都有一个零点，∴f （x ）=0在区间[0，2016]内根的个数为2016，故答案为：2016．　
三、解答题
19．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：∵f（x）=|x﹣5|+|x﹣3|≥|x﹣5+3﹣x|=2，…（2分）
当且仅当x∈[3，5]时取最小值2，…（3分）
∴m=2．…（4分）
（Ⅱ）证明：∵（+）[]≥（）2=3，
∴（+）×≥（）2，
∴+≥2．…（7分）
【点评】本题主要考查绝对值不等式和均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．　
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵椭圆C1：的离心率为，
∴a2=2b2，
令x2﹣b=0可得x=±，
∵x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于椭圆C1的短轴长，
∴2=2b，
∴b=1，
∴C1、C2的方程分别为，y=x2﹣1；…
（Ⅱ）设直线MA的斜率为k1，直线MA的方程为y=k1x﹣1与y=x2﹣1联立得x2﹣k1x=0
∴x=0或x=k1，∴A（k1，k12﹣1）
同理可得B（k2，k22﹣1）…
∴S1=|MA||MB|=•|k1||k2|…
y=k1x﹣1与椭圆方程联立，可得D（），
同理可得E（）…
∴S2=|MD||ME|=••…
∴若则解得或∴直线AB 的方程为或…
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与抛物线、椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，联立方程，确定点的坐标是关键．
21．【答案】
【解析】解：设包装盒的高为h （cm ），底面边长为a （cm ），则a=
x ，h=（30﹣x ），0＜x ＜30．
（1）S=4ah=8x （30﹣x ）=﹣8（x ﹣15）2+1800，
∴当x=15时，S 取最大值．
（2）V=a 2h=2
（﹣x 3+30x 2），V ′=6x （20﹣x ），由V ′=0得x=20，
当x ∈（0，20）时，V ′＞0；当x ∈（20，30）时，V ′＜0；
∴当x=20时，包装盒容积V （cm 3）最大，此时，．即此时包装盒的高与底面边长的比值是
．　
22．【答案】
．112
【解析】
试
题解析：由tan tan tan A B A B +=
-A
可得，即.tan tan 1tan tan A B A B
+=-A tan()A B +=
∴，∴，∴tan()C π-=tan C -=tan C =∵，∴.(0,)C π∈3C π
=
又的面积为，即.ABC ∆ABC S ∆=
1sin 2ab C =12ab =6ab =又由余弦定理可得，∴，2222cos c a b ab C =+-2227()2cos 23
a b ab π=+-∴，∴，∵，∴.122227()()32a b ab a b ab =+-=+-2121()4a b +=0a b +>112a b +=考点：解三角形问题．
【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到两角和与两角差的正切函数公式、三角形的面积、正弦定理和余弦定理，以及特殊角的三角函数值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，其中熟练掌握基本公式和灵活运用公式是解答本题的关键，属于中档试题．
23．【答案】
【解析】解：（1）令x 1=x 2＞0，
代入得f （1）=f （x 1）﹣f （x 1）=0，
故f （1）=0．…（4分）
（2）证明：任取x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1＞x 2，则
＞1，
由于当x ＞1时，f （x ）＜0，所以f （）＜0，即f （x 1）﹣f （x 2）＜0，因此f （x 1）＜f （x 2），
所以函数f （x ）在区间（0，+∞）上是单调递减函数．…（8分）
（3）因为f （x ）在（0，+∞）上是单调递减函数，
所以f （x ）在[3，25]上的最小值为f （25）．
由f （）=f （x 1）﹣f （x 2）得，
f （5）=f （
）=f （25）﹣f （5），而f （5）=﹣1，所以f （25）=﹣2．
即f （x ）在[3，25]上的最小值为﹣2．…（12分）
【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法以及函数单调性的定义是解决本题的关键．　
24．【答案】（1） ()()210473h x x x =+-- （37x <<）（2） 13 4.33
x =≈试
题解析：（1） 因为()f x 与3x -成反比，()g x 与7x -的平方成正比，
所以可设：()13
k f x x =-，()()227g x k x =-，12.00k k ≠≠，，则()()()()21273
k h x f x g x k x x =+=+--则 ………………………………………2分因为销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为2.5元/套时，每日可售出套题69千套
所以，()()521, 3.569h h ==，即12124212492694
k k k k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：12104k k =⎧⎨=⎩， ……………6分所以，()()210473
h x x x =+-- （37x <<） ………………………………………8分（2） 由（1）可知，套题每日的销售量()()210473
h x x x =+--，
答：当销售价格为4.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.…………16分考点：利用导数求函数最值。