高中数学直线方程四大考查热点评析 专题辅导

高中数学直线方程四大考查热点评析
直线方程是解析几何的基础，为解析几何的学习奠定了基础，但是这一部分内容较少，考查时以小题为主，难度不大，主要涉及基础知识，下面结合具体例子加以评析：
一、直线倾斜角问题
例1、已知02
<θ<π-，则经过两点)0,(sin P ),cos ,0(P 21θθ的直线的倾斜角为（ ）。

A 、θ B 、－θ C 、θ+π2
D 、θ+π 【解析】 设直线的倾斜角为α，则⎪⎭
⎫ ⎝⎛θ+π=θ-=-θθ-=α2t a n c o t 0s i n c o s 0t a n 。

又02<θ<π-。

所以，220π<θ+π<，因此，θ+π=α2
，答案选C 。

点评：直线的斜率与三角函数有着千丝万缕的联系，求直线的倾斜角问题通常要用到三角函数的一些公式，因此，必须熟练掌握三角函数才能灵活解决这类题目。

二、直线在坐标系中的变换问题
例2、直线y=3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ ）。

A 、31x 31y +-=
B 、1x 3
1y +-= C 、3x 3y -= D 、1x 3
1y += 【解析】 设原直线的倾斜角为α，则3tan =α，旋转后直线的倾斜角为2
π+α，斜率为31cot 2tan k -=α-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛π+α=，故旋转后的直线方程为x 31y -=，再向右平移一个单位，得到的直线方程为3
1x 31y +-=，答案选A 。

点评：直线在坐标系中可以进行平移或旋转变换，其中平移变换，可以利用函数的平移方法进行求解，而旋转变换可以利用倾斜角之间的关系求斜率，这种题目体现了直线的动态变化过程，对同学们的思维意识有一定的要求。

三、直线与坐标轴围成的图形面积问题
例3、过点（－5，－4）作一直线l ，使它与两坐标轴所围成的三角形的面积为5，则直线的方程为 。

【解析】 设直线l 的方程为1b y a x =+，则1b
4a 5=-+-，即ab a 4b 5=--。

又直线l 与两坐标轴围成的面积为5，所以，5|b ||a |21=⋅，即ab=±10，解之得⎪⎩
⎪⎨⎧=-=,4b ,25a 或⎩⎨⎧-==.2b ,5a 代入并整理可得所求直线方程为020y 5x 8=+-或010y 5x 2=--。

点评：求直线与坐标轴围成的三角形面积问题，一般可以设为截距式，这样更容易写出面积的表达式，进而解决问题。

四、线段中点问题
例4、直线l 过点P （－2，3）且与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，若P 恰好为线段AB
的中点，则直线l 的方程为 。

【解析】 设直线l 的斜率为k ，因为直线过点P （－2，3），所以，直线l 的方程为
)2x (k 3y +=-，令x=0，可得y=2k+3；令y=0，可得2k 3x --=。

所以，A ⎪⎭
⎫ ⎝⎛--0,2k 3，B （0，2k+3）。

因此，⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=++-=+--,323k 20,220
2k 3解之得23k =，故所求直线的方程为012y 2x 3=+-。

点评：要利用中点坐标公式，必须先表达出A ，B 两点的坐标，这是解题的关键。

另外，本题也可以设为截距式，这样更容易表示出A ，B 的坐标。

其实，对直线方程的考查有时候还会与其他的一些知识相结合，但是其考查的总体难度并不大，在学习这一部分时多注意对基础的把握。