【配套K12】【高考数学备战专题】专题突破训练 圆锥曲线 理

2016届高三数学理一轮复习专题突破训练
圆锥曲线
一、填空、选择题
1、（2015年上海高考）抛物线y 2
=2px （p ＞0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p= 2 ．
2、（2014年上海高考）若抛物线2
2y px =的焦点与椭圆
22
195
x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 .
3、（2013年上海高考）设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4
CBA π
∠=，若AB=4，2BC =，
则Γ的两个焦点之间的距离为________
4、（静安、青浦、宝山区2015届高三二模）已知抛物线22y px =的准线方程是2x =-， 则p =
5、（闵行区2015届高三二模）双曲线
22
1412
x y -=的两条渐近线的夹角的弧度数为 6、（浦东新区2015届高三二模）已知直线0243=++y x 与圆()222
1r y x =+-相切，则该圆的
半径大小为 1 .
7、（普陀区2015届高三二模）如图，若6
OFB π
∠=
，6OF FB ⋅=-，则以OA 为长半轴，OB 为短
半轴，F 为左焦点的椭圆的标准方程为 22
182
x y +=
.
8、（徐汇、松江、金山区2015届高三二模）对于曲线C 所在平面上的定点0P ，若存在以点0P 为顶
点的角α，使得0AP B α≥∠对于曲线C 上的任意两个不同的点B A ,恒成立，则称角α为曲线C 相对于点0P 的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线C 相对于点0P 的“确界角”．曲线
⎪⎩⎪⎨
⎧<--≥+=)
0(12)
0(1:2
2x x x x y C 相对于坐标原点O 的“确界角”的大小是
9、（长宁、嘉定区2015届高三二模）抛物线28x y =的焦点到准线的距离是______________ 10、（虹口区2015届高三上期末）若抛物线24y x =上的两点A 、B 到焦点的距离之和为6，则线段
AB 的中点到y 轴的距离为
11、（黄浦区2015届高三上期末）已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点与双曲线：22
172
x y -=的
右焦点重合，则抛物线C 的方程是
12、（金山区2015届高三上期末）已知点A (–3,–2)和圆C ：(x –4)2+(y –8)2
=9，一束光线从点A 发出，射到直线l ：y=x –1后反射(入射点为B )，反射光线经过圆周C 上一点P ，则折线ABP 的最短长度是 ▲
13、（浦东区2015届高三上期末）关于,x y 的方程22240x y x y m ++-+=表示圆，则实数m 的取值范围是
14、（普陀区2015届高三上期末）若方程132||2
2=-+-k
y k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是
15、（青浦区2015届高三上期末）抛物线2
8y x =的动弦AB 的长为6，则弦AB 中点M 到y 轴的最短距离是
二、解答题
1、（2015年上海高考）已知椭圆x 2+2y 2
=1，过原点的两条直线l 1和l 2分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，记得到的平行四边形ABCD 的面积为S ． （1）设A （x 1，y 1），C （x 2，y 2），用A 、C 的坐标表示点C 到直线l 1的距离，并证明S=2|x 1y 2﹣x 2y 1|； （2）设l 1与l 2的斜率之积为﹣，求面积S 的值．
2、（2014年上海高考）在平面直角坐标系xOy 中，对于直线:0l ax by c ++=和点
111222(,),(,)P x y P x y ，记1122()()ax by c ax by c η=++++. 若0η<，则称点12,P P 被直线l 分割. 若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点12,P P 被直线l 分割，则称直线l 为曲线
C 的一条分割线.
(1) 求证：点(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分割；
(2) 若直线y kx =是曲线2241x y -=的分割线，求实数k 的取值范围；
(3) 动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E . 求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线.
3、（2013年上海高考）如图，已知曲线2
21:12
x C y -=，曲线2:||||1C y x =+，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点，则称P 为“C 1—C 2型点”．
(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
(2)设直线y kx =与2C 有公共点，求证||1k >，进而证明原点不是“C 1—C 2型点”；
(3)求证：圆2
2
1
2
x y +=内的点都不是“C 1—C 2型点”．
4、（静安、青浦、宝山区2015届高三二模）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C 的方程为
2
218
x y +=，设AB 是过椭圆C 中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l 上与O 不 重
合的点．
（1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；
（2）若2MO OA =，当点A 在椭圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程；
（3）记M 是l 与椭圆C 的交点，若直线AB 的方程为(0)y kx k =>，当△AMB 面积取最小值时，求直线AB 的方程．
5、（闵行区2015届高三二模）已知两动圆2221:(3)F x y r ++=和222
2:(3)(4)
F x y r -+=-（04r <<），把它们的公共点的轨迹记为曲线C ,若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线
C 上的相异两点A B 、满足：0MA MB ⋅=．
(1) 求曲线C 的方程；
(2)证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标； (3)求ABM △面积S 的最大值．
6、（浦东新区2015届高三二模）已知直线l 与圆锥曲线C 相交于,A B 两点，与x 轴、y 轴分别交于D 、E 两点，且满足AD EA 1λ=、BD EB 2λ=.
（1）已知直线l 的方程为42-=x y ，抛物线C 的方程为x y 42=，求21λλ+的值；
（2）已知直线l ：1+=my x （1>m ），椭圆C ：1222=+y x ，求2
111λλ+的取值范围； （3）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>，22
212b
a =+λλ，试问D 是否为定点？若是，
求出D 点坐标；若不是，说明理由.
7、（普陀区2015届高三二模）如图，射线,OA OB 所在的直线的方向向量分别为()11,d k =，()()21,0d k k =->，点P 在AOB ∠内，PM OA ⊥于M ，PN OB ⊥于N ； （1）若1k =，31,22P ⎛⎫
⎪⎝⎭
，求OM 的值；
（2）若()2,1P ，OMP ∆的面积为
6
5
，求k 的值； （3）已知k 为常数，,M N 的中点为T ，且1
MON
S k
=
，当P 变化时，求动点T 轨迹方程； y B
A
M
P
N
x
O
8、（徐汇、松江、金山区2015届高三二模）
用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如右图所示，它的外框是一个等腰梯形PQRS ，内部是一段抛物线和一根横梁．抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点O ，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点,A B ，抛物线与梯形下底的两个焊接点为,C D ．已知梯形的高是40厘米，C D 、两点间的距离为40厘米．
（1）求横梁AB 的长度;
（2）求梯形外框的用料长度．
（注:细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1厘米．）
9、（长宁、嘉定区2015届高三二模）已知椭圆1:22
22=+b
y a x C （0>>b a ）的左、右焦点分别为
1F 、2F ，点B ),0(b ，过点B 且与2BF 垂直的直线交x 轴负半轴于点D ，且→
=+02221D F F F ．
（1）求证：△21F BF 是等边三角形；
（2）若过B 、D 、2F 三点的圆恰好与直线l ：033=--y x 相切，求椭圆C 的方程； （3）设过（2）中椭圆C 的右焦点2F 且不与坐标轴垂直的直线l 与C 交于P 、Q 两点，M 是点P 关于x 轴的对称点．在x 轴上是否存在一个定点N ，使得M 、Q 、N 三点共线，若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
10、（浦东2015高三上期末）已知三角形ABC △的三个顶点分别为)0,1(-A ，)0,1(B ，(0,1)C . （1）动点P 在三角形ABC △的内部或边界上，且点P 到三边,,AC AB BC 的距离依次成等差数列，求点P 的轨迹方程； （2）若0a b <≤，直线l :y ax b =+将ABC △分割为面积相等的两部分，求实数b 的取值范围.
S R
P
Q
D
C
B
A
O
O
11、（青浦区2015高三上期末）如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x 轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是22440x y y +--=，双曲线的左、右顶点
A 、
B 是该圆与x 轴的交点，双曲线与半圆相交于与x 轴平行的直径的两端点．
（1）试求双曲线的标准方程；
（2）记双曲线的左、右焦点为1F 、2F ，试在“8”字形曲线上求点P ，使得12F PF ∠是直角．
12、（徐汇区2015高三上期末）已知椭圆22
2:1x y a γ+=（常数1a >）的左顶点为R ，点
(,1),(,1)A a B a -，O 为坐标原点．
（1）若P 是椭圆γ上任意一点，OP mOA nOB =+，求2
2
m n +的值； （2）设Q 是椭圆γ上任意一点，()3,0S a ，求QS QR ⋅的取值范围；
（3）设1122(,),(,)M x y N x y 是椭圆γ上的两个动点，满足OM ON OA OB k k k k ⋅=⋅，试探究OMN ∆的
面积是否为定值，说明理由．
13、（闸北2015高三上期末）已知F 1，F 2分别是椭圆C ：
=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，
椭圆C 过点且与抛物线y 2
=﹣8x 有一个公共的焦点．
（1）求椭圆C 方程；
（2）斜率为k 的直线l 过右焦点F 2，且与椭圆交于A ，B 两点，求弦AB 的长；
（3）P 为直线x=3上的一点，在第（2）题的条件下，若△ABP 为等边三角形，求直线l 的方程．
14、（上海市八校2015届高三3月联考）已知射线12:0(0):0(0)l x y x l x y x -=>+=<，，直线
l 过点(,2)(22)P m m -<<交1l 于点A ，交2l 于点B 。

（1）当0m =时，求AB 中点M 的轨迹Γ的方程；
（2）当1m =且 AOB ∆(O 是坐标原点）面积最小时，求直线l 的方程； （3）设||||OA OB +的最小值为()f m ，求()f m 的值域。

15、（崇明县2015届高三第二次高考模拟）已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F 与x 轴不垂直的直线交椭圆于,P Q 两点． （1）求椭圆的方程；
（2）当直线l 的斜率为1时，求POQ ∆的面积；
（3）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形？
若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、填空、选择题
1、解：因为抛物线y 2
=2px （p ＞0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1， 所以=1，所以p=2．故答案为：2．
2、【解析】：椭圆右焦点为(2,0)，即抛物线焦点，所以准线方程2x =-
3、【解答】不妨设椭圆Γ的标准方程为22214x y b +=，于是可算得(1,1)C ，得2446,233b c ==．
4、4
5、3π
6、1
7、22
182x y += 8、
512π 9、4 10、3 11、212y x = 12、7 13、(,5)-∞ 14、),3()2,2(+∞- 15、9
8
二、解答题
1、解：（1）依题意，直线l 1的方程为y=
x ，由点到直线间的距离公式得：点C 到直线l 1的距离
d==，
因为|AB|=2|AO|=2，所以S=|AB|d=2|x 1y 2﹣x 2y 1|；
（2）方法一：设直线l 1的斜率为k ，则直线l 2的斜率为﹣
，
设直线l 1的方程为y=kx ，联立方程组，消去y 解得x=±，
根据对称性，设x 1=，则y 1=，
同理可得x 2=，y 2=，所以S=2|x 1y 2﹣x 2y 1|=．
方法二：设直线l 1、l 2的斜率分别为、，则=﹣，
所以x 1x 2=﹣2y 1y 2， ∴
=4
=﹣2x 1x 2y 1y 2，
∵A（x 1，y 1）、C （x 2，y 2）在椭圆x 2
+2y 2
=1上， ∴（
）（
）=+4
+2（+）=1，
即﹣4x 1x 2y 1y 2+2（
+
）=1，
所以（x 1y 2﹣x 2y 1）2
=，即|x 1y 2﹣x 2y 1|=，
所以S=2|x 1y 2﹣x 2y 1|=．
2、【解析】：（1）将(1,2),(1,0)A B -分别代入1x y +-，得(121)(11)40+-⨯--=-< ∴点(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分割
（2）联立2241
x y y kx
⎧-=⎨=⎩，得22(14)1k x -=，依题意，方程无解，
∴2
140k -≤，∴12k ≤-
或12
k ≥ （3）设(,)M x y ，则2
2
(2)1x y x +-=，
∴曲线E 的方程为222[(2)]1x y x +-= ①
当斜率不存在时，直线0x =，显然与方程①联立无解，
又12(1,2),(1,2)P P -为
E 上两点，且代入0x =，有10η=-<， ∴0x =是一条分割线；
当斜率存在时，设直线为y kx =，代入方程得：2
4
3
2
(1)4410k x kx x +-+-=， 令2432()(1)441f x k x kx x =+-+-，则(0)1f =-，
22(1)143(2)f k k k =+-+=-，22(1)143(2)f k k k -=+++=+，
当2k ≠时，(1)0f >，∴(0)(1)0f f <，即()0f x =在(0,1)之间存在实根， ∴y kx =与曲线E 有公共点
当2k =时，(0)(1)0f f -<，即()0f x =在(1,0)-之间存在实根， ∴y kx =与曲线E 有公共点
∴直线y kx =与曲线E 始终有公共点，∴不是分割线，
综上，所有通过原点的直线中，有且仅有一条直线0x =是E 的分割线
3、【解答】：（1）C 1的左焦点为(3,0)F -，过F 的直线3x =-与C 1交于2
(3,)2
-±，与C 2交于(3,(31))-±+，故C 1的左焦点为“C 1-C 2型点”，且直线可以为3x =-； （2）直线y kx =与C 2有交点，则
(||1)||1||||1y kx
k x y x =⎧⇒-=⎨
=+⎩
，若方程组有解，则必须||1k >； 直线y kx =与C 2有交点，则
22
22
(12)222
y kx k x x y =⎧⇒-=⎨-=⎩，若方程组有解，则必须212k < 故直线y kx =至多与曲线C 1和C 2中的一条有交点，即原点不是“C 1-C 2型点”。

（3）显然过圆2
2
1
2
x y +=
内一点的直线l 若与曲线C 1有交点，则斜率必存在； 根据对称性，不妨设直线l 斜率存在且与曲线C 2交于点(,1)(0)t t t +≥，则
:(1)()(1)0l y t k x t kx y t kt =+=-⇒-++-=
直线l 与圆2
2
12x y +=
内部有交点，故2|1|221t kt k +-<
+ 化简得，2
2
1(1)(1)2
t tk k +-<
+。

① 若直线l 与曲线C 1有交点，则
2
2222
1
1()2(1)(1)10212
y kx kt t k x k t kt x t kt x y =-++⎧⎪⇒-++-++-+=⎨-=⎪
⎩ 2222221
4(1)4()[(1)1]0(1)2(1)2
k t kt k t kt t kt k ∆=+---+-+≥⇒+-≥-
化简得，22(1)2(1)t kt k +-≥-。

②
由①②得，2
2
2
212(1)(1)(1)12k t tk k k -≤+-<
+⇒< 但此时，因为2
210,[1(1)]1,(1)12
t t k k ≥+-≥+<，即①式不成立；
当2
12
k =时，①式也不成立
综上，直线l 若与圆22
12
x y +=内有交点，则不可能同时与曲线C 1和C 2有交点，
即圆22
12
x y +=内的点都不是“C 1-C 2型点” ．
4、解：（1）椭圆一个焦点和顶点分别为(7,0),(22,0)，………………………1分
所以在双曲线22221y x a b
-=中，27a =，28c =，2221b c a =-=， 因而双曲线方程为2
217x y -=．……………………………………………………4分
（2）设()M x y ，，()A m n ，，则由题设知：2OM OA =，0OA OM ⋅=． 即22224()0x y m n mx ny ⎧+=+⎨+=⎩
，，………………………………………………………………5分
解得22221414
m y n x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，．……………………………………………………………………7分
因为点()A m n ，在椭圆C 上，所以2218
m n +=，即…
()()2
2
2
182y
x +=，
亦即221432x y +=．所以点M 的轨迹方程为22
1432x y +=．…………………9分
（3）（文）因为AB 所在直线方程为(0)y kx k =>．
解方程组22
18x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩
，，
得2
2
818A x k =+，222818A k y k =+， 所以222
2
2
222
888(1)181818A A
k k OA x y k k k +=+=+=
+++，222
232(1)418k AB OA k +==+. 又2
2181x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，，
解得2228+8M k x k =，2
28+8M y k =，所以222
8(1)+8k OM k +=．………… 11分 由于2
22
14AMB
S AB OM =⋅△2222132(1)8(1)418+8
k k k k ++=⨯
⨯+222264(1)32(18)(+8)7k k k +==+……………14分 解得22221(61)(6)066k k k k --=⇒==或即666
k k =±=±或
又0k >，所以直线AB 方程为6
6
y x =或6y x =………………………………… 16分 （3）（理）（方法1）因为AB 所在直线方程为(0)y kx k =>．
解方程组22
18x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩
，，
得2
2
818A x k =+，222818A k y k =+， 所以222
2
2
222
888(1)181818A A
k k OA x y k k k +=+=+=
+++，222
232(1)418k AB OA k +==+. 又2
2181x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，，解得2228+8M k x k =，2
28+8M y k =，所以222
8(1)+8k OM k +=．………… 11分 由于2
22
14AMB
S AB OM =⋅△2222132(1)8(1)418+8k k k k ++=⨯
⨯+
22222
264(1)392256
88(18)(+8)81865
8k k k k k
+==-≥+++……………………………………………14分
或()
22
2
2264(1)18+8
2
k k k +≥
++222264(1)256
8181(1)4
k k +==
+， 当且仅当22188k k +=+时等号成立，即k ＝1时等号成立，
此时△AMB 面积的最小值是S △AMB ＝169
．………………………………………… 15分
AB 所在直线方程为y x =． ………………………………………………… 16分
（方法2）设()M x y ，，则()(0)A y x λλλλ-∈≠R ，
，， 因为点A 在椭圆C 上，所以222(8)8y x λ+=，即222
8
8y x λ+=（i ）
又2288x y +=（ii ）
（i ）+（ii ）得()
2228119x y λ+=+，………………………………………………11分
所以()
228116||()||99AMB S OM OA x y λλλ∆=⋅=+=+≥.……………………………14分
当且仅当1λ=±（即1AB k =±）时，()min 16
9
AMB S ∆=
. 又0k > AB 所在直线方程为y x =．………………………………………………… 16分
5、[解]（1）设两动圆的公共点为Q ，则有：12124()QF QF F F +=>．由椭圆的定义可知Q 的轨
迹为椭圆，2,3a c ==．所以曲线C 的方程是：2
214
x y +=．…4分 （2）（理）证法一：由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,
当AB 的斜率不存在时，易知满足条件0MA MB ⋅=的直线AB 为：0x =过定点
3
(0,
)5
N - ………………………6分 当AB 的斜率存在时，设直线AB ：y kx m =+，联立方程组：
22
14
x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
①②，把②代入①有：222
(14)8440k x kmx m +++-=……………8分 122814km x x k -+=+③，2122
44
14m x x k
-⋅=+④， 因为0MA MB ⋅=，所以有1212(1)(1)0x x kx m kx m ⋅++-+-=，
221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m +⋅+-++-=，把③④代入整理：
22
2
22
448(1)(1)(1)01414m km k k m m k k
--++-+-=++，（有公因式m -1）继续化简得： (1)(53)0m m --=，3
5
m -=
或1m =（舍），
综合斜率不存在的情况，直线AB 恒过定点3(0,)5
N -． ………………………10分 证法二：（先猜后证）由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,
如果直线AB 恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在y 轴上，设为(0,)N m ； 取特殊直线:1MA y x =+，则直线MB 的方程为1y x =-+，
解方程组2
21
4
1x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得点83(,)55A --，同理得点83(,)55
B -，
此时直线AB 恒经过y 轴上的点3(0,)5
N -（只要猜出定点的坐标给2分）……2分 下边证明点3(0,)5
N -满足条件0MA MB ⋅= 当AB 的斜率不存在时，直线AB 方程为：0x =，
点 A B 、 的坐标为(0,1)±，满足条件0MA MB ⋅=；………………………8分 当AB 的斜率存在时，设直线AB ：3
5
y kx =-
，联立方程组： 2
21435x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
①②
，把②代入①得：22
2464(14)0525k k x x +--= 122245(14)k x x k +=
+③，122
64
25(14)
x x k -⋅=+④， 所以121212128
8(1)(1)()()5
5
MA MB x x y y x x kx kx ⋅=⋅+--=⋅+--
21212864(1)()525
k k x x x x =+-
++ 222
6482464
(1)052525(14)5(14)k k k k k -=+⋅
-⋅+=++
………………………10分 （3）（理）ABM △面积MNA MNB S S S =+△△=
1212MN x x -=212124
()45
x x x x +-⋅ 由第(2)小题的③④代入，整理得：22
32254
2514k S k +=⋅+
……………………………12分 因N 在椭圆内部，所以k R ∈,可设22542t k =+≥，
23249t S t =
+32
(2)
94t t t
=≥+ ……………………………14分
92542t t +≥，∴6425
S ≤(0k =时取到最大值)．
所以ABM △面积S 的最大值为64
25
． …………………………………………16分
6、解：（1）将42-=x y ，代入x y 42=，求得点()2,1-A ，()4,4B ，又因为
()0,2D ，()4,0-E ，…………………………………………………………………………2分 由AD EA 1λ= 得到，()()2,12,11λ=()112,λλ=，11=λ，
同理由BD EB 2λ=得，22-=λ所以21λλ+=1-.………………………………………4分 （2）联立方程组：⎩⎨
⎧
=-++=0221
2
2y x my x 得()
012222=-++my y m ， 21,22221221+-=+-=+m y y m m y y ，又点()⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-m E D 1,0,0,1，
由AD EA 1λ= 得到1111y m y λ-=+
，⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+-=11111y m λ， 同理由BD EB 2λ= 得到2221y m y λ-=+，⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛+-=221
11y m λ， 21λλ+=4212)(122121-=⎪⎭⎫
⎝⎛⋅+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛++-m m y y y y m ，即21λλ+4-=，……………6分 21214
11λλλλ-=+12144λλ+=()4
242
1-+=λ, …………………………………………8分 因为1>m ，所以点A 在椭圆上位于第三象限的部分上运动，由分点的性质可知
()
0,221-∈λ，所以
()2,1
1
2
1
-∞-∈+
λλ.…………………………………………10分
（3）假设在x 轴上存在定点)0,(t D ，则直线l 的方程为t my x +=，代入方程
12222=-b
y a x 得到:()()
022
2222222=-++-b a t mty b y a m b ()
22222221222221,2a m b b a t y y a m b mt b y y ---=--=+, 2
221211a
t mt
y y --=+ (1) 而由AD EA 1λ=、BD EB 2λ=得到：⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++
=+-2121112)(y y m t λλ (2) 22
212b
a =+λλ (3) ……………………………………………………………………12分
由（1）（2）（3）得到：22
22222b
a a t mt m t -=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+，22
b a t +±=， 所以点)0,(22b a D +±，………………………………………………………………14分 当直线l 与x 轴重合时，a t a +-=1λ，a t a -=2λ，或者a t a -=1λ，a
t a
+-=2λ，
都有22
2
2
22122b
a a t a =-=+λλ 也满足要求，所以在x 轴上存在定点)0,(22
b a D +±.……………………………16分 7、解：（1）2； （2）11
22
k =
或； （3）设()()()1122,,,,,M x kx N x kx T x y -，120,00x x k >>>，， 设直线OA 的倾斜角为α，则2
2tan ,sin21k
k k αα==
+，根据题意得 ()121122
21222
211x x x y x x k x x k y y x x OM x k k ON x k +⎧=⎪⎪⎧
=+-⎪⎪⎪⎪=⇒⎨⎨⎪⎪=-=+⎪⎪⎩
⎪=+⎪⎩
代入11
sin22MON S OM ON k α∆=
=
化简得动点T 轨迹方程为22211k x y x k ⎛
⎫-=≥ ⎪⎝
⎭.
8、解：（1）如图，以O 为原点，梯形的上底所在直线为x 轴，建立直角坐标系 设梯形下底与y 轴交于点M ，抛物线的方程为：()220x py p =< 由题意()20,40D -，得5p =-，
210x y =-……….3’
取20102y x =-⇒=±， 即()()
102,20,102,20A B ---
()20228AB cm =≈
答：横梁AB 的长度约为28cm ………………..6’
（2）由题意，得梯形腰的中点是梯形的腰与抛物线唯一的公共点 设()():20102
0RQ l y k x k +=-<………………..7’
()
()
2220102
1010022010y k x x kx k x y ⎧+=-⎪⇒+-+=⎨
=-⎪⎩
则()
2
10040022022k k k ∆=++=⇒=-，即:2220RQ l y x =-+…………..10’ y x
S R
P
Q
M D
C
B
A
O
得()()
52,0,152,40Q R -52,152,302OQ MR RQ ⇒===
梯形周长为()
()25215
23021002141cm ++=≈
答：制作梯形外框的用料长度约为141cm ………………..14’
9、（1）设)0,(0x D （00<x ），由)0,(2c F ，),0(b B ，故),(2b c B F -=，),(0b x BD -=， 因为BD B F ⊥2，所以020=--b cx ， …………（1分）
c b x 2
0-=，故⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=0,22c c b D F ，……（2分） 又)0,2(21c F F =，故由02221 =+D F F F 得032
=-c
b c ，所以，223c b =．……（3分） 所以，3tan 12==∠c
b
F BF ，︒=∠6012F BF ，即△21F BF 是等边三角形．………（4分）
（2）由（1）知，c b 3=，故c a 2=，此时，点D 的坐标为)0,3(c -，……（1分） 又△2BDF 是直角三角形，故其外接圆圆心为)0,(1c F -，半径为c 2，…………（3分）
所以，
c c 22
|
3|=--，1=c ，3=b ，2=a ， ……………………（5分） 所求椭圆C 的方程为13
42
2=+y x ． ……………………（6分） （3）由（2）得)0,1(2F ，因为直线l 过2F 且不与坐标轴垂直，故可设直线l 的方程为： )1(-=x k y ，0≠k ． ………………（1分） 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,134
,)1(22y x x k y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k ， ………………（2分）
设),(11y x P ，),(22y x Q ，则有2
2
21438k
k x x +=+，222143124k k x x +-=，……（3分） 由题意，),(11y x M -，故直线QM 的方向向量为),(1212y y x x d +-=
，
所以直线QM 的方程为1
21
121y y y y x x x x ++=
--， ………………（4分） 令0=y ，得)1()1()1()1()(121
221121*********-+--+-=
++=++-=x k x k x x k x x k y y x y x y x y y x x y x k x x k x x k x kx 2)()(2212121-++-=2
)()(2212121-++-=x x x x x x 24384384312422
2
22
22-++-+-⋅=k
k k k k k 4624=--=．…（5分） 即直线QM 与x 轴交于定点）0,4(．
所以，存在点)0,4(N ，使得M 、Q 、N 三点共线． ………………（6分）
（注：若设)0,(0x N ，由M 、Q 、N 三点共线，得01
110
22
11
=-x y x y x ，
得2
11
2210y y y x y x x ++=
．）
10、解：（1）法1：设点P 的坐标为(),x y ，则由题意可知：
1
1
222
x y x y y -++-+
=，由于10x y -+≥，10x y +-≤，0y ≥，…2分
所以11222
x y x y y -++--=，…………………………………………………4分
化简可得：21y =-（2222x -≤≤-）……………………………………5分 法2：设点P 到三边,,AC AB BC 的距离分别为123,,d d d ，其中2d y =，||2||2||2AB AC BC ===.所以 131322122
122
d d y
y d y d +=⎧
⎪⇒=-⎨
++=⎪⎩
………4分 于是点P 的轨迹方程为12-=y （
2222-≤≤-x ）……………………5分 （2）由题意知道01a b <≤<，
情况（1）b a =.
直线l ：(1)y a x =+，过定点()1,0A -，此时图像如右下： 由平面几何知识可知，直线l 过三角形的重心10,3⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，
从而1
3
b a ==.………………………………………………7分
情况（2）b a >.此时图像如右下：令0y =得1b
x a
=-
<-，故直线l 与两边,BC AC 分别相交，设其交点分别为,D E ，则直线l 与三角形两边
的两个交点坐标()11,D x y 、()22,E x y 应该满足方程组：(
)()110y ax b
y x x y =+⎧⎪⎨
--+-=⎪⎩. 因此，1x 、2x 是一元二次方程：()()()()()()11110a x b a x b -+-++-=的两个根.
即(
)
2
22
12(1)(1)0a x a b x b -+-+-=, 由韦达定理得：()2
12
211
b x x a -=
-而小三角形与原三角形面积比为12x x -，即121
2x x =-.
所以
()2
21112b a -=-
-，()22
112a b =
--，
亦即2112a b -=-. 再代入条件b a >，解得103
a <<， 从而得到211,23
b ⎛⎫
∈- ⎪ ⎪⎝⎭
.……………………………………………………………11分
综合上述（1）（2）得：211,23b ⎛⎤
∈- ⎥ ⎝⎦
.……………………………………………12分
解法2：由题意知道01a b <≤< 情况（1）b a =.
直线l 的方程为：(1)y a x =+，过定点()1,0A -，
由平面几何知识可知，直线l 应该过三角形的重心10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 从而13
b a ==
.……………………………………………………………………7分 情况（2）b a >.
设直线l ：y ax b =+分别与边[]:1,0,1BC y x x =-+∈， 边[]:1,1,0AC y x x =+∈-的交点分别为点,D E ， 通过解方程组可得：1(
,)11b a b D a a -+++，1(,)11
b a b
E a a ----，又点(0,1)C ， ∴0
11
1112111111
CDE
b
a b S a a b a b
a a ∆-+=
++----=12，同样可以推出()22
112
a b --=.
亦即2
112a b -=-，再代入条件b a >，解得103
a <<，
从而得到211,23b ⎛⎫∈-
⎪⎝⎭
.………………………………………………………11分
综合上述（1）（2）得：211,23b ⎛⎤
∈-
⎥⎝⎦
.………………………………………12分
解法3：
情况（1）b a =.
直线l 的方程为：(1)y a x =+，过定点()1,0A -， 由平面几何知识可知，直线l 过三角形的重心10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
从而1
3
b a ==
.………………………………………………………………………7分 情况（2）b a >.
令0y =，得1b
x a
=-<-，故直线l 与两边,BC AC 分别相交，
设其交点分别为,D E ，当a 不断减小时，为保持小三角形面积总为原来的一半，则b 也不
断减小.
当//DE AB 时，CDE ∆与CBA ∆相似，由面积之比等于相似比的平方.
可知
22
11=-b ，所以212
b >-， 综上可知211,23b ⎛⎤
∈- ⎥ ⎝
⎦.…………………………………………………………12分 11、解（1）设双曲线的方程为()22
2210,0x y a b a b
-=>>，在已知圆的方程中，令0y =，
得2
40x -=，即2x =±，则双曲线的左、右顶点为()2,0A -、()2,0B ，于是2a = (2)
分
令2y =，可得2
80x -=，解得22x =±，即双曲线过点()
22,2±，则
2
284
12b
-=所以2b =，…………… 4分
所以所求双曲线方程为
22
144
x y -=……………………6分 （2）由（1）得双曲线的两个焦点()
122,0F -，()
222,0F …………………… 7分
当1290F PF ︒
∠=时，设点(),P x y ，
①若点P 在双曲线上，得224x y -=，
由120FP F P ⋅=，得
()()2
22
2222080x x y
x y
+-+=⇒-+=由2222
4
80
x y x y ⎧-=⎨-+=⎩，解得6
2x y ⎧=±⎪⎨=±⎪⎩
所以(
)(
)(
)()
1
2
346,2,6,2,6,2,6,2P P P P ----…… 11分
②若点P 在上半圆上，则()2
2
4402x y y y +--=≥，由120FP F P ⋅=，
得()()
2
22220x x y +-+=，由2222
44080
x y y x y ⎧+--=⎨+-=⎩无解…………………… 13分 综上，满足条件的点有4个，分别为
(
)(
)()()
1
2
346,2,6,2,6,2,6,2P P P P ----…………………… 14分
12、解：（1）(),OP mOA nOB ma na m n =+=-+， 得(),P ma na m n -+……………………..2’
()
()2
2
1m n m n -++=，即221
2
m n +=
……………………..4’ （2）设(),Q x y ，则()()3,,QS QR a x y a x y ⋅=-----
()()()()2
2
2331x x a x a y x a x a a
=-++=-++-……………………..5’
22
2
21213a x ax a a
-=-+-
()2
2342222144111
a a a a x a x a a a a ⎛⎫--+=---≤≤ ⎪--⎝⎭……………………..6’
由1a >，得3
2
1
a a a >-……………………..7’ ∴ 当x a =-时，QS QR ⋅最大值为0；……………………..8’
当x a =时，QS QR ⋅最小值为2
4a -；……………………..9’
即QS QR ⋅的取值范围为24,0a ⎡⎤-⎣⎦……………………..10’
（3）（解法一）由条件得，
122121
y y x x a
=-，……………………..11’ 平方得224222222121212()()x x a y y a x a x ==--,
即22212x x a +=……………………..12’
12211
2
OMN S x y x y ∆=
-……………………..13’ 222212*********x y x y x x y y =+-=22222221121222221(1)(1)2x x x x x x a a a -+-+ 2212122
a
x x =
+=……………………..15’ 故OMN ∆的面积为定值2a
……………………..16’
（解法二）①当直线MN 的斜率不存在时，易得OMN ∆的面积为2
a
……………………..11’ ②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx t =+
()()22
22222221
1210x y a k x kta x a t a
y kx t ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩
……………………..12’ 由1122(,),(,)M x y N x y ，可得()222
12122222
12,11a t kta x x x x a k a k
--+==++， ()()()222
2
2
1212121222
1t a k y y kx t kx t k x x kt x x x t a k
-=++=+++=+ 又122121
OM ON y y k k x x a
⋅==-，可得22221t a k =+……………………..13’
因为2121MN k x x =+⋅-，……………………..14’
点O 到直线MN 的距离21t
d k =+……………………..15’
12122OMN t S MN d x x ∆=⋅⋅=⋅-()2121242t x x x x =⋅+-()
()22222224122
1a a k t t
a a k +-=⋅=+ 综上：OMN ∆的面积为定值2
a ……………………..16’
13、 解：（1）由题意得F 1（﹣2，0），
c=2…（2分）
又
， 得a 4﹣8a 2+12=0，解得a 2=6或a 2=2（舍去），…（2分） 则b 2=2，…（1分）
故椭圆方程为．…（1分）
（2）直线l 的方程为y=k （x ﹣2）．…（1分）
联立方程组，消去y 并整理得（3k 2+1）x 2﹣12k 2x+12k 2
﹣6=0．…（3分） 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 故，．…（1分） 则|AB|=|x 1﹣x 2|==．…（2分）
（3）设AB 的中点为M （x 0，y 0）．
∵=2x 0，∴，…（1分）
∵y 0=k （x 0﹣2），∴
．…（1分） 直线MP 的斜率为，又 x P =3，
所以．…（2分）
当△ABP 为正三角形时，|MP|=， 可得，…（1分）
解得k=±1．…（1分）
即直线l 的方程为x ﹣y ﹣2=0，或x+y ﹣2=0．…（1分）
14、解法一：
（1）当0m =时，(0,2)P ，设(,)(,)(0,0)A a a B b b a b ->>，，(,)M x y ，因为M 是AB 中点，所以22
a b x a b
y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ ------2分 因为A B P 、、三点共线，所以//AP BP ，由(,2)(,2A P a a B P b b =--=-，，则有
(2)(2a b b a --=-，即a b ab += ------4分 代入得M 点轨迹方程为22(1)1(0)y x y --=>。

------6分
（2）当1m =时，(1,2)P ，
(,)(,)(0,0)A a a B b b a b ->>，，||2,||2OA a OB b ==，1||||2
AOB S OA OB ab ∆== -------8分 由A B P 、、共线得23ab a b =+ ------9分 23233ab a b ab ab =+≥⇒≥，当3a b =时等号成立， ------10分 此时3,1a b ==，直线l 方程为230x y -+=。

------12分
（3）由A B P 、、三点共线得：2(2)(2)ab m b m a =++-， 即22122m m a b
+-+= ----14分 22||||2()2()(
)22m m OA OB a b a b a b +-+=+=++ 2[4(2)(2)]2b a m m a b
=+++- ---16分 因为22m -<<，且0,0a b >>，所以上式22[424]2m ≥
+-
解法二：
（1）由题知直线l 的斜率k 存在，且11k -<<。

当0m =时，设直线:2l y kx =+ 由022(,)211x y A y kx k k -=⎧⇒⎨=+--⎩，同理得22(,)11B k k -++ ------3分 设(,)M x y ，则122()211122()211x k k y k k ⎧=-⎪⎪-+⎨⎪=+⎪-+⎩
消去k 得M 轨迹方程为22(1)1(0)y x y --=>。

------6分
（2）当1m =时，设直线:2(1)(11)l y k x k -=--<< 由2(1)22(,)011y k x k k A x y k k -=-⎧--⇒⎨-=--⎩，同理得22(,)11k k B k k --++ ------8分 22
1(2)||||21AOB k S OA OB k ∆-==- ----9分 设2k t -=，则(1,3)t ∈，所以2221121
433()33
AOB t S t t t ∆==-+---+，当123t =，即32t =时，AOB S ∆最小值为3，此时12
k =，所以直线:230l x y -+=。

------12分 （3）设:2()(11)l y k x m k -=--<< 由2()22(,)011y k x m km km A x y k k -=-⎧--⇒⎨-=--⎩，则理得22(,)11km km B k k --++ 22222(2)||||2()111km km km OA OB k k k
---+=+=-+- -----14分 设2km t -=，因为(1,1),(2,2)k m ∈-∈-，所以0t >，22242||||8416
m t OA OB t t m +=-++- 22
2224242228216482168[]m m m m m t t
=≥=+-----+ ------16分
15、解（1）设椭圆方程为)0(122
22>>=+b a b y a x
根据题意得1==c b 所以2222=+=c b a 所以椭圆方程为12
22
=+y x （2）根据题意得直线方程为1:-=x y l 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+1
1222x y y x 得Q P ,坐标为)31,34(),1,0(- 计算324=PQ 点O 到直线PQ 的距离为2
2 所以，32=∆OPQ S （3）假设在线段OF 上存在点)10)(0,(<<m m M ,使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x 轴不垂直，所以设直线的方程为)0)(1(≠-=k x k y ．
Q P ,坐标为),(),,(2211y x y x
由⎩⎨⎧-==+)
1(2222x k y y x 得，0224)21(2222=-+-+k x k x k
2
2
2212221212,214k k x x k k x x +=⋅+=+- 计算得：),(),,(2211y m x MQ y m x MP -=-=，其中021≠-x x
由于以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形，所以MQ MP = 计算得421x x m += 即2
2
21214k k x x m +=+=，)0(≠k 所以210<<m。