§5.3 电通量 高斯定理

dE1
dE dE2
球面剖面图
· 18 ·
Chapter 5. 静电场
§5. 3 电通量 高斯定理
例 求均匀带电球面(或薄球壳)的电场分布。( 设球面半
径为R，带电 Q )
解：由于
E
具有球对称分布，取同心球面为高斯面
S
。
若 r > R，则：
E
S
dS

Q
0
E
S
dS

S
4
q
0
r2
dS

q
4 0
r2
dS
S

q
0
E
q
S
可知：与球面半径无关 !
·8 ·
Chapter 5. 静电场
§5. 3 电通量 高斯定理
三、高斯定理

对图中的任意曲面：e
E dS
S
e
E dS
S
E
S0

dS

q
0
E
R2h

E dS

SE dS E dS E dS E dS
侧面
上底
下底
E dS cos 0 0 0
dS
侧面
R
r
h
· 22 ·
Chapter 5. 静电场
§5. 3 电通量 高斯定理

E dS

de E dS

e
E dS
S
de
dS
dS

·6 ·
Chapter 5. 静电场
§5. 3 电通量 高斯定理

对闭合曲面：
e
E dS
S
( 单位：V ·m-1 )
说明

E
☻若 e 0，穿出的电场
线条数 > 穿入的电场线
条数；
☻若 e 0，穿出的电场线
§5. 3 电通量 高斯定理
2 0

R2 r
E
2 0
r
(r R) (r R)
R
E
r
R
h
2 0
o
R
r
( 解毕 )
· 24 ·
Chapter 5. 静电场
§5. 3 电通量 高斯定理
例 求无限大均匀带电平面的电场分布。( 设电荷面密度 为σ)
解：E具有面对称分布，取如图封闭圆柱面为高斯面 S 。
( The end ) · 29 ·
S
E dS
侧面

E
2
Rh
1
0
R2h
E

2 0

R2 r
R
r R:
E
S

dS


1
0



r
2h
r
h
SE dS E dS cos 0 0 0 E 2 rh 侧面
E

2 0
r
· 23 ·
Chapter 5. 静电场
e
E dS 0
S
结论：

e

E dS
S
q
0
(
S包围
q
)
0 (S不包围 q )
S
E
q
而与闭合曲面 S 的形状无关 !
· 10 ·
Chapter 5. 静电场
§5. 3 电通量 高斯定理

如图，一般情况： e
E dS
S
S 内： q1 , q 2 , , q m
Chapter 5. 静电场
§5. 3 电通量 高斯定理
§5. 3 电通量 高斯定理
·1 ·
Chapter 5. 静电场
一、电场线模型
§5. 3 电通量 高斯定理
方向：起于正电荷，止于负电荷；不相交；
E
q
E
q
·2 ·
Chapter 5. 静电场
一、电场线模型
§5. 3 电通量 高斯定理
E2
缓慢移动
q1
E
E1
S q2
☻ 若 S 内电荷为连续分布，设电荷体密度为 ρ ，则：
E
S

dS

1
0
dV
V


E

0
E
为有源场！
· 14 ·
Chapter 5. 静电场
§5. 3 电通量 高斯定理
例 如图，均匀电场(电场强度为) E 垂直与半径为 R 的
半球面的底面，求通过该半球面的电通量。
解 作一辅助平面 S2，则通过 S1＋S2= S 面的电通量：

SE
dS

0

E dS E dS 0
S1

S 2

R

E dS E dS
S1
S2
dS
E
E dS cos 180 S2
(S内)
( 真空中的高斯定理 )

S 被称作 “ 高斯面 ” 。 即：穿过高斯面 S 的电通量等
于高斯面 S 所包围电荷的
代数和的 1/ε0 倍。
qn S dS

q2

E
q3
q1


q
m

3


q

m
1
qm qm2
☻ 高斯定理适用范围比库仑定律更广泛，更普遍。
r
俯视图
dE
E

2 0a
· 21 ·
Chapter 5. 静电场
§5. 3 电通量 高斯定理
例 求无限长均匀带电圆柱体的电场分布。( 设圆柱体半
径为R，电荷体密度为 ρ )
解：E 具有柱对称分布，取同轴封闭
圆柱面为高斯面 S 。
dS
r R:
E
S
dS

1
0


§5. 3 电通量 高斯定理
1. 电场线模型: 起于正电荷，止于负电荷；不相交；
2. 高斯定理:
电场线上任一点的切线方向为该点的
E 方向。
穿过高斯面 S 的电通量等于高斯面 S
所包围电荷的代数和的 1/ε0 倍。

E dS
S

1
0
qi
(S内)
3. 利用高斯定理求解球对称、柱对称、面对称的电场。
S
条数=穿入的电场线条数；
☻若 e 0，穿出的电场线条数 < 穿入的电场线条数；
·7 ·
Chapter 5. 静电场
§5. 3 电通量 高斯定理
例 求通过以点电荷+q为球心的球面的电通量。
解 如图所示，电场具有球对称性。以S为高斯面：

e
E dS
S
E dS cos 0 S
cos
0

Q
0
QQ
R
o
E
r
E
dS
S

Q
0
S
球面剖面图
· 19 ·
Chapter 5. 静电场
§5. 3 电通量 高斯定理
E

Q
4 0r 2
若 r < R，则： E dS 0
S
E dS cos 0 0 S E0
E dS 0 E
S
Q
4 0 R2

E

2 0
E

2 0

侧视图
E

2 0
( 解毕 )
· 27 ·
Chapter 5. 静电场
§5. 3 电通量 高斯定理
练习 利用高斯定理求下列组合均匀带电体的电场分布。

I II III

R2 R1


平面＋平面
R2 R1
圆柱体＋圆柱面
球体＋球面
· 28 ·
Chapter 5. 静电场

l
l
S
S
E
S
侧视图
S
S Sห้องสมุดไป่ตู้
S
· 25 ·
Chapter 5. 静电场
§5. 3 电通量 高斯定理
例 求无限大均匀带电平面的电场分布。( 设电荷面密度
为σ)
解：E具有面对称分布，取如图封闭圆柱面为高斯面 S 。
E

2 0
E

2 0

dS
E
S
dS

1
0
方向：起于正电荷，止于负电荷；不相交；
电场线上任一点的切线方向为该点的
E
方向。
密度：愈密集的地方，
E 愈大。
E

de
dS
EA
EB
B
A
de E dS
de

E
dS
·3 ·
Chapter 5. 静电场
§5. 3 电通量 高斯定理
等量异号电荷
不等量异号电荷
·4 ·
Chapter 5. 静电场
· 12 ·
Chapter 5. 静电场
§5. 3 电通量 高斯定理
高斯(C. F. Gauss)德国数学家
和物理学家。主要从事于数学 并将数学应用于物理学、天文 学和大地测量学等领域研究。 著述丰富成就甚多。他一生中 共发表323篇(种)著作，提出了 404项科学创见(发表178项)。
C.F.Gauss 1777-1855
S
l S
dS
l
S
dS
E

SE dS E dS E dS E dS
左底
右底
侧面
E S E S 0

S
dS
侧视图
E

2 0
· 26 ·
Chapter 5. 静电场
§5. 3 电通量 高斯定理
E

2 0
e

q
6 0
· 16 ·
Chapter 5. 静电场
§5. 3 电通量 高斯定理

四、高斯定理的应用 —— 求对称场 E
思路：
对于球/柱/面对称性电场，选择适当的高斯面 S，使
得高斯面上各点的E大小相等，方向与高斯面法线方向
相同，则有：

E
S
dS

1
0
qi
(S内)
E dS cos 0 S
Q
R
Q
E 4 0r2 (r R)
0
(r R)
or R
S
( the end)
球面剖面图
r
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Chapter 5. 静电场
§5. 3 电通量 高斯定理
例 求无限长均匀带电圆柱体的电场分布。( 设圆柱体半
径为R，电荷体密度为 ρ )
分析：在半径为
r
的圆柱面上
E
的大小
R
相等，方向沿柱面径向。 柱对称！
可知：与 S 无关 ! e q
q > 0：电场线穿出； q = 0：无电场线出入； q < 0：电场线穿入。
q
S
S0
·9 ·
Chapter 5. 静电场
§5. 3 电通量 高斯定理

若任意曲面不包围 S，则：e
E dS
S
由于：穿入的电场线条数＝穿出的电场线条数


§5. 3 电通量 高斯定理
等量同号电荷
平行板电容器 内部的电场线
++ ++ + + + + +
·5 ·
Chapter 5. 静电场
§5. 3 电通量 高斯定理
二、电通量
E
电通量：通过某面积的电场
线条数。

定义：面元矢量 dS dS nˆ
S
dS E
de E dS E dS cos
ER2
( 解毕 )
S2 S1
高斯面：S = S1＋S2
· 15 ·
Chapter 5. 静电场
§5. 3 电通量 高斯定理
课堂练习 如图，点电荷 q 位于立方体中心，求通过该
立方体某一面的电通量。
提示：以立方体表面作为高斯
面，则
q
E
S

dS

q
0
通过每个面的电通量相等 !
答案：

q2

E
q3
q1


q
m

3


q

m
1
qm qm2
· 11 ·
Chapter 5. 静电场
§5. 3 电通量 高斯定理
e
E dS
S

m i 1
qi
0
0
1
0
m
qi
i1
一般写成：

E
S
dS

1
0
qi
· 13 ·
☻

Chapter 5. 静电场
§5. 3 电通量 高斯定理
E dS 只与 S 内净余电荷有关，与 S 外电荷无关。
S

但此处的 E，即高斯面上的电场强度，不仅与面内
电荷有关，而且还与面外的电荷有关。
E
例 S

dS

q2
0
：不变 !

E E1 E 2 ：变 !

1
0
qi
(S内)
E
dS
S

1
0
qi
(S内)
E
· 17 ·
Chapter 5. 静电场
§5. 3 电通量 高斯定理
例 求均匀带电球面(或薄球壳)的电场分布。( 设球面半
径为R，带电 Q )
分析：在半径为
r
的球面上
E
大小相等，方向沿径向。
E 分布特点：
球对称 ！
Q
o
dq R
dq
设 S 外： q m 1 , q m 2 , , q n

n
e
E dS
S
S ( i1 Ei ) dS
n
i1
S Ei dS
m n
i1
S Ei dS im1
S Ei dS

qn S dS