济南市2019-2020学年高二第二学期期末数学预测试题

同步测试
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z 满足(12)1i z i +=-，则复数z 为（ ）
A ．1355i +
B ．1355i -+
C ．1355i -
D ．1355
i -- 2．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，且当[2,0]x ∈-时，
()1()12
x f x =-，若在区间()2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>恰好有三个不同的实数根，则a 的取值范围是( )
A ．()2,+∞
B ．()1,2
C ．)2
D ．2]
3．若复数z 满足 2 5z i i +=（），则复数z 的虚部为.
A ．-2
B ．-1
C ．1
D ．2.
4．已知函数()y f x =的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是12y x =
+2,则()()11f f +'的值等于( ) A ．0 B ．1
C ．52
D ．3 5．若函数()ln f x x =与()()()2424g x x a x a a R =-+-+-∈图象上存在关于点()1,0M 对称的点，
则实数a 的取值范围是（）
A ．[)0,+∞
B ．1
,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．[)1,+∞ D ．[),e +∞
6．体育场南侧有4个大门,北侧有3个大门,某学生到该体育场练跑步,则他进出门的方案有( ) A ．12种 B ．7种 C ．24种 D ．49种
7．已知i 是虚数单位，21i =-，则计算
21i i +的结果是（） A ．1i + B ．1i -+ C ．1i - D ．1i --
8．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是 （ ）
A ．12,24,15,9
B ．9,12,12,7
C ．8,15,12,5
D ．8,16,10,6
9．从1，3，5中任取2个不同的数字，从0，2，4中任取2个不同的数字，可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（ ）
A ．96
B ．54
C ．108
D ．78
10．若函数()ln f x ax x =-在(1,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(,1)-∞
B ．(,1]-∞
C ．(1,)+∞
D ．[1,)+∞
11．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是
A ．13
B ．12
C ．23
D ．34 12．集合1
{|()1},{|lg(2)}2x M x N x y x =≥==+，则M N ⋂等于（ ）
A ．[)0,+∞
B ．(]2,0-
C ．()2,-+∞
D ．()[),20,-∞-+∞
二、填空题：本题共4小题
13．直三棱柱111ABC A B C -中，若1,,CA a CB b CC c ===，则1BA =
__________． 14．若1a b +=，(),a b R +∈，则1
1a b
+的最小值为__________． 15．一个总体分为A ，B 两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为128
，则总体中的个体数为 _____ ． 16．曲线ln y x =在点()10，
处的切线方程为__________. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知抛物线24x y =的焦点为,F ,A B 抛物线上的两动点，且AF FB λ=0λ（＞）
，过,A B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M .
（1）证明：•FM AB 为定值；
（2）设AMB 的面积为S ，写出()S f λ＝的表达式，并求S 的最小值．
18．某校为“中学数学联赛”选拔人才，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：分数不小于本次考试成绩中位数的具有复赛资格，某校有900名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间(]30,150内，其频率分布直方图如图．
（1）求获得复赛资格应划定的最低分数线；
（2）从初赛得分在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间(]110,130与(]130,150各抽取多少人？
（3）从（2）抽取的7人中，选出4人参加全市座谈交流，设X 表示得分在(]110,130中参加全市座谈交
流的人数，学校打算给这4人一定的物质奖励，若该生分数在(]110,130给予500元奖励，若该生分数在(]130,150给予800元奖励，用Y 表示学校发的奖金数额，求Y 的分布列和数学期望。

19．（6分）已知函数1()1
x x e f x e +=-. （I ）若()2f a =，求实数a 的值；
（Ⅱ）判断()f x 的奇偶性并证明；
（Ⅲ）设函数22()1()1
g x kx f x =-+-()k ∈R ，若()g x 在(0,)+∞上没有零点，求k 的取值范围. 20．（6分）已知数列{}n a 满足11()3
n n a a n N *+=
∈,且31a = （1）求1a 及n a ； (2)设3log n a
n b =求数列{}n b 的前n 项和n S 21．（6分）已知函数21()ln 2()2
f x ax x a R =--∈ （1）当1a =时，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；
（2）讨论函数()f x 的单调性.
22．（8分）甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分， 答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为
23
，乙队中3人答对的概率分别为221,,332且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分.
（Ⅰ）求随机变量ε分布列；
(Ⅱ)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D
【解析】
【分析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
由()121i z i +=-， 得()()(
)()11211312121255
i i i z i i i i ---===--++-． 故选D ．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
2．D
【解析】
由f(x−2)=f(x+2),可得函数的周期T=4,当x ∈[−2,0]时,()1 12x
f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∴可得(−2,6]的图象如下：
从图可看出,要使f(x)的图象与y=log a (x+2)的图象恰有3个不同的交点，
则需满足()()log 223log 623a a
⎧+<⎪⎨+≥⎪⎩， 求解不等式组可得a 的取值范围是
34,2⎤⎦. 本题选择D 选项.
3．D
【解析】
【分析】
根据复数除法的运算法则去计算即可.
【详解】
因为 2 5z i i +=（），所以()()()
52512222i i i z i i i i -=
==+++-，虚部是2， 故选D.
本题考查复数的除法运算以及复数实部、虚部判断，难度较易.复数除法运算时，注意利用平方差公式的形式将分母实数化去计算
4．D
【解析】
【分析】
根据导数定义，求得()1f '的值；根据点在切线方程上，求得()1f 的值，进而求得()()11f f +'的值。

【详解】
点M(1,f(1))在切线上，所以15(1)1222f =
⨯+= 根据导数几何意义，所以1'(1)2f =
所以51(1)'(1)322f f +=
+= 所以选D
【点睛】
本题考查了导数的几何意义及点在曲线上的意义，属于基础题。

5．C
【解析】
【分析】
首先求()g x 关于点()1,0M 的函数，转化为其与ln y x =有交点，转化为ln x a x x =-
，这样a 的范围就是ln x y x x
=-
的范围，转化为利用导数求函数的取值范围的问题. 【详解】
设(),P x y 关于()1,0M 的对称点是()2,P x y '--在()()2424g x x a x a =-+-+- 上， ()()()2
224224y x a x a y x ax -=--+--+-⇒=-，
根据题意可知，ln y x =与()2y x ax a R =-∈有交点， 即2ln ln x x x ax a x x =-⇒=-
， 设ln x y x x
=- ()0x >， 221ln x x y x
-+'=， 令()2
1ln h x x x =-+，()0x > ()120h x x x
'=+>恒成立，
()h x ∴在()0,∞+是单调递增函数，且()10h =，
()h x ∴在()0,1()0h x <，即0y '<，()1,+∞时()0h x > ，即0y '> ，
ln x y x x
=-在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增， 所以当1x =时函数取得最小值1，
即1y ≥ ，
a ∴的取值范围是[
)1,+∞. 故选C.
【点睛】
本题考查了根据函数的零点求参数取值范围的问题，有2个关键点，第一个是求()g x 关于M ()1,0对称的函数，根据函数有交点转化为ln x a x x
=-，0x >，求其取值范围的问题，第二个关键点是在判断函数单调性时，用到二次求导，需注意这种逻辑推理.
6．D
【解析】
第一步，他进门，有7种选择；第二步，他出门，有7种选择．根据分步乘法计数原理可得他进出门的方案有7×7＝49(种)．
7．A
【解析】
【分析】
根据虚数单位i 的运算性质，直接利用复数代数形式的除法运算化简求值．
【详解】
解：21i =-，
22(1)2211(1)(1)2
i i i i i i i i -+∴===+++-， 故选A ．
【点睛】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
8．D
【解析】 试题分析：由题意，得抽样比为
40180020=，所以高级职称抽取的人数为1160820
⨯=，中级职称抽取的人数为13201620⨯=，初级职称抽取的人数为12001020⨯=，其余人员抽取的人数为1120620⨯=，所
以各层中依次抽取的人数分别是8人，16人，10人，6人，故选D ．
考点：分层抽样．
【方法点睛】分层抽样满足“每层中抽取的个体数量样本容量＝本层的总个体数量总体数量”，即“1212n n n N N N
===或1212::::::n n n N N N =”，据此在已知每层间的个体数量或数量比，样本容量，总体数量中的两个时，就可以求出第三个．
9．A
【解析】
【分析】
根据选取的两个偶数是否包含0分为两种情况，种数相加得到答案.
【详解】
选取的两个偶数不包含0时：2213322336C C C A ⨯⨯⨯=
选取的两个偶数包含0时：21323232(2)60C C A A ⨯⨯+⨯=
故共有96个偶数
答案选A
【点睛】
本题考查了排列组合，将情况分类可以简化计算.
10．D 【解析】
【分析】
由题意得()10f x a x '=-
≥在(1,)+∞上恒成立，利用分离参数思想即可得出结果． 【详解】
∵()ln f x ax x =-，∴1()f x a x
'=-， 又∵函数()ln f x ax x =-在(1,)+∞上是增函数，
∴1()0f x a x '=-
≥在(1,)+∞恒成立， 即1,(1,)a x x
∈+∞恒成立，可得1a ≥， 故选D.
【点睛】
本题主要考查了已知函数的单调性求参数的取值范围，属于中档题．
11．B
【解析】
试题分析：由题意，这是几何概型问题，班车每30分钟发出一辆，到达发车站的时间总长度为40，等车不超过10分钟的时间长度为20，故所求概率为
201402
=，选B. 【考点】几何概型
【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、面积、体积等.
12．B
【解析】 试题分析：集合0111|1|222x x M x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=≥=≥⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭，{}|0M x x ∴=≤, (){}{}|lg 2|2N x y x x x ==+=>-，{}{}{}|0|2|20A B x x x x x x ∴⋂=≤⋂>-=-<≤，故选B. 考点：指数函数、对数函数的性质及集合的运算.
二、填空题：本题共4小题
13．a b c -+
【解析】
【分析】
将1BA 向量用基向量表示出来得到答案.
【详解】
直三棱柱111ABC A B C -中，若1,,CA a CB b CC c ===
111BA BA AA CA CB CC a b c =+=-+=-+
故答案为a b c -+
【点睛】
本题考查了空间基向量的知识，意在考查学生的空间想象能力.
14．4
【解析】
【分析】 由题可得，
()11112b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭
，再利用基本不等式的性质即可得出结果. 【详解】
因为0,0,1a b a b >>+=，
所以()11112b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭
24≥+=， 当且仅当12a b ==
时取等号， 所以11a b
+的最小值为4. 故答案为:4.
【点睛】
本题主要考查利用“整体乘1”的方法和基本不等式的性质来求最值，注意基本不等式的前提是正数. 15．40
【解析】
设B 层中的个体数为n ，则211828n
n C =⇒=，则总体中的个体数为8540.⨯= 16．1y x =-
【解析】
【分析】
利用切线的斜率是函数在切点处导数，求出切线斜率，再利用直线方程的点斜式求出切线方程．
【详解】
∵y ＝lnx ，∴1'y x
=， ∴函数y ＝lnx 在x ＝1处的切线斜率为1，
又∵切点坐标为（1，0），
∴切线方程为y ＝x ﹣1．
故答案为：y ＝x ﹣1．
【点睛】
本题考查了函数导数的几何意义，利用导数研究曲线上某点切线方程，正确求导是关键．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（Ⅰ）定值为0；（2）S=31
2，S 取得最小值1． 【解析】
分析：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x o ，y o ），根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设直线方程与抛物线方程联立消去y ，根据判别式大于0求得12x x +和12x x ，根据曲线1y=x 2上任意一点斜率为y′=2
x ，可得切线AM 和BM 的方程，联立方程求得交点坐标，求得FM 和AB ，进而可求得FM AB ⋅的结果为0，进而判断出AB ⊥FM ．
（2）利用（1）的结论，根据12x x +的关系式求得k 和λ的关系式，进而求得弦长AB ，可表示出△ABM 面积．最后根据均值不等式求得S 的范围，得到最小值． 详解：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x o ，y o ），焦点F （0，1），准线方程为y=﹣1， 显然AB 斜率存在且过F （0，1）
设其直线方程为y=kx +1，联立1y=x 2消去y 得：x 2﹣1kx ﹣1=0， 判别式△=16（k 2+1）＞0，x 1+x 2=1k ，x 1x 2=﹣1.
于是曲线1y=x 2上任意一点斜率为y′=2
x ， 则易得切线AM ，BM 方程分别为y=（12）x 1（x ﹣x 1）+y 1，y=（12
）x 2（x ﹣x 2）+y 2，其中1y 1=x 12，1y 2=x 22， 联立方程易解得交点M 坐标，x o =
122x x +=2k ，y o =124x x =﹣1，即M （122x x +，﹣1）, 从而FM =（122
x x +，﹣2），AB （x 2﹣x 1，y 2﹣y 1） FM AB ⋅=
12（x 1+x 2）（x 2﹣x 1）﹣2（y 2﹣y 1）=12（x 22﹣x 12）﹣2[14
（x 22﹣x 12）]=0，（定值）命题得证． （Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM 中，FM ⊥AB ，因而S=
12|AB ||FM |． ∵(0)AF FB λλ=>，
∴（﹣x 1，1﹣y 1）=λ（x 2，y 2﹣1），即12121(1)x x y y λλ-=⎧⎨
-=-⎩， 而1y 1=x 12，1y 2=x 22，
则x 22=4λ
，x 12=1λ，
|FM |
=== 因为|AF |、|BF |分别等于A 、B 到抛物线准线y=﹣1的距离，
所以|AB |=|AF |+|BF |=y 1+y 2+2=22
121144x x ++2=λ+1λ
+2=2．
于是S=1
2
|AB ||FM |=312，
≥2知S ≥1，且当λ=1时，S 取得最小值1． 点睛：本题求S 的最值，运用了函数的方法，这种技巧在高中数学里是一种常用的技巧.所以本题
先求出
S=312，再求函数的定义域，再利用基本不等式求函数的最值. 18．（1）本次考试复赛资格最低分数线应划为100分； （2）5人，2人；（3）
164007元. 【解析】
【分析】
（1）求获得复赛资格应划定的最低分数线，即是求考试成绩中位数，只需满足中位数两侧的频率之和均为0.5即可；
（2）先确定得分在区间(]110,130与(]130,150的频率之比，即可求解；
（3）先确定X 的可能取值，再求出其对应的概率，即可求出分布列和期望.
【详解】
（1）由题意知[]
30,90的频率为：()200.00250.00750.00750.35⨯++=， []110,150的频率为：()200.00500.01250.35⨯+=所以分数在[]90,110的频率为：
10.350.350.3--=，
从而分数在[]90,110的0.3==0.01520
频率组距， 假设该最低分数线为x 由题意得()0.35900.0150.5x +-⨯=解得100x =．
故本次考试复赛资格最低分数线应划为100分。

（2）在区间(]110,130与(]130,150，0.0125:0.00505:2=，
在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人，
分在区间(]110,130与(]
130,150各抽取5人，2人，结果是5人，2人．
（3）X 的可能取值为2，3，4，则：
()()()2231405252524447772412;3;4777C C C C C C P X P X P X C C C =========， 从而Y 的分布列为
()2600230020007777
E Y ∴=⨯+⨯+⨯=(元)． 【点睛】
本题主要考查频率分布直方图求中位数，以及分层抽样和超几何分布等问题，熟记相关概念，即可求解，
属于常考题型.
19．（I ）ln3；（Ⅱ）()f x 为奇函数，证明见解析；（Ⅲ）2,4e ⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭. 【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用()2f a =代入原式即得答案；
（Ⅱ）找出()f x -与()f x 的关系即可判断奇偶性；
（Ⅲ）函数()g x 在()0,+∞上没有零点等价于方程2x
e k x
=在()0,+∞上无实数解，再设()2x e h x x =，求出最值即得答案.
【详解】
（Ⅰ）因为()121
a a e f a e +==-，即：3a e =， 所以ln3a =.
（Ⅱ）函数()f x 为奇函数.
令10x e -≠，解得0x ≠，
∴函数()f x 的定义域关于原点对称，
又()()+11+1111x x
x x x x e e e f x f x e e e --⎛⎫+-===-=- ⎪---⎝⎭
所以，()f x 为奇函数.
（Ⅲ）由题意可知，()2
x g x e kx =-， 函数()g x 在()0,+∞上没有零点等价于方程2x
e k x
=在()0,+∞上无实数解， 设()2(0)x
e h x x x =>，则()()3
2(0)x e x h x x x '-=>， ∴()h x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，
∴()h x 在2x =上取得极小值，也是最小值，
∴()()224
e h x h ≥=，
∴k 的取值范围为2,4e ⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭. 【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性，利用导函数计算函数最值，意在考查学生的转化能力，分析能力，计算能力，难度中等.
20．（1）19a =，31()3n n a -=；（2）252
n n n S -+= 【解析】
【分析】
（1）由113n n a a +=，得到数列{n a }是公比为13
的等比数列，进而可求得1a 和n a ； （2）由（1）知3n b n =-，根据等差数列的定义，得到数列{}n b 是首项为2，公差为1-的等差数列，再利用等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】
（1）由题意，可知113n n a a +=，且31a =，则数列{n a }是公比为13
的等比数列， 又由2311()13a a =⋅=，解得19a =，13119()()33
n n n a --=⨯=. （2）由（1）知3
1()333
log log 3n n n b a n -===-， 又由11n n b b ，且12b =，所以数列{}n b 是首项为2，公差为-1的等差数列， 所以2(23)522
n n n n n S +--+==. 【点睛】
本题主要考查了等差、等比数的定义，以及等比数列的通项公式和等差数列的前n 项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档题.
21．（1）32
y =-.
（2）0a ≤时，递减区间为(0,)+∞；当0a >时，()f x 在递减，在)+∞递增. 【解析】
【分析】
（1）求导数，利用导数的几何意义求曲线f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；
（2）先求出函数的导数，通过讨论a 的取值范围求出函数的单调区间．
【详解】
（1）当1a =时，函数()21ln 22f x x x =--，()1f x x x
'=-，
∴()10f '=，()312f =-， ∴曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为32
y =- （2）()21(0)ax f x x x
->'=. 当0a ≤时，()0f x '<，()f x 的单调递减区间为()0,+∞；
当0a >时，()f x 在0,a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭递减，在,a a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭递增 【点睛】
本题考查利用导数研究切线方程、函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，是一道基础题． 22．（Ⅰ）ε的分布列为
ε
0 1 2 3 P
(Ⅱ)()243
P AB =
【解析】
【分析】
【详解】
(Ⅰ)由题意知，ε的可能取值为0，1，2，3,且 32
13321222(0)1,(1)1327339P C P C εε⎛⎫⎛⎫==⨯-===⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 233
233322428(2)1,(3)339327
P C P C εε⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-===⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以ε的分布列为
ε
0 1 2 3 P （Ⅱ）用C 表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D 表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB=C ∪D,且C 、D 互斥，又
2234222111211110()()13333231323323
P C C ⎛⎫⎡⎤=⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
333521114()()33323
P D C ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭ 由互斥事件的概率公式得
4551043434()()()333243
P AB P C P D =+=+==
同步测试
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}1,2,3,4,5,6A B ==，分别从集合A 和B 中随机抽取数x 和y ，确定平面上的一个点(),P x y =，记“点(),P x y =满足条件22
16x y +≤”为事件C ，则()P C =（） A ．29 B ．112 C ．16 D ．12
2．袋中装有标号为1,2,3的三个小球，从中任取一个，记下它的号码，放回袋中，这样连续做三次，若抽到各球的机会均等，事件A =“三次抽到的号码之和为6”，事件B =“三次抽到的号码都是2”，则()|P B A =（ ）
A ．17
B ．27
C ．16
D ．727
3．化简AB BD CD +-的结果是（ ）
A ．AC
B ．AD
C ．DA
D ．CA
4．若将函数f(x)＝x 5表示为f(x)＝a 0＋a 1(1＋x)＋a 2(1＋x)2＋…＋a 5(1＋x)5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则4a =（）
A ．5
B ．5-
C ．10
D ．10-
5．把语文、数学、英语、物理、化学这五门课程安排在一天的五节课中，如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种（ ）
A ．24
B ．60
C ．72
D ．120
6．曲线cos ax y e x =在0x =处的切线与直线20x y +=垂直，则a =（ ）
A ．-2
B ．2
C ．-1
D ．1
7． “a ＞0”是“|a|＞0”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．已知椭圆221112211:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线22
2222222
:1(0,0)x y C a b a b -=>>有相同的焦点12,F F ，点P 是曲线1C 与2C 的一个公共点，1e ，2e 分别是1C 和2C 的离心率，若12PF PF ⊥，则22124e e +的最小
值为( )
A ．92
B ．4
C ．52
D ．9
9．如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图（如：第三季度华为销量约占50%，苹果销量约占20%，三星销量约占30%）．根据该图，以下结论中一定正确的是（ ）
A ．华为的全年销量最大
B ．苹果第二季度的销量大于第三季度的销量
C ．华为销量最大的是第四季度
D ．三星销量最小的是第四季度
10．用反证法证明命题“平面四边形四个内角中至少有一个不大于90︒时”，应假设（ ）
A ．四个内角都大于90︒
B ．四个内角都不大于90︒
C ．四个内角至多有一个大于90︒
D ．四个内角至多有两个大于90︒
11．给出下列三个命题：(1)如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；(2)一个平面内的任意一条直线都与另一个平面不相交，则这两个平面平行；(3)一个平面内有不共线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行；其中正确命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
12．角α的终边与单位圆交于点525⎝⎭,则cos2=α（ ） A ．15 B ．-15 C ．35 D ．35
二、填空题：本题共4小题
13．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：
①从中任取3球，恰有一个白球的概率是35
； ②从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为43
； ③从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为
2627． 其中所有正确结论的序号是______ ．
14．曲线y x =3y x =-+及x 轴围成的图形的面积为__________．
15．已知点M 在圆22
(6)(4)1x y -+-=上，点P 在椭圆22
12516x y +=上，(3,0)F -，则PM PF -的最小值为__________．
16．若复数z 满足i 13i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为______．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2sin 3b A a =． （1）求角B 的大小； （2）若5a c +=，且a c >，7b =，求cos(2)A B +
18．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>左右焦点分别为1F ，2F ， ()1若椭圆C 上的点3
1,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
到1F ，2F 的距离之和为4，求椭圆C 的方程和焦点的坐标； ()2若M 、N 是C 关于()0,0对称的两点，P 是C 上任意一点，直线PM ，PN 的斜率都存在，记为PM k ，PN k ，求证：PM k 与PN k 之积为定值．
19．（6分）如图，在三棱锥V ABC -中，AB AC =，D 为BC 的中点，VO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，E 为VBC ∆的重心，已知6BC =，3VO =，1OD =，2AO =.
（1）证明：//OE 平面VAC ；
（2）求异面直线AC 与OE 所成角的余弦值；
（3）设点M 在线段VA 上，使得VM VA λ=，试确定λ的值，使得二面角A MB C --为直二面角.
20．（6分）已知椭圆22
22:1(0)C b
b x a a y +>>=的上、下焦点分别为12,F F ，上焦点1F 到直线43120x y ++=的距离为3，椭圆C 的离心率12
e =
. （1）求椭圆C 的方程； （2）椭圆22
223:116y x E a b
+=，设过点(0,1)M 斜率存在且不为0的直线交椭圆E 于,A B 两点，试问y 轴上是否存在点P ，使得(
)PA PB PM PA PB λ=+？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 21．（6分）如图,棱锥的地面
是矩形, 平面,,.
(1)求证: 平面; (2)求二面角的大小;
(3)求点到平面
的距离. 22．（8分）已知函数()ln(1)f x ax x =-+，其中a ∈R .
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）当1x >-时，()0f x ≥恒成立，求a 的值；
（3）确定a 的所有可能取值，使得对任意的0x ≥，1()1x f x e x
-≥-+恒成立.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A
【解析】
【分析】
求出从集合A 和B 中随机各取一个数x ，y 的基本事件总数，和满足点P （x ，y ）满足条件x 2+y 2≤16的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．
【详解】
∵集合A ＝B ＝{1，2，3，4，5，6}，
分别从集合A 和B 中随机各取一个数x ，y ，确定平面上的一个点P （x ，y ），
共有6×6＝36种不同情况，
其中P （x ，y ）满足条件x 2+y 2≤16的有：
（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），
（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），共8个， ∴C 的概率P （C ）82
369
==， 故选A ． 【点睛】
本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，考查了列举法计算基本事件的个数，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键． 2．A 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：由题意得，事件A =“三次抽到的号码之和为6”的概率为3
33
17
()327
A P A +==，事件,A
B 同时发生的概率为311
()327
P AB ==，所以根据条件概率的计算公式()1
()127|7()727
P AB P B A P A ===. 考点：条件概率的计算. 3．A 【解析】 【分析】
根据平面向量加法及数乘的几何意义，即可求解，得到答案． 【详解】
根据平面向量加法及数乘的几何意义，可得AB BD CD AD CD AD DC AC +-=-=+=， 故选A ． 【点睛】
本题主要考查了平面向量的加法法则的应用，其中解答中熟记平面向量的加法法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 4．B 【解析】
分析：由题意可知，()5
5
11x x ⎡⎤=+-⎣⎦，然后利用二项式定理进行展开，使之与
()()()()25
0125111f x a a x a x a x =+++++⋯++进行比较，可得结果
详解：由题可知：()()5
5
11f x x x ⎡⎤==+-⎣⎦
()()()()()()()()()()5
4
3
2
2
3
1
4
5
0123455555551111111111C x C x C x C x C x C =+++-++-++-++-+-
而()()()()25
0125111f x a a x a x a x =+++++⋯++
则1
455a C =-=-
故选B
点睛：本题主要考查了二次项系数的性质，根据题目意思，将5x 转化为()5
11x ⎡⎤+-⎣⎦是本题关键，然后运用二项式定理展开求出结果 5．B 【解析】 【分析】 【详解】
由题意,先从五节课中任选两节排数学与语文,剩余的三节任意排列,则有235
360A =种不同的排法.
本题选择B 选项. 6．B 【解析】
分析：先求导，然后根据切线斜率的求法得出切线斜率表达式，再结合斜率垂直关系列等式求解即可.
详解：由题可知：'cos sin x ax
y ae x e x =-⇒切线的斜率为：,k a =由切线与直线20x y +=垂直，故
1
()122
a a ⋅-=-⇒=，故选B.
点睛：考查切线斜率的求法，直线垂直关系的应用，正确求导是解题关键，注意此题导数求解时是复合函数求导，属于中档题. 7．A 【解析】
试题分析：本题主要是命题关系的理解，结合|a|＞0就是{a|a≠0}，利用充要条件的概念与集合的关系即可判断．
解：∵a ＞0⇒
|a|＞0，|a|＞0⇒a ＞0或a ＜0即|a|＞0不能推出a ＞0， ∴a ＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件 故选A
考点：必要条件． 8．A 【解析】 【分析】
题意设焦距为2c ，椭圆长轴长为2a 1，双曲线实轴为2a 2，令P 在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出a 12+a 22=2c 2，由此能求出4e 12+e 22的最小值．
【详解】
由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，令P在双曲线的右支上，
由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2a2，①
由椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a1，②
又∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2+|PF2|2=4c2，③
①2+②2，得|PF1|2+|PF2|2=4a12+4a22，④
将④代入③，得a12+a22=2c2，
∴4e12+e22=
22
22
12
4c c
a a
+=
5
2
+
2
2
2
1
2a
a
+
2
1
2
2
2
a
a
≥
5
2
+2=
9
2
．
故选A．
【点睛】
在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 9．A
【解析】
【分析】
根据图象即可看出，华为在每个季度的销量都最大，从而得出华为的全年销量最大，从而得出A正确；由于不知每个季度的销量多少，从而苹果、华为和三星在哪个季度的销量大或小是没法判断的，从而得出选项B，C，D都错误．
【详解】
根据图象可看出，华为在每个季度的销量都最大，所以华为的全年销量最大；
每个季度的销量不知道，根据每个季度的百分比是不能比较苹果在第二季度和第三季度销量多少的，同样不能判断华为在哪个季度销量最大，三星在哪个季度销量最小；B
∴，C，D都错误，故选A．
【点睛】
本题主要考查对销量百分比堆积图的理解．
10．A
【解析】
【分析】
对于“至少一个不大于”的否定为“全都大于”，由此得到结果.
【详解】
“平面四边形四个内角中至少有一个不大于90︒”的否定形式为：“平面四边形四个内角中都大于90︒”，
即反证法时应假设：四个内角都大于90︒ 本题正确选项：A 【点睛】
本题考查反证法的假设，关键是明确至少问题的否定的形式，属于基础题. 11．B 【解析】 【分析】
根据面面平行的位置关系的判定依次判断各个命题的正误，从而得到结果. 【详解】
（1）若一个平面内有无数条互相平行的直线平行于另一个平面，两个平面可能相交，则（1）错误； （2）平面内任意一条直线与另一个平面不相交，即任意一条直线均与另一个平面平行，则两个平面平行，（2）正确；
（3）若不共线的三点中的两点和另一个点分别位于平面的两侧，此时虽然三点到平面距离相等，但两平面相交，（3）错误. 本题正确选项：B 【点睛】
本题考查面面平行相关命题的辨析，考查学生的空间想象能力，属于基础题. 12．D 【解析】 【分析】
根据三角函数的定义，求得cos α=，再由余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】
由题意，角α的终边与单位圆交于点⎝⎭
,1=，
由三角函数的定义，可得cos α=，则223
cos 22cos 1215
αα=-=⨯-=-， 故选D. 【点睛】
本题主要考查了三角函数的定义，以及余弦的倍角公式的化简、求值，其中解答中熟记三角函数的定义，以及余弦的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题 13．①②③
【解析】
分析：①所求概率为1224
36
C C C ，计算即得结论；
②利用取到红球次数2
63X B ～（，） 可知其方差为224
6(1)333⋅
⋅-= ；③通过每次取到红球的概率23
P = 可知所求概率为3
2
261(1)3
27
--=
． 详解：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是12243
63
5
C C C =，故正确； ②从中有放回的取球6次，每次任取一球，
取到红球次数2
63X B ～（，），其方差为224
6(1)333
⋅
⋅-=，故正确； ③从中有放回的取球3次，每次任取一球，每次取到红球的概率2
3
P =， ∴至少有一次取到红球的概率为3
226
1(1)3
27
--=，故正确． 故答案为：①②③．
点睛：本题主要考查命题的真假判断，涉及概率的计算，考查学生的计算能力． 14．
103
【解析】 【分析】
首先利用定积分表示封闭图形的面积，然后计算定积分即可． 【详解】
由曲线y x =3y x =-+及x 轴围成的图形的面积为
()13
322
01
134********.013233xdx x dx x x x ⎛⎫+-+=+-+=+= ⎪⎝⎭⎰⎰ 即答案为
10
3
. 【点睛】
本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积；关键是正确利用定积分表示所求面积． 15．6- 【解析】
分析：根据题意，
详解：
根据题意，当,,P C F '三点共线时
PM PF -.()1211115116PM PF PC a PF PF PF CF -==---=+-≥-=-''=-'
点睛：本题考查椭圆的定义，看出最小值IDE 求法，属难题. 16．3 【解析】 【分析】
由复数除法求得复数z ，再求得复数实部． 【详解】 由题意可得13(3)3i
z i i i
+==--=-，所以z 的实部为3，填3. 【点睛】
本题主要考查复数的除法以及复数的实部辨析，属于简单题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）B 3
π
=（2）1114
-
【解析】 【分析】
（1）根据正弦定理即可得角A
（2）根据余弦定理以及两角和与差的余弦即可得． 【详解】
解：（1）在△ABC 中，由2sin 3b A a =， 根据正弦定理得：2sin sin 3B A A =， ∵sin 0A ≠（A 为锐角）， ∴3sin 2
B =
． ∴由B 为锐角，可得B 3
π
=
．
（2）∵a c 5+=，①7b =
∴利用余弦定理：2222cos b a c ac B =+-，可得：2
2
2
7()3a c ac a c ac =+-=+-，解得：6ac =，
②
∴由①②联立即可解得：23c a =⎧⎨
=⎩，或3
2c a =⎧⎨=⎩
（由a c >，舍去），
∴222cos 2b c a A bc +-===
sin 14A ==
，sin 22sin cos A A A ==
，2
13cos 22cos 114A A =-=-，
∴1
11311
cos(2)cos 2cos 2sin 232221421414
A B A A A π⎛
⎫⎛⎫+=+=-=⨯--=- ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭． 【点睛】
本题主要考查了解三角形的相关问题，在解决此类问题时通常结合正弦定理、余弦定理、以及两角和与差的余弦、正弦即可解决．
18．()122
143
x y +=，焦点()11,0F -，()21,0F ；()2证明见解析.
【解析】 【分析】
()1先根据点A 到到1F ，2F 的距离之和求得a ，再把A 点代入椭圆方程求得b ，则可得c ，进而求得椭圆
的方程和焦点坐标；
()2设点M 的坐标为(),m n ，根据点的对称性求得N 的坐标，代入椭圆方程设出点P 的坐标，利用斜率
公式分别表示出PM 和PN 的斜率，求得二者乘积的表达式，把式子代入结果为常数，原式得证. 【详解】
解：()1椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上点A 到到1F ，2F 的距离之和为4， 得24a =，即2a =. 点31,
2A ⎛⎫
⎪⎝⎭
在椭圆上， ∴ 2
223121
a b
⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，得23b =，则21c =. ∴椭圆C 的方程为22143x y +=，焦点为()11,0F -，()21,0F .
()2设点M (),m n ，则点(),N m n --，其中22
143
m n +=.。