高中数学一元二次函数方程和不等式知识总结例题

(每日一练)高中数学一元二次函数方程和不等式知识总结例题
单选题
1、若实数x >3
2，y >1
3，不等式4x 2
t (3y−1)+9y 2
t (2x−3)≥2恒成立，则正实数t 的最大值为（ ） A ．4B ．16C ．7
2D ．8
答案：D
分析：令3y −1=a,2x −3=b ，则(b+3)2
a
+(a+1)2
b
≥2t ，由权方和不等式和基本不等式得(b+3)2
a
+(a+1)2
b
≥16，
即可求解t ≤8．
由4x 2
t (3y−1)+9y 2
t (2x−3)≥2得4x 2
(3y−1)+9y 2
(2x−3)≥2t 因为x >3
2
，y >1
3
，则3y −1>0,2x −3>0
令3y −1=a,2x −3=b
则4x 2
(3y−1)+9y 2
(2x−3)≥2t 化为
(b+3)2
a
+(a+1)2
b
≥2t 恒成立，
由权方和不等式得
(b+3)2
a
+
(a+1)2
b
≥
(a+b+4)2
a+b
=(a +b )+
16a+b
+8≥2√16+8=16
当且仅当{
b+3
a
=
a+1b
a +
b =4
，得a =53,b =73即x =73,y =109
时等号成立．
所以16≥2t ⇒t ≤8 故选：D
2、若关于x 的不等式|x −1|<a 成立的充分条件是0<x <4，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(－∞，1]B ．(－∞，1)
C ．(3，＋∞)
D ．[3，＋∞) 答案：D
分析：根据充分条件列不等式，由此求得a 的取值范围. |x −1|<a 成立的充分条件是0<x <4，则a >0， |x −1|<a ⇒1−a <x <1+a ，所以{1−a ≤01+a ≥4
⇒a ≥3.
故选：D
3、已知0<x <2，则y =x√4−x 2的最大值为（ ） A ．2B ．4C ．5D ．6 答案：A
分析：由基本不等式求解即可 因为0<x <2， 所以可得4−x 2>0，
则y =x√4−x 2
=√x 2
⋅(4−
x 2)
≤
x 2+(4−x 2)
2
=2，
当且仅当x 2=4−x 2，即x =√2时，上式取得等号， y =x√4−x 2的最大值为2． 故选：A ．
4、若x >1，则x +1
x−1的最小值等于（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D
分析：将x +1
x−1变形为x −1+1
x−1+1，即可利用均值不等式求最小值.
因为x >1，所以x −1>0，因此x +
1x−1
=x −1+
1x−1
+1≥2√(x −1)⋅
1x−1
+1=3,当且仅当x −1=
1
x−1
，即
x =2时，等号成立，所以x +1
x−1的最小值等于3. 故选：D.
5、已知正数x ，y 满足2
x+3y +1
3x+y =1，则x +y 的最小值（ ）
A ．
3+2√24B ．3+√24C ．3+2√28D ．3+√2
8
答案：A
分析：利用换元法和基本不等式即可求解. 令x +3y =m ，3x +y =n ，则2
m
+1
n =1，
即m +n =(x +3y )+(3x +y )=4(x +y )，
∴x +y =
m+n 4
=(m 4+n 4)(2m +1n )=12+m 4n +2n 4m +14≥2√m 4n ⋅2n 4m +3
4
=22
√
2
3
4=2√2+34
， 当且仅当m
4n =2n
4m ，即m =2+√2，n =√2+1时，等号成立， 故选：A.
6、若“﹣2<x <3”是“x 2
+mx ﹣2m 2
<0（m >0）”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ≥1B ．m ≥2C ．m ≥3D ．m ≥4 答案：C
分析：x 2
+mx ﹣2m 2
<0（m >0），解得﹣2m <x <m .根据“﹣2<x <3”是“x 2
+mx ﹣2m 2
<0（m >0）”的充分不必要条件，可得﹣2m ≤﹣2，3≤m ，m >0.解出即可得出. 解：x 2
+mx ﹣2m 2
<0（m >0），解得﹣2m <x <m .
∵“﹣2<x <3”是“x 2
+mx ﹣2m 2
<0（m >0）”的充分不必要条件，
∴﹣2m ≤﹣2，3≤m ，(两个等号不同时取)m >0. 解得m ≥3.
则实数m 的取值范围是[3，+∞）. 故选：C.
7、不等式1+5x −6x 2>0的解集为（ ）
A ．{x|x >1或x <−16
}B ．{x |−1
6
<x <1 }
C ．{x|x >1或x <−3}
D ．{x |−3<x <2 } 答案：B
分析：解一元二次不等式，首先确保二次项系数为正，两边同时乘−1，再利用十字相乘法，可得答案， 法一：原不等式即为6x 2−5x −1<0，即(6x +1)(x −1)<0，解得−1
6<x <1，故原不等式的解集为
{x |−1
6
<x <1 }．
法二：当x =2时，不等式不成立，排除A ，C ；当x =1时，不等式不成立，排除D ． 故选：B ．
8、已知实数a,b 满足a +b =ab (a >1,b >1)，则(a −1)2+(b −1)2的最小值为( ) A ．2B ．1C ．4D ．5 答案：A
分析：将a -1和b -1看作整体，由a +b =ab (a >1,b >1)构造出(a −1)(b −1)=1，根据(a −1)2+(b −1)2≥2(a −1)(b −1)即可求解．
由a +b =ab (a >1,b >1)得a +b −ab −1=−1，因式分解得(a −1)(b −1)=1， 则(a −1)2+(b −1)2≥2(a −1)(b −1)=2，当且仅当a =b =2时取得最小值． 故选：A ．
9、已知x >0，y >0，x +2y =1，则1x
+1
y
的最小值为（ ）
A ．3+2√2
B ．12
C ．8+4√3
D ．6 答案：A
分析：根据基本不等中“1”的用法，即可求出结果. 因为x >0，y >0，x +2y =1， 所以(1
x
+1
y )(x +2y)=3+
2y x
+x
y
≥3+2√2，
当且仅当2y x =x y ，即x =√2−1,y =2−√22
时，等号成立.
故选：A.
10、已知x >2，则x +4
x−2的最小值为（ ） A ．6B ．4C ．3D ．2 答案：A
分析：利用基本不等式可得答案. ∵x >2，∴x −2>0，
∴x +4
x−2= x −2+4
x−2+2≥2√(x −2)⋅4
x−2+2＝6， 当且仅当x −2=
4
x−2
即x =4时， x +
4
x−2
取最小值6，
故选：A ． 填空题
11、若实数a >b ，则下列说法正确的是__________．
（1）a +c >b +c ；（2）ac <bc ；（3）1
a
<1
b ；（4）a 2>b 2
答案：（1）
分析：根据不等式的性质以及特殊值验证法，对四个说法逐一分析，由此确定正确的说法. 根据不等式的性质（1）正确； （2）中如果c ≥0时不成立，故错误；
（3）若a =1,b =−1时，1
a <1
b 不成立，故错误； （4）若a =1,b =−1，a 2>b 2不成立，故错误. 故答案为:（1）
小提示：本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.
12、已知x >0,y >0且1
2x+1+1
y+1=1，则x +y 的最小值为___________. 答案：√2
分析：令a =2x +1，b =y +1，将已知条件简化为1
a +1
b =1；将x +y 用a,b 表示，分离常数，再使用“乘1法”转化后利用基本不等式即可求得最小值．
解：令a =2x +1，b =y +1，因为x >0,y >0，所以a >1,b >1，
则x =
a−12
，y =b −1，所以1a +1
b =1,
所以x +y =
a−12
+b −1=a 2+b −32=(a 2+b)(1a +1b )−3
2
=12
+1+b a
+
a 2b
−32
=b
a
+
a 2b
≥2√b
a
×
a 2b
=√2，
当且仅当{b a =a
2b 1
a
+1
b =1
，即b =2+√22
，a =√2+1，即x =y =√22
时取“=”，
所以x +y 的最小值为√2. 所以答案是：√2.
13、若不等式x 2−2>mx 对满足|m |≤1的一切实数m 都成立，则x 的取值范围是___________
答案：x<−2或x>2
分析：令f(m)=mx−x2+2，依题意可得−1≤m≤1时f(m)<0恒成立，则{f(1)<0
f(−1)<0，即可得到关于x的一元二次不等式组，解得即可；
解：因为x2−2>mx，所以mx−x2+2<0
令f(m)=mx−x2+2，即f(m)<0在|m|≤1恒成立，即−1≤m≤1时f(m)<0恒成立，所以{f(1)<0
f(−1)<0，
即{x−x2+2<0
−x−x2+2<0
，解x−x2+2<0得x>2或x<−1；解−x−x2+2<0得x>1或x<−2，所以原不等
式组的解集为x∈(−∞,−2)∪(2,+∞)
所以答案是：(−∞,−2)∪(2,+∞)
14、关于x的不等式x2−4x+4a≥a2在[1,6]内有解，则a的取值范围为________．
答案：[−2,6]
分析：根据不等式有解可得当x∈[1,6]时，a2−4a≤(x2−4x)max，结合二次函数的最值可求得结果.
∵x2−4x+4a≥a2在[1,6]内有解，∴a2−4a≤(x2−4x)max，其中x∈[1,6]；
设y=x2−4x(1≤x≤6)，则当x=6时，y max=36−24=12，
∴a2−4a≤12，解得：−2≤a≤6，∴a的取值范围为[−2,6].
所以答案是：[−2,6].
15、已知关于x的不等式ax2+bx+c>0(a,b,c∈R)的解集为{x|3<x<4}，则c2+5
a+b
的取值范围为
________________．
答案：[4√5,+∞)
分析：由一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，应用韦达定理把b,c用a表示，化待求式为一元函数，再利用基本不等式得结论．
由不等式解集知a<0，由根与系数的关系知{−b
a
=3+4=7, c
a
=3×4=12,
∴b=−7a,c=12a，则c2+5
a+b =144a2+5
−6a
=−24a+5
−6a
≥2√(−24a)×5
−6a
=4√5，
当且仅当−24a=5
−6a ，即a=−√5
12
时取等号．
所以答案是：[4√5,+∞)．
小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
16、已知正数a,b,c，则ab+bc
2a2+b2+c2
的最大值为_________．
答案：√6
4
分析：将分母变为(2a2+1
3b2)+(2
3
b2+c2)，分别利用基本不等式即可求得最大值.
∵ab+bc
2a2+b2+c2=ab+bc
(2a2+1
3
b2)+(2
3
b2+c2)
≤
2√2
3
ab+2√2
3
bc
=
2√2
3
=√6
4
（当且仅当√2a=√3
3
b，√6
3
b=c时取等号），
∴ab+bc
2a2+b2+c2的最大值为√6
4
.
所以答案是：√6
4
.
17、若正数a，b满足2a+b=1，则a
2−2a +b
2−b
的最小值是__．
答案：2√2
3−1
2
分析：设u=2−2a,v=2−b，得到a+b=1+2−3=1(u+v)(1+2)−3，结合基本不等式，即可求解.
设u =2−2a,v =2−b ，则a =
2−u 2
,b =2−v ，可得u +v =3(u,v >0)，
所以a 2−2a +b
2−b =
1−12
u u
+
2−v v
=1u +2v −32=13(u +v)(1u +2v )−3
2
=13
(3+v
u
+
2u v
)−32
≥1
3
(3+2√v
u
⋅
2u v
)−32
=1+2√23
−32
=2√23
−12
，
当且仅当v =6−3√2,u =3√2−3时，等号成立，取得最小值．
所以答案是：
2√23
−1
2．
18、已知实数x 、y 满足−2≤x +2y ≤3，−2≤2x −y ≤0，则3x −4y 的取值范围为______． 答案：[−7,2]
分析：设3x −4y =m(x +2y)+n(2x −y)，利用待定系数法求出m,n 的值，然后根据不等式的性质即可求解. 解：设3x −4y =m(x +2y)+n(2x −y)，则{m +2n =32m −n =−4 ，解得{m =−1n =2
，
所以3x −4y =−(x +2y)+ 2(2x −y)， 因为−2≤x +2y ≤3，−2≤2x −y ≤0， 所以−3≤−(x +2y)≤2，−4≤2(2x −y)≤0， 所以−7≤3x −4y ≤2， 所以答案是：[−7,2].
19、若x,y ∈R +，(x −y)2=(xy)3，则1
x +1
y 的最小值为___________. 答案：2
分析：根据题中所给等式可化为(1
y −1
x )2=xy ，再通过平方关系将其与1
x +1
y 联系起来，运用基本不等式求解最小值即可.
因为(x −y)2=(xy)3且x,y ∈R +，则两边同除以(xy)2，得(1
y −1
x )2=xy ，
又因为(1
x +1
y
)2=(1
y
−1
x
)2+41
xy
=xy+41
xy
≥2√xy⋅41
xy
=4，当且仅当xy=41
xy
，即x=2+√2,y=2−√2
时等号成立，所以1
x +1
y
≥√4=2.
故答案为:2
20、若方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解，则m的取值范围是__________．
答案：{m|m≥9或m≤1}
分析：根据一元二次方程根的判别式，结合解一元二次不等式的方法进行求解即可.
由方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解，
∴Δ＝(m－3)2－4m≥0，
即m2－10m＋9≥0，
∴(m－9)(m－1)≥0，
∴m≥9或m≤1.
所以答案是：{m|m≥9或m≤1}
解答题
21、已知a，b都是正数．
(1)若a+b=1−2√ab，证明：b√a+a√b≥4ab；
(2)当a≠b时，证明：a√a+b√b>b√a+a√b．
答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
分析：（1）根据a+b=1−2√ab可得√a+√b=1，再结合b√a+a√b
ab
化简，利用基本不等式证明即可（2）根据证明的不等式逆推即可
11
（1）
证明：由a +b =1−2√ab ，得(√a +√b)2=1，即√a +√b =1
b √a+a √b ab =√ab(√b+√a)ab =√a √b (√a √b )(√a +√b)=2+√b √a √a
√b ≥2+2√√b
√a √a √b =4， 当且仅当a =b =1
4时“=”成立．
所以b √a +a √b ≥4ab ．
（2）
要证a √a +b √b >b √a +a √b ，
只需证√a(a −b)−√b(a −b)>0，
即证(√a −√b)(a −b)>0，
即证(√a −√b)2(√a +√b)>0，
因为(√a −√b)2>0,√a +√b >0，所以上式成立， 所以a √a +b √b >b √a +a √b 成立．
22、实数a 、b 满足-3≤a +b ≤2，-1≤a -b ≤4.
(1)求实数a 、b 的取值范围；
(2)求3a -2b 的取值范围．
答案：(1)a ∈[-2,3]，b ∈[-72,32]
(2)[-4,11]
分析：（1）由a =12[(a +b )+(a -b)]，b =12[(a +b )-(a -b)]根据不等式的性质计算可得；
（2）求出3a -2b =12(a +b )+52(a -b )，再利用不等式的性质得解. （1）
12 解：由-3≤a +b ≤2，-1≤a -b ≤4，
则a =12
[(a +b )+(a -b)]，所以-4≤(a +b )+(a -b)≤6，所以-2≤12[(a +b )+(a -b)]≤3，即-2≤a ≤3， 即实数a 的取值范围为[-2,3]．
因为b =12[(a +b )-(a -b)]，
由-1≤a -b ≤4，
所以-4≤b -a ≤1，所以-7≤(a +b )-(a -b)≤3， 所以-72≤12[(a +b )-(a -b)]≤32，
∴-72≤b ≤32，
即实数b 的取值范围为[-72,32]．
（2）
解：设3a -2b =m (a +b )+n(a -b)=(m +n )a +(m -n)b ， 则{m +n =3m -n =-2 ，解得{m =12
n =52
，
∴3a -2b =12(a +b )+52(a -b )，
∵-3≤a +b ≤2，-1≤a -b ≤4．
∴-32≤12(a +b )≤1，-52≤52(a -b )≤10，
∴-4≤3a -2b ≤11，
即3a -2b 的取值范围为[-4,11]．。