2014年西城13分八年级第十七章 勾股定理(章节复习)

第十七章 勾股定理
勾股定理-揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。

（1）勾股定理：______________________________________________ 使用格式：∵△ABC 中，∠____=____° ∴a 2
＋b 2
＝c 2
（2）勾股定理的常见证明方法
（3）勾股定理的几何意义及其推广
i 以直角三角形的三边为边向形外作正方形，则有S 1＋S 2______ S 3;
ii 以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形或等腰直角三角形或半圆等， 仍有S 1＋S 2______ S 3. （4）勾股定理的应用
（1） 已知直角三角形任意两边的长，利用勾股定理可求出第三边长； （2） 知道直角三角形某一边长，可得另两边之间的数量关系；
（3） 可运用勾股定理解决一些实际问题，如与矩形有关的轴对称问题； （4） 勾股定理可以证明线段相等。

知识点1：利用勾股定理求线段长的简单应用
例1、 如图所示,图中所有三角形是直角三角形, 所有四边形是正方有形,
,则=_________.
例2、 已知△ABC 是直角三角形，AC =3，BC =5， 求AB 的长.
例3、 已知在△ABC 中，,,a b c 分别是A ∠、B ∠，C ∠的对边，且
3,4a b ==，且b c <。

若c 为整数，则c =
例4、△ABC 中，若AB=15，AC =13, BC 边上的高AD ＝12, 则BC =__________. 知识点2勾股定理与直角三角形其他性质的运用 1.直角三角形的性质：
角的关系：直角三角形两锐角互余. 边的关系：直角三角形斜边大于直角边.
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.（注意逆命题的使用）
边角关系：直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半. 2. 双垂图：双垂图中的线段、角的关系.
3.（1）含有30°的直角三角形的三边的比为：1：2:3. （2）含有45°的直角三角形的三边的比为：2:1:1.
（3）等边三角形的边长为a ，则高为
23a ，面积为2
4
3a . 例5.如图，在△ABC 中，∠B=30°, ∠BAC=105°,AB=8.求BC 的长。

,144,931==s s 1694=s 2s
b 105︒
8
A
☆例6.已知△ABC 中，∠B=60°，∠C=45° AC －AB=26- ，求BC 的长。

例7. 一块四边形的土地，其中，，
，，
知识点3、勾股定理的逆定理
(1) 勾股定理逆定理：___________________________________________________________ 使用格式：
∵△ABC 中，a 2
＋
b 2
＝c 2 ∴∠____=____°
(2).直角三角形的判定
①有_______________的三角形是直角三角形
②若______________________，则这个三角形是直角三角形。

(注: 可利用勾股定理的逆定理进行证明垂直关系) 例8. 下列长度的线段中,可以构成直角三角形的是( )． A. 13,16,19 B. 17,21,21
C.18,24,36
D. 12,35,37
例9．已知三角形的三边长为n 、n ＋1、m (其中m 2＝2n ＋1)，则此三角形( )．
(A)一定是等边三角形 (B)一定是等腰三角形 (C)一定是直角三角形 (D)形状无法确定
例10．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断三角形的形状．
例11．如图△ABC 中，∠C =90°，M 是CB 的中点，MD ⊥AB 于D ， 请说明三条线段AD 、BD 、AC 总能构成一个直角三角形。

知识点4、勾股定理在折叠中的应用
例12、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5cm ，在边CD 上适当选定一点E ，沿直
线AE 把△ADE 折叠，使点D 恰好落在边BC 上一点F 处，且△ABF 的面积是30cm 2．则AD=__________cm ，CE=____________cm.
例13．已知: 如图, 矩形ABCD , M 、N 分别为AB 、CD 的中点, 将A 点折叠至MN 上, 落在A' 点的位置, 折痕为BE . (1) 求∠ABE 的度数;
120ABC ∠=︒AB AD ⊥BC CD ⊥AB =CD =b C
B D
M
N E
A'
A
(2) 连结EN 、BN , 若EN ⊥BE , BN
求矩形ABCD 的周长.
知识点5、勾股定理在实际问题中的应用
例14、如图将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是为hcm ，则h 的取值范围是___________.
例15.如图，有一个圆柱，它的高等于12
厘米，底面半径等于3厘米．在圆柱的
下底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A
点相对的C 点处的食物，需爬行 的最短路程是多少?(π取3)
例16 有一块如图的木板，经过适当的剪切后，可拼成一块正方形板材，请在图中画出剪切线，并把剪切后的板材拼成的一个面积最大的正方形在图中画出（保留剪切痕迹，不写画法）
知识点6、勾股定理在坐标系中的应用
1.平面直角坐标系中，点P(x,y)到原点的距离是______________;
2. 平面直角坐标系中，两点P 1(x 1,y 1)和P 2(x 2,y 2)的距离是_________________.
例17、已知，如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为 ． 巩固练习
1. 在下列以线段a ，b ，c 的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是( )
A. a=9,b=41,c=40
B. a=5,b=5,25c
C. a:b:c=3:4:5
D. a=11,b=12,c=15 2. 下列三角形中是直角三角形的有( ).
（1） 三边长为m 2
＋n 2
、 mn 、 m 2
－n 2
（m ＞n ＞0）； （2） 三边长之比为 1∶1∶2；
（3） 三边长为a 、 b 、 c ，满足a 2
－b 2
＝c 2
． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
3. 若△ABC 中，直角边AB 、AC 的长分别为9、12，则BC 边上的高是( ). A. 15 B. 7.5 C.7.2 D. 以上都不对
C
D
4．直角三角形的周长为12,斜边长为5,则三角形面积为( ).
A.12
B. 10
C. 8
D. 6 5.如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，BC=4cm ，CD=12cm ，DA=13cm ， 且∠ABC=90°，则四边形ABCD 的面积是( ).
A. 84
B. 36
C.
51
D. 无法确定
A ．12cm
B ．
C ．15cm
D ．
cm
7. 三角形的两边长分别为13和5，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长是_____________. 8. △ABC 中，AB=10，BC=16，BC 边上的中线AD=6，则AC=____________.
9. 如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =4，将矩形沿AC 折叠，点D 落在点D'处，则重叠部分△AFC 的面积=__________.
10、若一个直角三角形有两边满足方程x 2－7x+12=0，则斜边长为_____________
11、 已知：△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，
BC=1
2
AD ,DB=2cm ,则BC=_____cm, AB=______cm, AC=______cm.
12、 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为AC 上一点，且DA=DB=5，又△DAB 的面积为10，那么DC 的长______
13、 已知：△ABC 中，AB=16，AC=14，BC=6，求△ABC 的面积。

14若△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c ， 则此三角形的形状为_____________
15、如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC 中，点D 为AB 的中点，则线段CD 的长为 。

16．如图，在55⨯的正方形网格中，以AB 为边画直角△ABC ， 使点C 在格点上，这样的点C 共 个．
17. 如图1，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且
，点A 处有一
所中学，AP =160m 。

假设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受到影响，那么拖拉
机在公路
MN 沿PN
方向行驶时，学校是否会受到噪声的影响？请说明理由。

如果受影响，那么学校受影响的时间为多少长？（已知拖拉机的速度为18km/h ）。

30QPN ∠=︒
C
B
D
A
∆中，D是BC的中点，18．已知：如图，ABC Array∆的面积及B到=AD
AC
AB，求：BC的长，ABC
4=
3
,3
2
=
,3
AC的距离.。