2021年北京市中考数学一轮复习课时训练(21) 等腰三角形

课时训练(二十一)等腰三角形
夯实基础
1.若等腰三角形的顶角为40°,则它的底角度数为()
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
2.如图K21-1,AB∥CD,AC的垂直平分线交CD于点F,交AC于点E,连接AF.若∠BAF=80°,则∠CAF的度数为()
图K21-1
A.40°
B.50°
C.60°
D.80°
3.已知△ABC是等边三角形,边长为4,则BC上的高是()
A.4
B.2√3
C.2
D.√3
4.如图K21-2,已知等腰三角形ABC,AB=AC,若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是()
图K21-2
A.AE=EC
B.AE=BE
C.∠EBC=∠BAC
D.∠EBC=∠ABE
5.如图K21-3,在△ABC中,AB=BC=√3,∠BAC=30°,分别以点A,C为圆心,AC的长为半径作弧,两弧交于点D,连接DA,DC,则四边形ABCD的面积为()
图K21-3
A.6√3
B.9
C.6
D.3√3
6.在等腰三角形ABC中,AB=AC,其周长为20 cm,则AB长的取值范围是()
A.1 cm<AB<4 cm
B.5 cm<AB<10 cm
C.4 cm<AB<8 cm
D.4 cm<AB<10 cm
7.如图K21-4,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=20°,则∠C=°.
图K21-4
8.[2020·海淀区二模]如图K21-5,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=120°,过点B作BD⊥BC,交AC于点D,若AD=1,则CD的长度为.
图K21-5
9.如图K21-6,△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠BAC=45°,点D在AC边上,将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD',且D',D,B三点在同一直线上,则∠ABD的度数是.
图K21-6
10.[2019·顺义区二模]如图K21-7,在△ABC中,AD平分∠BAC,BD⊥AD,点E是BC的中点,连接DE,若AB=6,AC=10,则DE=.
图K21-7
11.[2020·朝阳区一模]如图K21-8,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AC于点E.
求证:∠BAD=∠CDE.
图K21-8
12.[2020·房山区二模]如图K21-9,在△ABC中,BD平分∠ABC交AC于点D,DE∥AB交BC于点E,F是BD中点.求证:EF平分∠BED.
图K21-9
13.如图K21-10,在等边三角形ABC中,点E是边AC上一定点,点D是直线BC上一动点,以DE为一边作等边三角形DEF,连接CF.
(1)如图①,若点D在边BC上,求证:CE+CF=CD.
(2)如图②,若点D在边BC的延长线上,请探究线段CE,CF与CD之间存在怎样的数量关系?并说明理由.
图K21-10
拓展提升
14.如图K21-11,在直线AP上方有一个正方形ABCD,∠P AD=30°,以点B为圆心,AB长为半径作弧,与直线AP交于点A,M,分别以点A,M为圆心,AM长为半径作弧,两弧交于点E,连接ED,则∠ADE的度数为.
图K21-11
15.[2020·燕山地区二模]如图K21-12,已知菱形ABCD中,∠A=60°,点E为边AD上一个动点(不与点A,D重合),点F在边DC上,且AE=DF,将线段DF绕着点D逆时针旋转120°得线段DG,连接GF,BF,EF.
(1)依题意补全图形;
(2)求证:△BEF为等边三角形;
(3)用等式表示线段BG,GF,CF的数量关系,并证明.
图K21-12
【参考答案】
1.D
2.B
3.B
4.C [解析]∵△ABC 是等腰三角形,AB =AC ,∴∠ABC =∠ACB.又∵BC =BE ,∴∠ACB =∠BEC ,∴∠BAC =∠EBC ,因此选C .
5.D [解析] ∵分别以点A ,C 为圆心,AC 的长为半径作弧,两弧交于点D ,∴AD =AC =CD ,∴△ACD 是等边三角形,∴∠DAC =60°.
∵AB =BC ,AD =CD ,连接BD 交AC 于点E ,∴BD 垂直平分AC ,∴∠AEB =90°.
∵∠BAC =30°,AB =√3,∴BE =√32
,AE =32
,∴AC =3.
在Rt △ADE 中,∵∠DAC =60°,∠AED =90°,AE =32
,
∴DE =32 √3,∴BD =3
2 √3+
√3
2
=2√3, ∴四边形ABCD 的面积为1
2×2√3×3=3√3.
6.B [解析]∵在等腰三角形ABC 中,AB =AC ,其周长为20 cm,∴设AB =AC =x cm,则BC =(20-2x )cm, 则{2x >20-2x ,
20-2x >0,
解得5<x <10.故选B .
7.40 [解析] ∵AB =AD =DC ,∴∠ABD =∠ADB ,∠DAC =∠C ,∵∠BAD =20°,∴∠ADB =
180°-20°
2
=80°.
又∵∠ADB =∠DAC +∠C ,∴∠C =12
∠ADB =40°. 8.2 [解析] ∵BD ⊥BC ,∴∠CBD =90°, ∴∠ABD =∠ABC -∠CBD =120°-90°=30°, ∵AB =BC ,∠ABC =120°,∴∠A =∠C =30°, ∴∠A =∠ABD ,∴DB =AD =1,
在Rt △CBD 中,∵∠C =30°,∴CD =2BD =2.
9.22.5° [解析]根据题意可知△ABD ≌△ACD', ∴∠BAC =∠CAD'=45°,AD'=AD ,
∴∠ADD'=∠AD'D =180°-45°
2
=67.5°,∵D',D ,B 三点在同一直线上,∴∠ABD =∠ADD'-∠BAC =22.5°.
10.2 [解析]如图,延长BD 与AC 相交于点F .
∵AD 平分∠BAC ,BD ⊥AD ,
∴∠DAB =∠DAF ,∠ADB =∠ADF =90°, 又∵AD =AD ,∴△ADB ≌△ADF , ∴AF =AB ,BD =DF . ∵AB =6,AC =10,
∴CF =AC -AF =AC -AB =10-6=4. ∵E 为BC 的中点,D 为BF 的中点, ∴DE 是△BCF 的中位线, ∴DE =1
2CF =1
2×4=2. 故答案为:2.
11.证明:∵AB =AC ,∴∠B =∠C. ∵AD ⊥BC ,∴∠ADB =90°. ∴∠BAD +∠B =90°. ∵DE ⊥AC ,∴∠DEC =90°. ∴∠CDE +∠C =90°.
∴∠BAD=∠CDE.
12.证明:∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,
∵DE∥AB,
∴∠ABD=∠BDE,
∴∠BDE=∠CBD,
∴EB=ED,
又∵F是BD中点,
∴EF平分∠BED.
13.解:(1)证明:在CD上截取CH=CE,连接EH,如图①所示.
∵△ABC是等边三角形,∴∠ECH=60°,
∴△CEH是等边三角形,
∴EH=EC=CH,∠CEH=60°,
∵△DEF是等边三角形,∴DE=FE,∠DEF=60°,
∴∠DEH+∠HEF=∠FEC+∠HEF=60°,
∴∠DEH=∠FEC.
在△DEH和△FEC中,
{DE=FE,
∠DEH=∠FEC,
EH=EC,
∴△DEH≌△FEC(SAS),
∴DH=CF,
∴CD=CH+DH=CE+CF,
∴CE+CF=CD.
(2)线段CE,CF与CD之间的等量关系是FC=CD+CE.理由如下:∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=60°,
过D作DG∥AB,交AC的延长线于点G,如图②所示.
∵GD∥AB,∴∠GDC=∠B=60°,∠DGC=∠A=60°,
∴∠GDC=∠DGC=60°,∴△GCD为等边三角形,
∴DG=CD=CG,
∵△EDF为等边三角形,
∴ED=DF,∠EDF=∠GDC=60°,∴∠EDG=∠FDC.
在△EGD和△FCD中,
{ED=DF,
∠EDG=∠FDC,
DG=CD,
∴△EGD≌△FCD(SAS),
∴EG=FC,∴FC=EG=CG+CE=CD+CE.
14.15°或45°[解析]因为∠P AD=30°,四边形ABCD是正方形,以点B为圆心,AB长为半径作弧,与直线AP交于点A,M,所以∠BAM=60°,△BAM是等边三角形;
分别以点A,M为圆心,AM长为半径作弧,交点有两个,分别为E1(与点B重合),E2.
①由题意△AME2是等边三角形,所以∠E2AM=60°,所以∠DAE2=30°+120°=150°,又AD=AM=AE2,所以∠ADE2=∠AE2D=1
2
×(180°-150°)=15°;
②点E1与B重合,所以∠ADE1=45°.
15.解:(1)补全图形,如图所示.
(2)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,∵∠A=60°,∴△ABD为等边三角形,
∴∠ABD=∠BDC=60°,AB=BD,
在△ABE和△DBF中,{AB=BD,
∠A=∠BDF=60°, AE=DF,
∴△ABE≌△DBF(SAS),
∴BE=BF,∠ABE=∠DBF,
∴∠EBF=∠EBD+∠DBF=∠EBD+∠ABE=∠ABD=60°,∴△BEF为等边三角形.
(3)√3(BG-CF)=2GF.
证明:取FG中点H,连接DH,如图所示.
∵AE=DF=DG,∠FDG=120°,
∴∠DFG=∠DGF=30°,DH⊥GF,
=√3DG.
∴GF=2GH=2DG·cos30°=2DG×√3
2
由(2)知∠BDC=60°,
∴∠BDC+∠FDG=180°,即B,D,G三点在同一条直线上,∴BG=BD+DG=CD+DG=CF+DF+DG=CF+2DG,
∴BG-CF=2DG,∴√3(BG-CF)=2√3DG=2GF.。