2022年黑龙江省哈尔滨市道里区九年级数学第一学期期末经典模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．已知关于 x 的方程20x ax b ++=有一个根是(0)b b ≠，则 a b +的值是（ ）
A ．－1
B ．0
C ．
1
2
D ．1
2．如图，点O 为正五边形ABCDE 外接圆的圆心，五边形ABCDE 的对角线分别相交于点P ，Q ，R ，M ，N ．若顶角等于36°的等腰三角形叫做黄金三角形，那么图中共有（ ）个黄金三角形．
A ．5
B ．10
C ．15
D ．20
3．如图， 抛物线2
y ax bx c =++与x 轴交于点A （-1,0），顶点坐标（1，n ）与y 轴的交点在（0,2），（0,3）之间（包 含端点），则下列结论：①30a b +<；②2
13
a -≤≤-
；③对于任意实数m ，a+b≥am 2+bm 总成立；④关于x 的方程21ax bx c n ++=-有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为( )
A ．1 个
B ．2 个
C ．3 个
D ．4 个
4．如图，二次函数y=ax 1+bx+c 的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），与y 轴的交点B 在（0，1）与（0，3）之间（不包
括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc ＜0；②9a+3b+c ＞0；③若点M （
12，y 1），点N （5
2
，y 1）是函数图象上的两点，则y 1＜y 1；④﹣
35＜a ＜﹣2
5
；⑤c-3a ＞0其中正确结论有（ ）
A ．1个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
5．已知y 关于x 的函数表达式是2
4y ax x a =--，下列结论不正确的是（ ） A ．若1a =-，函数的最大值是5
B ．若1a =，当2x ≥时，y 随x 的增大而增大
C ．无论a 为何值时，函数图象一定经过点(1,4)-
D ．无论a 为何值时，函数图象与x 轴都有两个交点
6．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ） A ．9人
B ．10人
C ．11人
D ．12人
7．某林业部门要考察某幼苗的成活率，于是进行了试验，下表中记录了这种幼苗在一定条件下移植的成活情况，则下列说法不正确的是（ ） 移植总数n 400 1500 3500 7000 9000 14000 成活数m 369
1335 3203 6335 8073 12628 成活的频率
m
n
0923
0.890
0915
0.905
0.897
0.902
A ．由此估计这种幼苗在此条件下成活的概率约为0.9
B ．如果在此条件下再移植这种幼苗20000株，则必定成活18000株
C ．可以用试验次数累计最多时的频率作为概率的估计值
D ．在大量重复试验中，随着试验次数的增加，幼苗成活的频率会越来越稳定，因此可以用频率估计概率 8．将抛物线y ＝x 2先向上平移1个单位，再向左平移2个单位，则新的函数解析式为（ ）. A ．2(1)2y x =--
B ． 2(+1)2y x =-
C ． 2(+2)+1y x =
D ． 22()1y x =-+
9．如图，点A 、B 、C 均在⊙O 上，若∠AOC ＝80°，则∠ABC 的大小是（ ）
A ．30°
B ．35°
C ．40°
D ．50°
10．如图，抛物线2
y ax bx c =++的对称轴为1x =-，且过点102⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
，有下列结论：①abc ＞0；②24a b c -+＞0；③20a b +=；④32b c +＞0.其中正确的结论是（ ）
A ．①③
B ．①④
C ．①②
D ．②④
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．不透明袋子中有2个红球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球是红球的概率是______________.
12．方程2
(1)(31)0x x -+=的实数根为__________．
13．为了解早高峰期间A ，B 两邻近地铁站乘客的乘车等待时间（指乘客从进站到乘上车的时间），某部门在同一上班高峰时段对A 、B 两地铁站各随机抽取了500名乘客，收集了其乘车等待时间（单位：分钟）的数据，统计如表： 等待时的频数间 乘车等待时间 地铁站 5≤t≤10
10＜t≤15
15＜t≤20
20＜t≤25
25＜t≤30
合计
A 50 50 152 148 100 500 B
45
215
167
43
30
500
据此估计，早高峰期间，在A 地铁站“乘车等待时间不超过15分钟”的概率为_____；夏老师家正好位于A ，B 两地铁站之间，她希望每天上班的乘车等待时间不超过20分钟，则她应尽量选择从_____地铁站上车．（填“A”或“B”） 14．某数学兴趣小组利用太阳光测量一棵树的高度（如图），在同一时刻，测得树的影长为6米，小明的影长为1米，已知小明的身高为1.5米，则树高为_________米．
15．计算：sin 45︒=________．
16．2sin 452cos 603tan 60+-=____.
17．如图，把直角三角板的直角顶点O 放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M 、N ．量得
8cm OM =，6cm ON =，则该圆玻璃镜的半径是__________cm ．
18．方程22310x x --=的两根为1x ，2x ，则22
12x x += ．
三、解答题(共66分)
19．（10分）已知关于x 的一元二次方程x 2-2x +m-1=1． （1）若此方程有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围；
（2）当Rt △ABC 的斜边长c=3，且两直角边a 和b 恰好是这个方程的两个根时，求Rt △ABC 的面积．
20．（6分）已知二次函数的顶点坐标为()1,4，且经过点()1,0-，设二次函数图象与y 轴交于点A ，求点A 的坐标． 21．（6分）如图，在菱形ABCD 中，点E 是BC 上的点，AE BC ⊥，若3
sin 5
B =，3E
C =，P 是AB 边上的一个动点，则线段PE 最小时，BP 长为___________．
22．（8分）如图，已知点D 在△ABC 的外部，AD ∥BC ，点E 在边AB 上，AB •AD ＝BC •AE ． (1)求证：∠BAC ＝∠AED ；
(2)在边AC 取一点F ，如果∠AFE ＝∠D ，求证：
AD AF
BC AC
=．
23．（8分）如图，已知正方形ABCD ，点E 为AB 上的一点，EF ⊥AB ，交BD 于点F ．
（1）如图1，直按写出
DF
AE
的值 ； （2）将△EBF 绕点B 顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE 、DF ，猜想DF 与AE 的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，当BE ＝BA 时，其他条件不变，△EBF 绕点B 顺时针旋转，设旋转角为α（0°＜α＜360°），当α为何值时，EA ＝ED ？在图3或备用图中画出图形，并直接写出此时α＝ ．
24．（8分）如图，在Rt △ABE 中，∠B ＝90°，以AB 为直径的⊙O 交AE 于点C ，CE 的垂直平分线FD 交BE 于点D ，连接CD ．
（1）判断CD 与⊙O 的位置关系，并证明； （2）若AC ＝6，CE ＝8，求⊙O 的半径．
25．（10分）如图，在Rt ABC 中，C 90∠=，B 30∠=．
()1用直尺和圆规作
O ，使圆心O 在BC 边，且O 经过A ，B 两点上(不写作法，保留作图痕迹)；
()2连接AO ，求证：AO 平分CAB ∠．
26．（10分）在平面直角坐标系中，直线y =x +3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线y =a 2x +bx +c (a <0)经过点A ，B ，
(1)求a 、b 满足的关系式及c 的值，
(2)当x <0时，若y =a 2x +bx +c (a <0)的函数值随x 的增大而增大，求a 的取值范围， (3)如图，当a =−1时，在抛物线上是否存在点P ，使△PAB 的面积为3
2
?若存在，请求出符合条件的所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由，
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分) 1、A
【分析】把b 代入方程得到关于a ，b 的式子进行求解即可； 【详解】把b 代入20x ax b ++=中，得到20b ab b ++=， ∵0b ≠，
∴两边同时除以b 可得10b a ++=， ∴1a b +=-． 故答案选A ． 【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解，准确利用等式的性质是解题的关键． 2、D
【分析】根据正五边形的性质和黄金三角形的定义进行分析． 【详解】根据题意，得
图中的黄金三角形有
△EMR、△ARQ、△BQP、△CNP、△DMN、△DER、△EAQ、△ABP、△BCN、△CDM、△DAB、△EBC、△ECA、△ACD、△BDE，△ABR，△BQC，△CDP，△DEN，△EAQ，共20个．
故选D．
【点睛】
此题考查了正五边形的性质和黄金三角形的定义．
注意：此图中所有顶角是锐角的等腰三角形都是黄金三角形．
3、D
【解析】利用抛物线开口方向得到a＜0，再由抛物线的对称轴方程得到b=-2a，则3a+b=a，于是可对①进行判断；利用2≤c≤3和c=-3a可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点可对④进行判断．
【详解】∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
而抛物线的对称轴为直线x=-b
2a
=1，即b=-2a，
∴3a+b=3a-2a=a＜0，所以①正确；∵2≤c≤3，
而c=-3a，
∴2≤-3a≤3，
∴-1≤a≤-2
3
，所以②正确；
∵抛物线的顶点坐标（1，n），
∴x=1时，二次函数值有最大值n，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
即a+b≥am2+bm，所以③正确；
∵抛物线的顶点坐标（1，n），
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴
左； 当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点． 4、D
【分析】根据二次函数的图项与系数的关系即可求出答案. 【详解】①∵图像开口向下，
a 0∴< ，
∵与y 轴的交点B 在(0,1)与(0,3)之间，
0c ∴> ，
∵对称轴为x=1，
-
22b
a
∴= ， ∴b=-4a ， ∴b>0，
∴abc<0，故①正确；
②∵图象与x 轴交于点A(-1,0)，对称轴为直线x=1，
∴图像与x 轴的另一个交点为(5,0)，
∴根据图像可以看出，当x=3时，函数值y=9a+3b+c>0， 故②正确；
③∵点1215y y 22
M N （，），（，） ，
∴点M 到对称轴的距离为13|2-|=
22 ，点N 到对称轴的距离为51|2-|=22
， ∴点M 到对称轴的距离大于点N 到对称轴的距离， ∴12y y < ，故③正确；
④根据图像与x 轴的交点坐标可以设函数的关系式为：y=a （x-5）(x+1)，把x=0代入得y=-5a ，∵图像与y 轴的交点B 在（0，1）与（0，3）之间，-5a 2
53a >⎧∴⎨-<⎩
，
解不等式组得32
-
55
a <<- ，故④正确； ⑤∵对称轴为x=1
-
22b
a
∴= ， ∴b=-4a ，
当x=1时，y=a+b+c=a-4a+c=c-3a>0,故⑤正确； 综上分析可知，正确的结论有5个， 故D 选项正确.故选D . 【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 1+bx+c （a≠0）的图象，当a ＞0，开口向上，函数有最小值，a ＜0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x=2b
a
-
，a 与b 同号，对称轴在y 轴的左侧，a 与b 异号，对称轴在y 轴的右侧；当c ＞0，抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方. 5、D
【分析】将a 的值代入函数表达式，根据二次函数的图象与性质可判断A 、B ，将x=1代入函数表达式可判断C ，当a=0时，y=-4x 是一次函数，与x 轴只有一个交点，可判断D 错误. 【详解】当1a =-时，()2
24125=--+=-++y x x x ， ∴当2x =-时，函数取得最大值5，故A 正确； 当1a =时，()2
24125y x x x =--=--， ∴函数图象开口向上，对称轴为2x =， ∴当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，故B 正确； 当x=1时，44=--=-y a a ，
∴无论a 为何值，函数图象一定经过(1,-4)，故C 正确；
当a=0时，y=-4x ，此时函数为一次函数，与x 轴只有一个交点，故D 错误； 故选D. 【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，以及一次函数与x 轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键. 6、C
【分析】设参加酒会的人数为x 人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.
【详解】设参加酒会的人数为x 人，依题可得：
1
2
x （x-1）=55， 化简得：x 2-x-110=0，
解得：x 1=11，x 2=-10（舍去）， 故答案为C.
【点睛】
考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程.
7、B
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率即可得到答案．
【详解】解：由此估计这种幼苗在此条件下成活的概率约为0.9，故A选项正确；
如果在此条件下再移植这种幼苗20000株，则大约成活18000株，故B选项错误；
可以用试验次数累计最多时的频率作为概率的估计值，故C选项正确；
在大量重复试验中，随着试验次数的增加，幼苗成活的频率会越来越稳定，因此可以用频率估计概率，故D选项正确. 故选：B．
【点睛】
本题主要考查的是利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，掌握这个知识点是解题的关键．
8、C
【分析】由二次函数平移的规律即可求得答案．
【详解】解：将抛物线y＝x2先向上平移1个单位，则函数解析式变为y＝x2+1，
将y＝x2+1向左平移2个单位，则函数解析式变为y＝（x+2）2+1，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象平移，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．
9、C
【分析】根据圆周角与圆心角的关键即可解答.
【详解】∵∠AOC＝80°，
∴
1
2
ABC AOC4.
故选：C.
【点睛】
此题考查圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.
10、C
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题．【详解】由抛物线的开口向下可得：a＜0，
根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以b＜0，
根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，
∴abc ＞0，故①正确；
直线x=-1是抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴，所以-
2b a =-1，可得b=2a ， a-2b+4c=a-4a+4c=-3a+4c ，
∵a ＜0，
∴-3a ＞0，
∴-3a+4c ＞0，
即a-2b+4c ＞0，故②正确；
∵b=2a ，a+b+c ＜0，
∴2a+b≠0，故③错误；
∵b=2a ，a+b+c ＜0， ∴12
b+b+c ＜0， 即3b+2c ＜0，故④错误；
故选：C ．
【点睛】
此题考查二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、13
【分析】直接利用概率公式求解． 【详解】解：从袋子中随机取出1个球是红球的概率21243=
+=， 故答案为：
13
【点睛】
本题考查了概率公式：随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 12、1x =
【分析】原方程化成两个方程10x -=和2310x +=，分别计算即可求得其实数根．
【详解】2(1)(31)0x x -+=
即10x -=或2310x +=，
当10x -=时，1x =，
当2310x +=时，
∵3a =，0b =，1c =，
∴24431120b ac =-=-⨯⨯=-<⊿，
∴方程无实数根，
∴原方程的实数根为：1x =．
故答案为：1x =．
【点睛】
本题考查了利用因式分解法解方程、方程实数根的定义以及一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键．
13、15
B 【分析】用“用时不超过15分钟”的人数除以总人数即可求得概率；
先分别求出A 线路不超过20分钟的人数和B 线路不超过20分钟的人数，再进行比较即可得出答案．
【详解】∵在A 地铁站“乘车等待时间不超过15分钟有50+50＝100人，
∴在A 地铁站“乘车等待时间不超过15分钟”的概率为
100500＝15， ∵A 线路不超过20分钟的有50+50+152＝252人，
B 线路不超过20分钟的有45+215+167＝427人，
∴选择B 线路， 故答案为：
15，B ． 【点睛】
此题考查了用频率估计概率的知识，能够读懂图是解答本题的关键，难度不大；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14、1
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，对应比值相等进而得出答案．
【详解】解：根据相同时刻的物高与影长成比例．设树的高度为xm ， 则161.5x
=，解得：9x =． 故答案为：1．
【点睛】
此题考查相似三角形的应用，解题关键在于掌握其性质定义．
15 【分析】根据特殊角的三角函数值直接书写即可．
【详解】sin 45︒=2
故答案为：
2
． 【点睛】 本题考查了特殊角的三角函数值，牢固记忆是解题的关键．
162 【分析】根据特殊角度的三角函数值2sin 452
=，1cos602=，tan 603=. 【详解】∵2sin 452
=，1cos602=，tan 603=
∴原式=12222
+⨯=. 【点睛】 熟记特殊角度的三角函数值是解本题的关键.
17、1．
【解析】解：∵∠MON =90°
，∴MN 为圆玻璃镜的直径，10cm MN ==，∴半径为5cm ．故答案为：1．
18、134
． 【解析】试题分析：∵方程22310x x --=的两根为1x ，2x ，∴1232x x +=
，1212x x =-，∴2212x x +=21212()2x x x x +-=23
1()2()22-⨯-=134．故答案为134
． 考点：根与系数的关系．
三、解答题(共66分)
19、（1）m ＜2；（2）14
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根即可得到判别式大于1，由此得到答案；
（2）根据根与系数的关系式及完全平方公式变形求出ab ，再利用三角形的面积公式即可得到答案.
【详解】（1）关于x 的一元二次方程x 2-2x +m-1=1有两个不相等的实数根，
∴△＞1，即△=4-4（m-1）＞1，
解得m ＜2；
（2）∵Rt △ABC 的斜边长，且两直角边a 和b 恰好是这个方程的两个根，
∴a+b=2，a 2+b 22=3 ，
∴(a+b)2-2ab=3，
∴4-2ab=3，
∴ab=12
， ∴Rt △ABC 的面积=
12ab=14
. 【点睛】 此题考查一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系式，直角三角形的勾股定理，完全平方式的变形，直角三角形面积的求法.
20、点A 的坐标为：()0,3
【分析】以顶点式设函数解析式，将点()1,0-代入，求出二次函数解析式，再令0x =，求得对应的y 值，则可得点A 的坐标．
【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为()1,4
∴设其解析式为：()214y a x =-+．
∵函数经过点()1,0-，
∴044a =+，
∴1a =-，
∴()214y x =--+．
令0x =得：143y =-+=
∴点A 的坐标为：()0,3．
【点睛】
此题考查的是求二次函数的解析式和根据解析式求点的坐标，掌握二次函数的顶点式是解决此题的关键.
21、485
【分析】设菱形ABCD 的边长为x ，则AB ＝BC ＝x ，又EC ＝3，所以BE ＝x−3，解直角△ABE 即可求得x 的值，即
可求得BE 、AE 的值，根据AB 、PE 的值和△ABE 的面积，即可求得PE 的最小值，再根据勾股定理可得BP 的长．
【详解】解：设菱形ABCD 的边长为x ，则AB ＝BC ＝x ，又EC ＝3，所以BE ＝x−3，
因为AE ⊥BC 于E ，
所以在Rt △ABE 中，3cos x B x ， ∵3sin 5
B ，AE ⊥B
C 设AE=3a ，AB=5a ，则BE=4a ，
∴cosB=45
∴345
x x 于是5x−1＝4x ，
解得x ＝1，即AB ＝1．
所以易求BE ＝12，AE ＝9，
当EP ⊥AB 时，PE 取得最小值． 故由三角形面积公式有：
12AB•PE ＝12BE•AE ， 求得PE 的最小值为365
． 在Rt △BPE 中，223648()55 故答案为:
485
． 【点睛】 本题考查了余弦函数在直角三角形中的运用、三角形面积的计算和最小值的求值问题，求PE 的值是解题的关键．
22、见解析
【解析】（1）欲证明∠BAC ＝∠AED ，只要证明△CBA ∽△DAE 即可； （2）由△DAE ∽△CBA ，可得AD DE BC AC
＝，再证明四边形ADEF 是平行四边形，推出DE ＝AF ，即可解决问题； 【详解】证明（1）∵AD ∥BC ，
∴∠B ＝∠DAE ，
∵AB ·AD ＝BC ·AE ，
∴AB BC AE AD
＝， ∴△CBA ∽△DAE ，
∴∠BAC ＝∠AE D ．
（2）由（1）得△DAE ∽△CBA
∴∠D ＝∠C ，AD DE BC AC
＝， ∵∠AFE ＝∠D ，
∴∠AFE ＝∠C ，
∴EF ∥BC ，
∵AD ∥BC ，
∴EF ∥AD ，
∵∠BAC ＝∠AED ，
∴DE ∥AC ，
∴四边形ADEF 是平行四边形，
∴DE ＝AF ， ∴AD AF BC AC
＝． 【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23、（1；（2）DF AE ，理由见解析；（3）作图见解析，30°或150°
【分析】(1)直接利用等腰直角三角形的性质计算即可得出结论；
(2)先判断出BF BD BE AB
==ABE ∽△DBF ，即可得出结论； (3)先判断出点E 在AD 的中垂线上，再判断出△BCE 是等边三角形，求出∠CBE =60°，再分两种情况计算即可得出结论．
【详解】(1)∵BD 是正方形ABCD 的对角线，
∴∠ABD =45︒，BD AB ，
∵EF ⊥AB ，
∴∠BEF =90︒，
∴∠BFE =∠ABD =45︒，
∴BE =EF ，
∴BF BE ，
∴DF =BD ﹣BF AB ﹣BE )=，
∴2DF AE =， 故答案为：2；
(2)DF =2AE ，
理由：由(1)知，BF =2BE ，BD =2AB ，∠BFE =∠ABD =45︒，
∴2BF BD BE AB
==， 由旋转知，∠ABE =∠DBF ，
∴△ABE ∽△DBF ，
∴2DF BD AE AB
==， ∴DF =2AE ；
(3)如图3，连接DE ，CE ，
∵EA =ED ，
∴点E 在AD 的中垂线上，
∴AE =DE ，BE =CE ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠BAD =∠ABC =90︒，AB =BC ，
∴BE =CE =BC ，
∴△BCE 是等边三角形，
∴∠CBE =60︒，
∴∠ABE =∠ABC -∠CBE =90︒-60︒=30︒，
即：α=30︒，
如图4，同理，△BCE 是等边三角形，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90︒+60︒=150︒，
即：α=150︒，
故答案为：30︒或150︒．
【点睛】
本题属于相似形的综合题，主要考查了旋转的性质、正方形的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是利用相似比表示线段之间的关系．
24、（1）CD与⊙O相切，证明见解析；（221．
【分析】（1）连接OC，由于FD是CE的垂直平分线，所以∠E＝∠DCE，又因为∠A＝∠OCA，∠A+∠E＝90°，所以∠OCA+∠DCE＝90°，所以CD与⊙O相切．
（2）连接BC，易知∠ACB＝90°，所以△ACB∽ABE，所以AC AB
AB AE
=由于AC•AE＝84，所以OA＝
1
2
AB21
【详解】（1）连接OC，如图1所示．∵FD是CE的垂直平分线，
∴DC＝DE，
∴∠E＝∠DCE，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∵Rt△ABE中，∠B＝90°，
∴∠A+∠E＝90°，
∴∠OCA+∠DCE＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD与⊙O相切．
（2）连接BC，如图2所示．∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∴△ACB∽ABE，
∴AC AB AB AE
,
∵AC＝6，CE＝8，
∴AE=14，
∵AC•AE＝84，
∴AB2＝84，
∴AB＝221，
∴OA＝21．
【点睛】
此题考查圆的切线的判定定理，三角形相似的判定及性质定理，题中根据问题连接相应的辅助线是解题的关键.
25、(1)作图见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）作线段AB的垂直平分线即可，线段AB的垂直平分与BC的交点即是圆心O；
（2）由线段垂直平分线的性质可得∠OAB=∠B=30°，，从而可求∠CAO=30°，由角平分线的定义可知AO平分∠CAB．
【详解】（1）解：如图，⊙O为所作；
（2）证明：∵OA=OB ，
∴∠OAB=∠B=30°
， 而∠CAB=90°
﹣∠B=60°， ∴∠CAO=∠BAO=30°
， ∴OC 平分∠CAB ．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的作法及性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，熟练掌握线段垂直平分线的作法及性质是解答本题的关键.
26、（1）b=3a+1；c=3；（2）103a -≤<；（3）点P 的坐标为：35-+，55+或35--，55-或313-+，113+313--113-）. 【分析】（1）求出点A 、B 的坐标，即可求解；
（2）当x ＜0时，若y=ax 2+bx+c （a ＜0）的函数值随x 的增大而增大，则函数对称轴02b x a
=-≥，而b=3a+1，即：3102a a
+-≥，即可求解； （3）过点P 作直线l ∥AB ，作PQ ∥y 轴交BA 于点Q ，作PH ⊥AB 于点H ，由S △PAB =
32，则P Q y y -=1，即可求解． 【详解】解：（1）y=x+3，令x=0，则y=3，令y=0，则x=3-，
故点A 、B 的坐标分别为（-3，0）、（0，3），则c=3，
则函数表达式为：y=ax 2+bx+3，
将点A 坐标代入上式并整理得：b=3a+1；
（2）当x ＜0时，若y=ax 2+bx+c （a ＜0）的函数值随x 的增大而增大， 则函数对称轴02b x a =-
≥， ∵31b a =+，
∴3102a a
+-
≥， 解得：13a ≥-， ∴a 的取值范围为：103
a -≤<； （3）当a=1-时，b=3a+1=2- 二次函数表达式为：2
23y x x =--+， 过点P 作直线l ∥AB ，作PQ ∥y 轴交BA 于点Q ，作PH ⊥AB 于点H ，
∵OA=OB ，
∴∠BAO=∠PQH=45°，
S △PAB =12×AB ×PH=12×32PQ ×22=32
， 则PQ=P Q y y -=1，
在直线AB 下方作直线m ，使直线m 和l 与直线AB 等距离，
则直线m 与抛物线两个交点，分别与点AB 组成的三角形的面积也为
32， ∴1P Q y y -=，
设点P （x ，-x 2-2x+3），则点Q （x ，x+3），
即：-x 2-2x+3-x-3=±1，
解得：35x -±=313x -±=； ∴点P 的坐标为：（
352-+，552+或（352--，552-）或（3132-，1132+）或（3132-，1132-）. 【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。