2.位错的弹性应力场
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位错运动的晶格阻力与韧脆转变的解析模型
位错运动的晶格阻力与韧脆转变的解析模型摘要：位错是晶体中最基本的缺陷之一，它的运动行为直接决定了晶体的塑性变形。
然而，晶格阻力作为位错运动的一种重要阻碍因素却难以量化。
本文针对展开探究。
起首介绍了晶格阻力的观点及其影响因素，从而构建了位错位移与晶格应变场之间的解析干系，以及晶格阻力与位错位移速率之间的阅历公式。
然后，本文介绍了韧性和脆性的观点，以及晶格阻力对韧脆转变的影响机制，提出了与晶格阻力相关的材料参数对韧性和脆性的影响规律。
最后，通过试验数据对所提出的解析模型进行验证，并谈论了晶格阻力与位错运动的参数化干系。
关键词：位错，晶格阻力，韧脆转变，材料参数，参数化干系第一章引言位错是晶体中最基本的缺陷之一，它的行为直接决定了晶体的塑性变形。
然而，位错运动受到晶格阻力的制约，这对于晶体的塑性变形和韧脆转变过程具有重要的影响和意义。
晶格阻力是位错运动的一种重要的阻碍因素，它来自于晶格的弹性应变场、位错自身的互相作用以及弹性波等。
因此，探究位错的运动机制及其对晶格阻力的响应规律，对于深化材料力学的熟识和理论应用具有重要的意义。
本文将针对进行探究。
起首，我们介绍晶格阻力的观点及其影响因素，构建位错位移与晶格应变场之间的解析干系，以及晶格阻力与位错位移速率之间的阅历公式。
然后，本文介绍了韧性和脆性的观点，以及晶格阻力对韧脆转变的影响机制，提出与晶格阻力相关的材料参数对韧性和脆性的影响规律。
最后，我们通过试验数据对所提出的解析模型进行验证，并谈论晶格阻力与位错运动的参数化干系。
第二章晶格阻力模型位错是晶体中最基本的缺陷之一，它是晶体弹性畸变能的载体。
当位错沿晶体中的特定面和线位移时，它们会引起晶格的弹性应变场，阻碍位错的运动。
因此，探究晶格阻力对位错运动的影响分外重要。
2.1 晶格阻力的观点和特征晶格阻力指的是晶格对于运动中位错的弹性阻碍力，它是位错在晶体中挪动和增殖的主要限制因素。
晶格阻力的大小受到多种因素的影响，包括位错的晶格方向、运动速率、弹性应变场、晶体温度等。
位错的弹性性质
(2) 位错的应变能
位错附近的原子离开了正常的平衡位置，使点 阵发生了畸变，导致晶体的能量增加，增加的能量 称为畸变能或应变能。其包括位错中心区域的应变 能和位错应力场引起的弹性应变能。
其中位错中心区域点阵畸变很大，不能用线弹 性理论计算其弹性应变能。据估计，这部分能量大 约占总应变能的10%左右，故通常予以忽略。
0 L r0 4 r
(1) 单位长度螺型位错的弹性应变能Ws为：
Ws
W L
s
Gb2
4
ln
R r0
(2) 刃位错的弹性应变能计算较复杂，其单位长 度刃位错的弹性应变能WE为：
WE
W L
E
Gb2
4 1
ln
R r0
(3) 混合位错的弹性应变能等于螺位错的弹性能和 刃位错的弹性能之和。
r0为位错中心区域的半径，可取 r0 b 2.5108cm R为位错应力场的最大作用半径，在实际晶体中 受亚晶的限制，可取 R 104cm ，则单位长度位 错的应变能为：
3.2.3 位错的弹性性质
晶体中有位错存在时，位错线及其周围的晶格 产生严重畸变，畸变处的晶体原子偏离平衡位置， 能量增高。位错线及其周围区域产生弹性应变和应 力场。
采用弹性力学方法来分析位错线周围的应力分 布，所得结果不适于位错中心区（中心区的原子排 列特别紊乱，既不能看成连续介质，也不是小位移， 超出了弹性变形的范围，因此，虎克定律不再适 用），它只适于位错中心区以外的区域（直到无穷 远处）。
形成刃位错时没有轴向位移，只有径向位移， 因而位移是二维的（平面应变）。但刃位错应力场 比螺位错复杂，此处不加讨论。其最后结果如下：
xx
D
y 3x2 x2
y2 y2 2
晶体缺陷5-位错的弹性性质
1）单位长度位错线的应变能U为：
U＝αGb2
取值中限0.75
＝0.75×4×1010×（2.5×10-10）2
＝18.75×10－10J/m
2）严重变形金属，单位体积（cm3）内位错应变能为： U＝18.75×10－10×1011 ＝187.5J/cm3
换算成单位质量（g）铜晶体内位错的应变能为： U＝（187.5/8.9）J/g
4
ln r0
3、混合位错的弹性能
U刃
1
1
U螺
3 2 U螺
U混
Gb2
4k
ln
R r0
Gb2
其中：k=1-v/(1-vcos2θ)，0.5≤α≤1
结论
UT U el Gb 2
（1）总应变能 UT=U0+Uel
Uel∝lnR/r0
长程,
U0
1 10
UT
可忽略。
（2）UT∝b2，晶体中稳定的位错具有最小的柏氏矢
似：对圆柱体上各点产生两种切应力，即 tz t z
t z t θz
t z t θz
从这个圆柱体中取一个半径为r的薄壁圆筒展开，
便能看出在离开中心r处的切应变为
t z
t z
G
Gb
2r
b 2 r
yL
r0
z
r P tz θ t z b
t z
L
x
过P点取平面展开
t z
b
2 r
P
z
t z t z
t z
课前复习
1.什么是应力，其表达式是什么？
应力是作用在单位面积上的力 σ＝F/A
2.螺位错应力场的应力分量的极坐标表示。
0 0
《材料成型金属学》教学资料：1-4 位错的应力场和应变能
(3)刃型位错的应力场对称于多余半原子面（y-z面），即 对称于y轴。
(4)当y＝0时，σxx＝σyy＝σzz＝0，说明在滑移面上，没有正应力，
只有切应力，而且切应力τxy 达到极大值 。
(5)y>0时，σxx<0；而y<0时，σxx>0。这说明正刃型位错的位错 滑移面上侧为压应力，滑移面下侧为拉应力。
位错的能量通常分为位错中心区的能量与中心以外 区域的能量两部分。
中心以外区域的能量为弹性能，占能量的绝大部分 通常以位错的弹性能代表位错的能量。
假设其为一个单位长度位错线，为造成这个位错克服切应力 τθr所做的功为单位长度刃型位错的应变能：
进一步简化得单位长度位错的总应变能：
1.位错的能量包括两部分：Ec和Ee。 2.位错的应变能与G和b2成正比。
3.
,常用金属材料的约为1/3，故螺型位错
的弹性应变能约为刃型位错的2/3。
4.位错的存在均会使体系的内能升高，使晶体处于 高能的不稳定状态，位错是热力学上不稳定的晶 体缺陷。
3.位错的线张力 line tension
位错应变能与位错线长度成正比。为降低能量， 位错线具有尽量缩短其长度的倾向，从而使位错产
2. Tension be1)同时存在正应力分量与切应力分量，而且各应力分量的 大小与G和b成正比，与r成反比，即随着与位错距离的增大， 应力的绝对值减小。
(2)各应力分量都是ｘ，ｙ的函数，而与ｚ无关。这表明在 平行于位错的直线上，任一点的应力均相同。
(6)在应力场的任意位置处, 。
(7)x＝±y时，σyy，τxy均为零，说明在直角坐标的两条对角线处， 只有σxx，而且在每条对角线的两侧，τxy(τyx)及σyy的符号相反。
2.位错的应变能
(4)当y＝0时，σxx＝σyy＝σzz＝0，说明在滑移面上，没有正应力，
只有切应力，而且切应力τxy 达到极大值 。
(5)y>0时，σxx<0；而y<0时，σxx>0。这说明正刃型位错的位错 滑移面上侧为压应力，滑移面下侧为拉应力。
位错的能量通常分为位错中心区的能量与中心以外 区域的能量两部分。
中心以外区域的能量为弹性能，占能量的绝大部分 通常以位错的弹性能代表位错的能量。
假设其为一个单位长度位错线，为造成这个位错克服切应力 τθr所做的功为单位长度刃型位错的应变能：
进一步简化得单位长度位错的总应变能：
1.位错的能量包括两部分：Ec和Ee。 2.位错的应变能与G和b2成正比。
3.
,常用金属材料的约为1/3，故螺型位错
的弹性应变能约为刃型位错的2/3。
4.位错的存在均会使体系的内能升高，使晶体处于 高能的不稳定状态，位错是热力学上不稳定的晶 体缺陷。
3.位错的线张力 line tension
位错应变能与位错线长度成正比。为降低能量， 位错线具有尽量缩短其长度的倾向，从而使位错产
2. Tension be1)同时存在正应力分量与切应力分量，而且各应力分量的 大小与G和b成正比，与r成反比，即随着与位错距离的增大， 应力的绝对值减小。
(2)各应力分量都是ｘ，ｙ的函数，而与ｚ无关。这表明在 平行于位错的直线上，任一点的应力均相同。
(6)在应力场的任意位置处, 。
(7)x＝±y时，σyy，τxy均为零，说明在直角坐标的两条对角线处， 只有σxx，而且在每条对角线的两侧，τxy(τyx)及σyy的符号相反。
2.位错的应变能
位错的应力场与应变场
晶体结构：不同晶体结构对位错应力场的影响不同 温度：温度对位错应力场的影响较大，温度升高会使应力场减小 应力大小：位错应力场的大小与应力大小成正比关系 位错类型：不同类型的位错具有不同的应力场特征
PART THREE
位错应变场是描述位错附近晶体点 阵的畸变状态
应变场的大小和方向可以用来确定 位错的运动状态和受力情况
PART TWO
位错应力场的 定义：描述位 错在晶体中所 产生的应力分
布
产生原因：由 于位错的存在，
使得晶体中的 原子排列发生 扭曲，从而产
生应力
影响因素：位 错类型、晶体 结构、滑移面
等
意义：研究位 错应力场有助 于理解晶体中 的变形机制和
断裂行为
位错是晶体中局部原子排列发生扭曲的一种缺陷 位错应力场的形成是由于晶体中其他原子对位错周围原子施加力的作用 位错应力场与应变场密切相关，是晶体变形的重要机制之一 位错应力场的研究对于理解晶体强度、韧性等力学性质具有重要意义
PART FOUR
位错应力场与应变场相互作用，共同影响晶体结构和性质。
位错应力场和应变场的变化可以相互转化，即应力场的变化会导致应变场的变化，反之亦然。
位错应力场和应变场的相互作用可以影响材料的力学性能，例如硬度、韧性和强度等。
通过研究位错应力场与应变场的关系，可以深入了解材料的力学行为和变形机制，为材料设 计和优化提供理论支持。
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应变场与应力场密切相关，是位错 与晶体相互作用的结果
应变场的研究有助于深入了解位错 的性质和行为
位错是晶体中线缺陷，会导致周围原子发生位移 应变场是由于位错运动而产生的晶体内部应变分布 位错应变场与应力场密切相关，影响晶体性质 位错应变场的形成机制是材料科学和物理学中的重要问题
6第六节课-位错运动和交互作用和实际晶体中的位错
位错线附近原子移动距离很小； 位错运动所需要的力很小； 位错线沿滑移面滑移过整个基体
时，在晶体表面产生一个宽度为 柏氏矢量大小的台阶。
图2-8 刃型位错滑移过程
21:05:49
1
西安石油大学材料科学与工程学院
b）螺型位错的滑移
材料科学基础
图2-9 螺型位错的滑移 螺型位错运动特征：位错移动方向与位错线垂直，也与柏氏矢量垂直。
rr==zz=r=r=rz=zr=0 若采用直角坐标：
XZ
ZX
Gb
2
y (x2 y2)
yZ
Zy
Gb
2
(x2
x
y2)
xx yy zz xy yx 0
21:05:49
螺型位错的连续介质模型
9
材料科学基础
21:05:49
5
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材料科学基础
2．位错的攀移(dislocation climb)：刃型位错在垂直于滑移面方向上的运动。 多余半原子面向上运动称为正攀移，向下运动称为负攀移。 刃型位错的攀移实际上就是多余半原子面扩大和缩小的过程，可以通过物质迁移
即原子或者空位的扩散进行。
21:05:49
22
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材料科学基础
2、堆垛层错（层错）：密排面的正常堆垛顺序遭到破坏和错排的缺陷。 形成层错时几乎不产生点阵畸变，但它破坏了晶体的完整性和正常的周
期性，使电子发生反常的衍射效应，故使晶体的能量有所增加，这部分增加 的能量称“堆垛层错能（J/m2）”。
3、不全位错 若堆垛层错不是发生在晶体的整个原子面上而只是部分区域存在，那么，
材料科学基础
时，在晶体表面产生一个宽度为 柏氏矢量大小的台阶。
图2-8 刃型位错滑移过程
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1
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b）螺型位错的滑移
材料科学基础
图2-9 螺型位错的滑移 螺型位错运动特征：位错移动方向与位错线垂直，也与柏氏矢量垂直。
rr==zz=r=r=rz=zr=0 若采用直角坐标：
XZ
ZX
Gb
2
y (x2 y2)
yZ
Zy
Gb
2
(x2
x
y2)
xx yy zz xy yx 0
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螺型位错的连续介质模型
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材料科学基础
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2．位错的攀移(dislocation climb)：刃型位错在垂直于滑移面方向上的运动。 多余半原子面向上运动称为正攀移，向下运动称为负攀移。 刃型位错的攀移实际上就是多余半原子面扩大和缩小的过程，可以通过物质迁移
即原子或者空位的扩散进行。
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2、堆垛层错（层错）：密排面的正常堆垛顺序遭到破坏和错排的缺陷。 形成层错时几乎不产生点阵畸变，但它破坏了晶体的完整性和正常的周
期性，使电子发生反常的衍射效应，故使晶体的能量有所增加，这部分增加 的能量称“堆垛层错能（J/m2）”。
3、不全位错 若堆垛层错不是发生在晶体的整个原子面上而只是部分区域存在，那么，
材料科学基础
位错的弹性性质(考试重要)
2.4位错的弹性性质位错的弹性性质是位错理论的核心与基础。
它考虑的是位错在晶体中引起的畸变的分布及其能量变化。
处理位错的弹性性质有若干种方法，主要的有：连续介质方法、点阵离散方法等。
从理论发展和取得的效果来看，连续介质模型发展得比较成熟。
我们仅介绍位错连续介质模型考虑问题的方法和计算结果，详细的数学推导不作介绍，有兴趣的同学可进一步阅读教学参考书。
一、位错的连续介质模型早在1907年，伏特拉(Volterra)等在研究弹性体形变时，提出了连续介质模型。
位错理论提出来后，人们借用它来处理位错的长程弹性性质问题。
1.位错的连续介质模型基本思想将位错分为位错心和位错心以外两部分。
在位错中心附近，因为畸变严重，要直接考虑晶体结构和原子间的相互作用。
问题变得非常复杂，因而，在处理位错的能量分布时，将这一部分忽略。
在远离位错中心的区域，畸变较小，可视作弹性变形区，简化为连续介质。
用线性弹性理论处理。
即位错畸变能可以通过弹性应力场和应变的形式表达出来。
对此，我们仅作一般性的了解。
2.应力与应变的表示方法(1)应力分量如图1所示。
物体中任意一点可以抽象为一个小立方体，其应力状态可用9个应力分量描述。
它们是：图1物体中一受力单元的应力分析σxx σxy σxz σyx σyy σyz σzx σzy σzz其中，角标的第一个符号表示应力作用面的外法线方向，第二个下标符号表示该应力的指向。
如σxy 表示作用在与yoz 坐标面平行的小平面上，而指向y 方向的力，显而易见，它表示的是切应力分量。
同样的分析可以知道:σxx ，σyy ，σzz 3个分量表示正应力分量，而其余6个分量全部是切应力分量。
平衡状态时，为了保持受力物体的刚性，作用力分量中只有6个是独立的，它们是：σxx ，σyy ，σzz ，σxy ，σxz 和σyz ，而σxy =σyx ，σxz =σzx ，σyz =σzy 。
同样在柱面坐标系中，也有6个独立的应力分量：σrr ，σθθ，σzz ，σrθ，σrz ，σθz 。
2.位错的弹性应力场
应力分布与z无关；
滑移面（y=0）只有切应 力；
多余半原子面处（x=0） 只有正应力
y>0处为压应力
y<0处为拉应力
Y=x，y=-x处，纯拉压状 态
刃位错的等应力曲线
单位G/400（1-ν）
混合位错的应力场
由其中的螺位错与刃位错的应力应变场叠加得 到
1 r
3.位错的应变能
因何而生： 畸变。 又称自能 E=Ec+Ee
忽略较小的错排能Ec，E=Ee
表示为；W/L——单位长度位错线的能量
如何求解： 1.找出区域内应变能的体积密度函数并积分 2.通过形成一个位错所做的功确定
直螺型位错的应变能 应变能密度函数积分法
W L
=
G4bπ2 ln
rR0
直刃型位错的应变能
外力做功形成位错法
W L
=
Gb2 4π(1-ν)
螺型位错的模型
螺位错应力应变场分布
εxx =εyy =εzz
x2
y +
y2
εyz
=
b 4π
x2
x +
y2
σxx =σyy =σzz =σyx = 0
σxz
=
-
Gb 2π
x2
y +
y2
σyz
=
Gb 2π
x2
x +
y2
没有正应力和正应变，只有切应力和切应变
柱坐标下：
1.3 位错的弹性性质
弹性性质包含的内容
应力应变场 弹性应变能 位错的线张力 位错间作用力 位错与其它缺陷的作用
研究弹性性质的意义 弹性性质影响材料的性能
学习用建模的方法来研究 弹性性质
滑移面（y=0）只有切应 力；
多余半原子面处（x=0） 只有正应力
y>0处为压应力
y<0处为拉应力
Y=x，y=-x处，纯拉压状 态
刃位错的等应力曲线
单位G/400（1-ν）
混合位错的应力场
由其中的螺位错与刃位错的应力应变场叠加得 到
1 r
3.位错的应变能
因何而生： 畸变。 又称自能 E=Ec+Ee
忽略较小的错排能Ec，E=Ee
表示为；W/L——单位长度位错线的能量
如何求解： 1.找出区域内应变能的体积密度函数并积分 2.通过形成一个位错所做的功确定
直螺型位错的应变能 应变能密度函数积分法
W L
=
G4bπ2 ln
rR0
直刃型位错的应变能
外力做功形成位错法
W L
=
Gb2 4π(1-ν)
螺型位错的模型
螺位错应力应变场分布
εxx =εyy =εzz
x2
y +
y2
εyz
=
b 4π
x2
x +
y2
σxx =σyy =σzz =σyx = 0
σxz
=
-
Gb 2π
x2
y +
y2
σyz
=
Gb 2π
x2
x +
y2
没有正应力和正应变，只有切应力和切应变
柱坐标下：
1.3 位错的弹性性质
弹性性质包含的内容
应力应变场 弹性应变能 位错的线张力 位错间作用力 位错与其它缺陷的作用
研究弹性性质的意义 弹性性质影响材料的性能
学习用建模的方法来研究 弹性性质
位错的弹性性质
z
而相应的切应力便为
b 2r
z z G z
Gb 2r
G称为剪切模量，其余应力分量均为0。
rr zz r r rz zr 0
若用直角坐标表示
螺型位错的应力场具有以下特点：
（1）只有切应力分量，正应力分量全为零，这表明螺位错 不引起晶体的膨胀和收缩。
第二个下标代表应力方向。
例如
xy
表示作用在x面上沿y轴方向的应力（所谓x 面就是外法线沿x轴方向的平面。
x x , y y 和 z z 三个正应力通常简写为 x , y 和 z
从以上讨论可知，要确定一点的应力状态，需要给出通 过该点的3个正交平面上的9个应力分量。
x , x y , x z , பைடு நூலகம் y , y x , y z , z , z x , z y
体表面的外法线方向相反，则此力为压力，它所产生的应力就 是压应力。拉应力和压应力都和作用面垂直，统称为正应力。 如果作用力平行于作用面，则此力称为剪力（切力），单 位面积上的剪力就称为剪应力，它力图改变物体的形状，而不
改变体积。
在一般情形下，作用力和作用面即不垂直，也不平行，此 时它所引起的应力就可以分为正应力和剪应力 。
物体中任意一点的应力状态均可用九个应力分量描述，图分
别用直角坐标和圆柱坐标说明这九个应力分量的表达方式。
(a)直角坐标； (b)圆柱坐标的正应力及切应力表示办法 物体中一点(图中放大为六面体)的应力分量
下面我们讨论应力的标注方 法及其意义。
表示正应力， 表示剪应力。
不同面和方向的应力下标区别， 第一个下标代表应力的作用面，
的大小与G和b成正比，与r成反比，即随着与位错距离的
东北大学材料科学基础_第三章__晶体的缺陷(五)位错的弹性性质
复习 应力
一、应力：
受力物体截面上内力的集度，即单位面积上的内力。
P1 P2 2 mΔ A
K
ΔF
P P3 3
P P4 4
K
Fk
s
m
F Fk A0 A lim
控制 Fk 复杂，按理论力学上分成两个分量
Fk
剪应力 MPa＝N/mm2 ＝ 10 6 Pa kg/cm2 ＝ 0.1 MPa
（a） 直角坐标系（xyz）
3个正应力分量(σxx， σyy σzz) 和 6个切应力分量 (τxy=τyx, τyz=τzy , τxz=τzx ) ； 下标中第1个字母表示应力 作用面的外法线方向 ，第 2字母表示应力的指向。
（b） 圆柱坐标系(
r z )
3 个正应力分量 (σθθ、
σzz、σrr) 和六个切应力分量
c. 单位长度混合位错的应变能：3.15式（P99）
简化上述各式得3.16式
结论：(P100)
(1) －(5)
（1） 刃型位错We 假设 x→x+dx ，那么 b'→ b'+db'.
Gb x( x 2 y 2 ) xy 2 (1 ) ( x 2 y 2 ) 2
zx zy 0
xy
Gb x( x 2 y 2 ) 2 (1 ) ( x 2 y 2 )2
zx zy 0
y2 ) )2
zx zy 0
刃位错应力场特点： ① 正应力分量和切应力分量同时存在。 ② 各应力分量都是x、 y的函数，而与z无关。 ③ 应力场以多余半原子面对称。 ④ y=0时, σ=0只有切应力而无正应力,切应力最大值Gb/[2(1υ)x] ⑤ y>0 时, σxx<0；y<0时, σxx>0 。说时正刃位错滑移面上部 受压,下部分受拉。 ⑥ 应力场中任意一点位置, |σxx| > |σyy| ⑦ x = ±y时及y轴上 σyy = τxy = 0，说明在直角坐标系中的对 角线处只有σxx ,而且在每条对角线的两侧, τxy及σyy 的符号相 反。 ⑧ 上述公式不能适用于刃位错的中心区。
位错理论3-位错的弹性性质
47同号位错稳定状态亚稳定状态48interactionedgedislocationxx使位错ii攀移的作用力分量xx为正应力分量对攀移起作用当y0在滑移面上fxx当y0在滑移面上fxx49interactionedgedislocation同号位错50imageforce当位错处于晶体表面附近时便有自动移向表面以降低应变能的趋势表面对位错具有吸引力假想力镜像力映象力晶体中位错移至表面消失两异号位错相互吸引相遇而抵消
31
Line tension of dislocation
位错的线张力：
因为位错的总应变能与位错线的长度成 正比； 所以为了降低系统的能量，必须有位错 线由曲变直，由长变短的自发倾向。
该倾向视为：一个张力沿位错线作用 位错线张力T定义：使位错线增长一 定长度dl所做的功W，即：
3 s E Ee 2
e e
所以，刃位错的弹性应变能比螺位错大50%
24
Strain energy of mixed dislocation
混合位错：
因为： b b b b cosq b sin q m e s
所以
2 2 2 2 Gb sin q R Gb cos q R m s e Ee Ee Ee ln ln 4 (1 ) r0 4 r0
20
Strain energy of screw dislocation 单位长度的螺位错的应变能Eess：
Gb R E ln 4 r0
S e
2
21
Strain energy of edge dislocation 刃位错Eee：
位错在滑移面上 （x方向）只有切 应力分量sqr 且q＝0
对于位错，除了位错中心严重畸变区外， 均适用于上述模型。
31
Line tension of dislocation
位错的线张力：
因为位错的总应变能与位错线的长度成 正比； 所以为了降低系统的能量，必须有位错 线由曲变直，由长变短的自发倾向。
该倾向视为：一个张力沿位错线作用 位错线张力T定义：使位错线增长一 定长度dl所做的功W，即：
3 s E Ee 2
e e
所以，刃位错的弹性应变能比螺位错大50%
24
Strain energy of mixed dislocation
混合位错：
因为： b b b b cosq b sin q m e s
所以
2 2 2 2 Gb sin q R Gb cos q R m s e Ee Ee Ee ln ln 4 (1 ) r0 4 r0
20
Strain energy of screw dislocation 单位长度的螺位错的应变能Eess：
Gb R E ln 4 r0
S e
2
21
Strain energy of edge dislocation 刃位错Eee：
位错在滑移面上 （x方向）只有切 应力分量sqr 且q＝0
对于位错，除了位错中心严重畸变区外， 均适用于上述模型。
位错的应力场与应变场分析
Gb x ( 2 ) 2 2 x y
xy 0 xx yy z z 0
Department of Mechanical Engineering
Tongling University
14
（2）刃型位错应力场
Department of Mechanical Engineering
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• 根据几何形态特征，可把晶体缺陷分为三类： • (1)点缺陷 、(2)线缺陷、(3) 面缺陷 • (1)点缺陷：特征是在三维空间的各个方向上的尺寸都很小 ，亦称为零维缺陷。如空位、间隙原子等。 • (2)线缺陷：特征是在两个方向上的尺寸很小，在一个方向 上的尺寸较大，亦称为一维缺陷。如晶体中的各类位错。 • (3) 面缺陷：特征是在一个方向上的尺寸很小，在另外两个 方向上的尺寸较大，亦称二维缺陷。如晶界、相界、层错、 晶体表面等。
xz
Gb y ( 2 ) 2 2 x y
yz
Gb x ( 2 ) 2 2 x y
xy 0
xx yy z z 0
2、圆柱坐标表示螺位错周围的应变分量：
z z
b 2r
rr z z 0
r r zr rz 0
Tongling University
刃型位错的应力场
• 建立刃型位错力学模型： • 模型中圆筒轴线对应刃位错位错线，圆筒空 心部对应位错的中心区。 • 刃位错应力场公式：
2 2 Gb y(3x 2 y 2 ) Gb y ( x y ) x y 2 (1 ) ( x 2 y 2 )2 2 (1 ) ( x 2 y 2 ) 2
第五章位错的弹性性质
第五章位错的弹性性质绪论：⑴固体弹性理论主要是研究各向同性的连续固体在弹性变形(质点和对位移很小)时应力和应变分布。
⑵①如果某部分物体受的作用力是沿物体表面(界面)的外法线方向，它所产生的应力就是拉应力。
②如果作用力和物体表面的外法线方向相反，则此力为压力，它所产生的应力就是压应力。
③拉应力和压应力都和作用面垂直，统称为正应力 5.1⑴直角坐标表示：⑵极坐标表示：⑶平衡状态，有切应力互等定律。
否则六面体将发生转动。
⑷应变分量： ⑸应力与应变：5.1位错的应力场1.位错周围的弹性应力场弹性体假设模型：⑴晶体是完全弹性体；⑵ 晶体是各向同性的；⑶ 晶体中没有空隙，由连续介质组成。
2.螺位错的应力场⑴圆柱体的应力场与位错线在z 轴，对圆柱体上各点产生两种切应力 从这个圆柱体中取一个半径为r 的薄壁圆筒展开，便能看出在离开中θθτ=τzz心r 处的切应变为由于圆柱只在z 轴方向有位移，在xy 方向都没有位移，所以其他分量都为0：螺位错应力场的特点： 采用直角坐标： ①只有切应力分量（σθz 、σz θ），而无正应力。
②螺位错产生的切应力大小只与r 的大小有关，即只与离位错线的距 离成反比，而与θ、z 无关。
其应力场关于位错线是对称的。
3刃位错的应力场直角坐标表示：刃位错应力场的特点：①同时存在着正应力与切应力;②刃型位错的应力场，对称于多余半原子面;③滑移面上无正应力，只有切应力，且其切应力最大。
④正刃型位错的滑移面上侧，在x 方向的正应力为压应力; 滑移面下侧，在x 方向上的正应力为拉应力⑤半原子面上或与滑移面成45°的晶面上，无切应力。
5.2位错的弹性能⑴单位体积正应变能：2E 21V u ε= 单位体积切应变能：2G 21V u γ⋅=⑵单位长度螺位错的弹性应变能为：02s r Rln 4Gb L u U π==⑶单位长度刃位错的弹性应变能为：（取υ＝1/3） r2b ⋅π⋅=γrGb G πγττθθ2z z =⋅==∴s U 23 s U 11U e =υ-=⑷混合位错的弹性能 ： 其中：0.5≤α≤1 ⑸结论①总应变能U T =U 0+U el ②U T ∝b2，晶体中具有最小b 的位错最稳定b 大的位错有可能分解成b 小的位错，以降低系统的能量③螺位错比刃位错易形成。
考研专业课：材料科学基础7 位错理论基础
5.位错滑移的点阵阻力（P-N力） 位错滑移会受到晶体点阵的阻力， 源自滑移面上下两层原子发生位移和错配导 致能量的变化，称其为点阵阻力，表示式为
b-位错柏氏矢量大小； W-称为位错宽度，一般w=(1-10)b。 位错受到的作用力大于点阵阻力时，才能进行 滑移。
晶体特性与P-N力： fcc结构的位错宽度大，其P-N力小，故其容易屈 服； bcc相反，其屈服应力大； 共价键和离子键晶体的位错宽度很小，所以表现 出硬而脆的特性。 滑移面滑移方向与P-N力： P-N力与(-d/b)成指数关系； 最密排面的面间距d最大，最密排方向的原子间 距最小(b最小)； 所以，位错滑移面和滑移方向通常是原子密排面 和密排方向。
3.弯曲位错的受力 外力作用下，两端固定的位错弯曲成曲率半径r, 产生力F : 平衡条件：
由于ds=rd,当ds很小时
故：
外力、位错 b、r间关系式。
7.3 位错与晶体缺陷间的交互作用 位错具有应力场，且可移动； 其它位错或点缺陷也有应力场， 位错与其它应力场会相互作用，产生作用力。 一.位错间的交互作用 1.两平行螺型位错的交互作用 在b1应力场作用下，b2 受力为
•当y＝0时(x轴上）, 若x＞0,则fx＞0; 若x＜0,则fx＜0。
结论：
同号位错相互排斥, 位错间距越小,排斥 力越大。
(b)攀移力fy
fy与y同号; 当位错d2在位错d1的滑移面上部时, 攀移力fy是 正值,即指向上;
当d2在d1滑移面下部时, fy为负值,即指向下。
因此,两位错沿y轴方向是互相排斥的。
(2)两个平行的异号刃型位错
• fx和fy的方向与同号位错时相反,
位错d2的稳定位臵和介稳位臵正好互相对换, |x|＝|y|时, d2处于稳定位臵。 • fy与y异号,
位错的弹性性质
9
公式应用： 当r 趋近于0时，应力发散，因而上述结果不适合位错 中心区域，即严重畸变区，线弹性理论不适用，这也 是弹性模型采用空心（半径为r0）圆柱的原因，空心 区域为核心区域。 当r和b接近时，应力达到理论切变强度，并且应变超 过10%，因而r0取值范围在b到4b之间，即绝大多数 r0≤1nm。
3
三.基础弹性力学知 识
物体中任意点的应力状态均 可用9个应力分量描述： 直角坐标系 正应力分量：
xx
、 yy 、 zz
yx xz
、 、 、 、 、
xy zx zy
切应力分量：
yz
下角标含义： 第一个符号表示应力作用面 法线方向，第二个符号表示 应力方向
4
圆柱坐标系
b 2r
Z Z G Z
Gb 2r
r rz zr 0
8
若用直角坐标表示：
yz
zy
zx
xz
Gb x 2 2 2 x ＋y Gb y 2 2 2 x ＋y
yy
xxBiblioteka zz
xy
yx
0
因此，螺型位错的应力场具有以下特点： （1）只有切应力方向，正应力分量全为零，这表明螺 型位错不会引起晶体的膨胀和收缩。 （ 2 ）螺型位错所产生的切应力分量只与 r 有关（成反 比），而与θ，z无关。只要r一定， τzθ 就是常数。螺 型位错应力场是径向对称的，即同一半径上的切应力 相等，随着与位错距离的增大，应力值减小。
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2
二.分析方法：
1.位错中心附近：畸变严重，须直接考虑晶体结构 和原子之间的相互作用； 2.远离位错中心区：畸变较小，可简化为连续弹性 介质，用线弹性理论进行处理，位错的畸变就以弹 性应力场和应变能形式表达。 理论基础：弹性连续介质模型 假设：1.晶体是完全弹性体，完全服从虎克定律， 即不 存在塑性变形； 2. 各向同性； 3. 连续介质，不存在结构间隙。
公式应用： 当r 趋近于0时，应力发散，因而上述结果不适合位错 中心区域，即严重畸变区，线弹性理论不适用，这也 是弹性模型采用空心（半径为r0）圆柱的原因，空心 区域为核心区域。 当r和b接近时，应力达到理论切变强度，并且应变超 过10%，因而r0取值范围在b到4b之间，即绝大多数 r0≤1nm。
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三.基础弹性力学知 识
物体中任意点的应力状态均 可用9个应力分量描述： 直角坐标系 正应力分量：
xx
、 yy 、 zz
yx xz
、 、 、 、 、
xy zx zy
切应力分量：
yz
下角标含义： 第一个符号表示应力作用面 法线方向，第二个符号表示 应力方向
4
圆柱坐标系
b 2r
Z Z G Z
Gb 2r
r rz zr 0
8
若用直角坐标表示：
yz
zy
zx
xz
Gb x 2 2 2 x ＋y Gb y 2 2 2 x ＋y
yy
xxBiblioteka zz
xy
yx
0
因此，螺型位错的应力场具有以下特点： （1）只有切应力方向，正应力分量全为零，这表明螺 型位错不会引起晶体的膨胀和收缩。 （ 2 ）螺型位错所产生的切应力分量只与 r 有关（成反 比），而与θ，z无关。只要r一定， τzθ 就是常数。螺 型位错应力场是径向对称的，即同一半径上的切应力 相等，随着与位错距离的增大，应力值减小。
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二.分析方法：
1.位错中心附近：畸变严重，须直接考虑晶体结构 和原子之间的相互作用； 2.远离位错中心区：畸变较小，可简化为连续弹性 介质，用线弹性理论进行处理，位错的畸变就以弹 性应力场和应变能形式表达。 理论基础：弹性连续介质模型 假设：1.晶体是完全弹性体，完全服从虎克定律， 即不 存在塑性变形； 2. 各向同性； 3. 连续介质，不存在结构间隙。
《材料科学基础》课件3.2.4位错的弹性性质
fy
b2
Gb1b2 y(3x 2 y 2 ) 2π(1 ) (x 2 y 2 )32
b2
Gb1b2 y(3x 2 y 2 ) 2π(1 ) (x 2 y 2 )2
2
1
4
3
2
1
4
平行刃位错和螺位错间的交互作用 因为平行的刃位错和螺位错的应力场没有重叠的分量，所
以，它们间的交互作用为零。
ES
Gb 2
4
ln
R r0
(2) 刃型位错应变能
单位长度刃型位错应变能
Ee
Gb2
4 (1
v)
ln
R r0
（3）混合位错的应变能
设混合位错的柏氏矢量b与位错线交角为θ，则：
be b sin, bs b cos
EM Ee ES
Gb2 sin2 lnR Gb2 cos2 lnR
4(1r) r0
a) 位错的应力场 位错线附近的原子偏离了正常位置，引起点阵畸变，从而产 生应力场。 （1）位错中心部，原子排列特别紊乱，超出弹性变形范围 （2）中心区外，应力场用各向同性连续介质弹性理论来处理。 （3）分析位错应力场时，常设想把中心区挖去，而在中心区以 外的区域采用弹性连续介质模型导出应力场公式。 假设：1.完全服从虎克定律，即不存在塑性变形；
定量计算2个位错间交互作用力的简单方法：把其中一个位错 （A）的应力场看作是另一位错（B）的“外加应力场”，这应力 场对B位错的作用力就是A位错对B位错的作用力。
两个平行螺位错间的交互作用
➢ S1和S2是2个平行z轴的螺位错，它们的柏氏矢量分别为b1和b2， S1位错在z轴， S2位错处在(r,θ)处。
如果作用力平行于作用面，则此力为剪力（切力），单位 面积上的切力被称为切应力。它力图改变物体的形状，而不 改变体积。
位错的应力场
(
)
σ
xx
= σ yy = σ zz = τ xy = τ yx = 0
(
)
二、位错应变能 （1）螺位错 E＝αGb2
说明：
1）位错线能量与b2成正比，可以晶体那些地方最容易
形成位错，b愈小，能量愈低，位错愈稳定； 2）由于位错存在弹性应变能，所以整个位错如同表面 张力，尽可能使自己趋向缩短，以便减小这种能量， 即弯曲位错线变直，环形位错线收缩以至消失。
γ θz 与 γ zθ , 且 γ θz = γ zθ , γ θz =
b 2π rBiblioteka 式中： G 为切变模量，其它应力 , 由虎克定律知，
τ θz = τ zθ = G γ θz =
Gb ， 2π r 分量均为 0，即
σ θθ ＝ σ rr = σ zz = 0 τ θ r = τ r θ = τ zr = τ rz = 0
第四节 位错的应力场
一、位错应力场
1.位错的连续介质模型 （1）应力分量
σ τ τ
xx τ xy τ xz yx σ yy τ yz zx τ zy σ zz
第1个下标表示应力作用面的外法线方向， 第2个下标表示应力指向
(2).应变分量 与六个独立应力分量对应，有六个独立应变分量 直角坐标系中：
柱坐标系中：
ε xx 三个正 ε yy 应变分量 ε zz
三个切 应变分量
γ xy γ xz γ yz
三个正 应变分量
ε rr εθθ ε zz
三个切 应变分量
γ rθ γ rz γ θz
z
2.螺形位错的应力场 圆柱体的应力场与 位错线在z轴，柏氏矢量 为b，滑移面为xOz的螺
b
r0 L
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1.3 位错的弹性性质
弹性性 弹性应变能 位错的线张力 位错间作用力 位错与其它缺陷的作用
研究弹性性质的意义 弹性性质影响材料的性能
学习用建模的方法来研究 弹性性质
复杂应力状态下的应力应变关系
1.单元体的应力应变分量（六个独立分量）
广义胡克定律给出应力与应变的关系
同时存在正应力分量与切 应力分量；
应力分布与z无关； 滑移面（y=0）只有切应 力； 多余半原子面处（x=0） 只有正应力 y>0处为压应力 y<0处为拉应力 Y=x，y=-x处，纯拉压状 态
刃位错的等应力曲线
单位G/400（1-ν）
混合位错的应力场
由其中的螺位错与刃位错的应力应变场叠加得 到
因何产生：
应变能 拉长位错线必增加应变能，线张力可抵抗该变化
1）直线位错的线张力 外力克服线张力T做功，会增加其弹性应变 能。直位错线伸长dl T *dl=（W/L）*dl T=W/L 即直线位错的线张力等于单位长度位错的应变能 2）曲线位错的线张力 T≈1/2 Gb2
位错的回复力 指线张力作用下曲线位错变直的力，指向 曲率中心
2.位错的应力应变场
螺位错的应力应变场
假设晶体是各向同性的均匀连续弹性介质，位错处 在无限大的连续介质中 优点：模型简单 缺点：中心区不适用，忽略晶体结构的影响
螺型位错的模型
螺位错应力应变场分布
ε xx =ε yy =ε zz =ε yx = 0 b y 4π x 2 + y 2 b x ε yz = 4π x 2 + y 2 ε xz = σxx =σyy =σzz =σyx = 0 Gb y 2π x 2 + y 2 Gb x σyz = 2π x 2 + y 2 没有正应力和正应变，只有切应力和切应变 σxz = -
1 [σxx (σyy σzz )] E 1 εyy [σyy (σxx σzz )] E 1 εzz [σzz (σxx σyy )] E 1 εyz σyz 2G 1 εzx σzx 2G 1 εyy σxy 2G εxx
σxx = (λ+ 2G)εxx +λεyy +λεzz σyy =λεxx + (λ+ 2G)εyy +λεzz σzz =λεxx +λεyy + (λ+ 2G)εzz σxy = 2Gεxy σxz = 2Gεxz σyz = 2Gεyz 其中G = E/2（1 +ν）
2 Gb f '= 2r
TEM下的刃型位错
柱坐标下：
σrr =σ =σzz =σ =σzr = 0 θθ rθ σ = Gb θz 2πr ε = b θz 4πr
特点：只有切应力，没有正应力 应力应变中心对称（与θ无关） 应力应变与r反比
刃型位错的应力应变场
刃型位错的应力场
D=
Gb 2π（1-ν）
进一步可由胡克定律求出应变
刃型位错的应力场分布
直刃型位错的应变能 外力做功形成位错法
W = Gb2 ln R L 4π(1-ν) r0
刃型位错的应变能大于螺型位错的应变能。
混合位错的应变能 将b分解后分别求螺型、刃型分量的应变能后 叠加
( W )m ∝ b2 L 因此b可反映位错的强度 位错可以通过分解或合成反应降低应变能
4.位错的线张力
1 r
3.位错的应变能
因何而生： 畸变。 又称自能 E=Ec+Ee 忽略较小的错排能Ec，E=Ee 表示为；W/L——单位长度位错线的能量
如何求解： 1.找出区域内应变能的体积密度函数并积分 2.通过形成一个位错所做的功确定
直螺型位错的应变能 应变能密度函数积分法
W = Gb2 ln R L 4π r0
弹性性 弹性应变能 位错的线张力 位错间作用力 位错与其它缺陷的作用
研究弹性性质的意义 弹性性质影响材料的性能
学习用建模的方法来研究 弹性性质
复杂应力状态下的应力应变关系
1.单元体的应力应变分量（六个独立分量）
广义胡克定律给出应力与应变的关系
同时存在正应力分量与切 应力分量；
应力分布与z无关； 滑移面（y=0）只有切应 力； 多余半原子面处（x=0） 只有正应力 y>0处为压应力 y<0处为拉应力 Y=x，y=-x处，纯拉压状 态
刃位错的等应力曲线
单位G/400（1-ν）
混合位错的应力场
由其中的螺位错与刃位错的应力应变场叠加得 到
因何产生：
应变能 拉长位错线必增加应变能，线张力可抵抗该变化
1）直线位错的线张力 外力克服线张力T做功，会增加其弹性应变 能。直位错线伸长dl T *dl=（W/L）*dl T=W/L 即直线位错的线张力等于单位长度位错的应变能 2）曲线位错的线张力 T≈1/2 Gb2
位错的回复力 指线张力作用下曲线位错变直的力，指向 曲率中心
2.位错的应力应变场
螺位错的应力应变场
假设晶体是各向同性的均匀连续弹性介质，位错处 在无限大的连续介质中 优点：模型简单 缺点：中心区不适用，忽略晶体结构的影响
螺型位错的模型
螺位错应力应变场分布
ε xx =ε yy =ε zz =ε yx = 0 b y 4π x 2 + y 2 b x ε yz = 4π x 2 + y 2 ε xz = σxx =σyy =σzz =σyx = 0 Gb y 2π x 2 + y 2 Gb x σyz = 2π x 2 + y 2 没有正应力和正应变，只有切应力和切应变 σxz = -
1 [σxx (σyy σzz )] E 1 εyy [σyy (σxx σzz )] E 1 εzz [σzz (σxx σyy )] E 1 εyz σyz 2G 1 εzx σzx 2G 1 εyy σxy 2G εxx
σxx = (λ+ 2G)εxx +λεyy +λεzz σyy =λεxx + (λ+ 2G)εyy +λεzz σzz =λεxx +λεyy + (λ+ 2G)εzz σxy = 2Gεxy σxz = 2Gεxz σyz = 2Gεyz 其中G = E/2（1 +ν）
2 Gb f '= 2r
TEM下的刃型位错
柱坐标下：
σrr =σ =σzz =σ =σzr = 0 θθ rθ σ = Gb θz 2πr ε = b θz 4πr
特点：只有切应力，没有正应力 应力应变中心对称（与θ无关） 应力应变与r反比
刃型位错的应力应变场
刃型位错的应力场
D=
Gb 2π（1-ν）
进一步可由胡克定律求出应变
刃型位错的应力场分布
直刃型位错的应变能 外力做功形成位错法
W = Gb2 ln R L 4π(1-ν) r0
刃型位错的应变能大于螺型位错的应变能。
混合位错的应变能 将b分解后分别求螺型、刃型分量的应变能后 叠加
( W )m ∝ b2 L 因此b可反映位错的强度 位错可以通过分解或合成反应降低应变能
4.位错的线张力
1 r
3.位错的应变能
因何而生： 畸变。 又称自能 E=Ec+Ee 忽略较小的错排能Ec，E=Ee 表示为；W/L——单位长度位错线的能量
如何求解： 1.找出区域内应变能的体积密度函数并积分 2.通过形成一个位错所做的功确定
直螺型位错的应变能 应变能密度函数积分法
W = Gb2 ln R L 4π r0