高考数学总复习教学课件第七章 立体几何与空间向量第1节 立体图形及其直观图、简单几何体的表面积与体积
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A.6 cm
B.8 cm
√
C.(2+3 )cm
D.(2+2 )cm
)
解析:(2)如图,OA=1 cm,
在Rt△OAB中,
OB=2O′B′=2 cm,
所以AB= + =3 cm.
所以四边形OABC的周长为8 cm.故选B.
考点二
简单几何体的表面积与体积(多维探究)
角度一
简单几何体的表面积
又− =FC·正方形 ·=1×2×2×=,− =AD·S△DEF·=2×2×2××
=
,
=
=
.故选
B.
四面体−
考点三
折叠与展开问题
[例2] (1)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的表面
积与侧面积的比值为(
+
A.
√
+
B.
)
+
C.
+
D.
解析:(1)设圆柱的底面半径为r,高为h,则h=2πr,所以表面积与侧
面积的比值为
() + +
()
=
.故选A.
(2)某几何体的直观图如图所示,则该几何体的表面积为(
OC,PC,有 OC⊥AB,PC⊥AB,如图所示,∠ABO=30°,OC= ,AB=2BC=3,
由△PAB 的面积为
于是 PO=
,得×3·PC=
- =
(
)
,解得 PC=
-( ) =
,
,
所以圆锥的体积为 V= π·OA ·PO= π×( ) × = π.故选 B.
②分割法:把不规则的几何体分割成规则的几何体.当规则的几何
体用公式不易求出时,可将其分割转化成比较好求体积的几何体.
大多数情况下,可以把不规则几何体分割为三棱锥或四棱锥,从四
棱锥底面对角线或几何体表面四边形对角线处寻找分割的
“刀口”.
[针对训练]
(1)(角度一)在△ABC中,已知AB⊥BC,AB=BC=2.现将△ABC绕边AC旋
BC∥x轴,所以△ABC是直角三角形.故选D.
3.(2024·天津模拟)已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径,则
球与圆柱的体积比是(
√
A.2∶3
B.3∶2
C.4∶3
)
D.3∶4
解析:设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R,因为V 球 =
3,V
2·2R=2πR3,所以V ∶V
3∶2πR3=2∶3.
平行六面体
正四棱柱
直平行六面体
正方体
2.平面图形的直观图与原平面图形面积间关系 S 直观图= S 原图形.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)棱台的侧面一定不会是平行四边形.(
√ )
(2)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.(
× )
(3)由四个面围成的多面体只能是三棱锥.( √ )
(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别 平行于坐标轴.
平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度 不变 ,平行于y轴的
线段长度在直观图中变为原来的 一半 .
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
名称
圆柱
圆锥
圆台
S圆柱侧= 2πrl .
S圆锥侧= πrl .
S圆台侧= π(r′+r)l .
由题意知 FC= =1,四面体− =V 多面体 ABCDEF-− -− .
因为− =ED·S 正方形 ABCD·=2×2×2×=,− =BC·S△EFC·=2×2×1××
= ,所以 V 多面体 ABCDEF= + = .
接部分的处理.
角度二
简单几何体的体积
[例3] (1)(2023·全国乙卷)已知圆锥PO的底面半径为 ,O为底面
圆心,PA,PB为圆锥的母线,∠AOB=120°,若△PAB的面积等于
,则
该圆锥的体积为(
A.π
B. π
√
)
C.3π
D.3 π
解析:(1)在△AOB 中,∠AOB=120°,而 OA=OB= ,取 AB 的中点 C,连接
B.底面是正多边形的棱锥是正棱锥
C.有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台
D.直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转,其余两边旋转一周形
√
成的面所围成的旋转体是圆锥
解析:(1)因为正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱,所以正四棱柱
是长方体,故选项A正确;
因为底面是正多边形,并且顶点在底面内的射影是底面中心,这样
AB= ,故 AM=AO-A1O1= ,则 A1M=
积为 V= ×(4+1+ × )× =
.
- =
- = ,所以所求体
(1)求规则几何体的体积,主要是先找准关键的已知量,求必需的未
知量,再利用“直接法”代入体积公式计算.
(2)求不规则几何体的体积
当一个几何体的形状不规则时,常通过分割或者补形的手段将此几
何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体,然后再计算.
①把不规则的几何体补成规则的几何体,便于计算.
常见的补形有:
a.将正四面体补形成正方体;
b.将等腰四面体(对棱相等)补形成长方体;
c.将三条棱两两相互垂直且相等的三棱锥补成正方体;
d.将台体补形成锥体等.
2
2
(2)(2023·新课标Ⅰ卷)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1,
AA1= ,则该棱台的体积为
.
解析:(2)如图,过A1 作A1M⊥AC,垂足为M,易知A1M为四棱台ABCD-
A1B1C1D1的高,
因为 AB=2,A 1 B 1 =1,AA 1 = ,则 A 1 O 1 = A 1 C 1 = × A 1 B 1 = ,AO= AC= ×
全等的
矩形
轴截面
全等的
. 等腰三角形
.
矩形 .
扇形 .
侧面展开图
延长线交于
一点 .
全等的
等腰梯形 .
扇环 .
—
圆 .
—
2.直观图
空间几何体的直观图常用 斜二测 画法来画,其规则是:(1)原图形
中x轴、y轴、z轴两两相互垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为
45°(或135°) ,z′轴与x′轴、y′轴所在平面 垂直 .
时,要注意“还台为锥”的解题策略.
(4)画几何体的直观图一般采用斜二测画法,其规则可以用“斜”
(x轴和y轴成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减
半,平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握.
[针对训练]
(1)(多选题)(2024·浙江金华调研)下面关于空间几何体叙述正确
的是(
)
√
A.正四棱柱是长方体
侧面展
开图
侧面积
公式
4.空间几何体的表面积与体积公式
名称
几何体
表面积
柱体(棱柱和圆柱)
锥体Hale Waihona Puke 棱锥和圆锥)台体(棱台和圆台)
球
S表面积=S侧+2S底
S表面积=S侧+S底
S表面积=S侧+S上+S下
2
4πR
S=
.
体积
S
·h
底
V=
.
V=
S底·h
V= h(S上+S下+ 上 下)
V= πR3
(4)用一个平行于底面的平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.
( √ )
(5)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.(
√ )
2.(必修第二册P109例2改编)如图所示,直观图所表示的平面图形
是(
)
A.正三角形
B.锐角三角形
√
C.钝角三角形 D.直角三角形
解析:由直观图中A′C′∥y′轴,B′C′∥x′轴,还原后AC∥y轴,
圆台、圆柱、圆锥的转化:当圆台的上底面半径与下底面半径相等
时,得到圆柱;当圆台的上底面半径为零时,得到圆锥.
S圆柱侧=2πrl
V 圆柱=S 底·h
S圆台侧=π(r+r′)l
S圆锥侧=πrl.
V 圆台= h(S 上+S 下+ 上 下 )
V 圆锥= S 底·h.
1.特殊的四棱柱
四棱柱
长方体
A.36+12π
√
C.36+16π
D.40+16π
)
B.40+12π
解析:(2)由题意可知几何体的表面积为4×2×4+2×2×2+4π+
×4π×4=40+12π.故选B.
(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用,并弄
清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系.
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔
转一周,则所得到的旋转体的表面积是(
A.2π
)
B.2 π
√
C.3 π D.4 π
解析:(1)由题知该几何体为两个圆锥底对底组合在一起,其中
圆锥母线长 L=2,圆锥底面半径 R= ,所以 S=2×π× ×2=
4 π.故选 D.
(2)(角度二)如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,ED⊥平面ABCD,
的棱锥叫做正棱锥,故选项B错误;
由棱台的定义,棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面间的部
分叫做棱台,故选项C错误;
直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转,其余两边旋转一周形成
的面所围成的旋转体是圆锥,故选项D正确.故选AD.
(2)正方形O′A′B′C′的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面
图形的直观图(如图),则原图形的周长是(
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称
棱柱
棱锥
棱台
互相 平行 且 全等 .
多边形
互相 平行 且相似
图形
底面
侧棱
平行且相等 .
侧面形状
平行四边形 .
相交于 一点 但不
一定相等
三角形.
延长线交于 一点 .
梯形 .
(2)旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
平行、相等且
垂直 于底面
相交于 一点 .
第
七
章
[课程标准要求]
1.利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形,认识柱体、锥体、
台体、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实
生活中简单物体的结构.2.了解球、柱体、锥体、台体的表面积和
体积的计算公式. 3.会用斜二测画法画出简单空间图形的直观图.
积累·必备知识
回顾教材,夯实四基
FC⊥平面ABCD,ED=2FC=2,则四面体A-BEF的体积为(
A.
B.
√
C.1 D.
)
解析:(2)因为 ED⊥平面 ABCD,且 AD⊂平面 ABCD,所以 ED⊥AD.
因为在正方形 ABCD 中,AD⊥DC,而 DC∩ED=D,DC⊂平面 CDEF,ED⊂平面 CDEF,
所以 AD⊥平面 CDEF.连接 EC,DF(图略),
平面图形的面积 S=2 S′=2+ .故选 D.
,其
(1)关于空间几何体的结构,辨析关键是紧扣各种几何体的概念,善
于通过举反例对概念进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只需
举一个反例.
(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上,解题时要注
意用好轴截面中各元素的关系.
(3)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的,所以在解决棱(圆)台问题
由于棱台的两个底面相似,其中较小的面叫做上底面,较大的面叫
做下底面,所以D错误.故选AB.
(2)一个水平放置的平面图形按斜二测画法得到的直观图是一个底
角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积为
(
)
A.+
B.1+
C.1+
D.2+
√
+
解析:(2)如图,直观图的面积 S′= ×(1+1+ )× =
√
C.圆锥、圆台的底面都是圆,母线都与底面垂直
D.位于上方的面是棱台的上底面,位于下方的面是棱台的下底面
解析:(1)一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴,旋转180°所形
成的几何体是圆柱,所以A正确;
根据圆台的定义,可得圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台,
所以B正确;
圆锥、圆台的母线都不与底面垂直,所以C错误;
+ = ,故该圆锥的侧面
5.(2023·新课标Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的
平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体
积为 28
.
解析:由于 = ,而截去的正四棱锥的高为3,所以原正四棱锥的高
为6,
所以原正四棱锥的体积为 ×(4×4)×6=32,
πR
=πR
=
πR
圆柱
球
圆柱
故选A.
4.(2021·全国甲卷)已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30π,
则该圆锥的侧面积为 39π .
2
解析:设该圆锥的高为 h,则由已知条件可得×π×6 ·h=30π,解
得 h=,则圆锥的母线长为
积为π×6× =39π.
+
=
截去的正四棱锥的体积为 ×(2×2)×3=4,
所以棱台的体积为32-4=28.
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
空间几何体的结构特征、直观图
[例1] (1)(多选题)下列说法正确的是(
)
A.一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴,旋转180°所形成的几何
√
体是圆柱
B.圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台
B.8 cm
√
C.(2+3 )cm
D.(2+2 )cm
)
解析:(2)如图,OA=1 cm,
在Rt△OAB中,
OB=2O′B′=2 cm,
所以AB= + =3 cm.
所以四边形OABC的周长为8 cm.故选B.
考点二
简单几何体的表面积与体积(多维探究)
角度一
简单几何体的表面积
又− =FC·正方形 ·=1×2×2×=,− =AD·S△DEF·=2×2×2××
=
,
=
=
.故选
B.
四面体−
考点三
折叠与展开问题
[例2] (1)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的表面
积与侧面积的比值为(
+
A.
√
+
B.
)
+
C.
+
D.
解析:(1)设圆柱的底面半径为r,高为h,则h=2πr,所以表面积与侧
面积的比值为
() + +
()
=
.故选A.
(2)某几何体的直观图如图所示,则该几何体的表面积为(
OC,PC,有 OC⊥AB,PC⊥AB,如图所示,∠ABO=30°,OC= ,AB=2BC=3,
由△PAB 的面积为
于是 PO=
,得×3·PC=
- =
(
)
,解得 PC=
-( ) =
,
,
所以圆锥的体积为 V= π·OA ·PO= π×( ) × = π.故选 B.
②分割法:把不规则的几何体分割成规则的几何体.当规则的几何
体用公式不易求出时,可将其分割转化成比较好求体积的几何体.
大多数情况下,可以把不规则几何体分割为三棱锥或四棱锥,从四
棱锥底面对角线或几何体表面四边形对角线处寻找分割的
“刀口”.
[针对训练]
(1)(角度一)在△ABC中,已知AB⊥BC,AB=BC=2.现将△ABC绕边AC旋
BC∥x轴,所以△ABC是直角三角形.故选D.
3.(2024·天津模拟)已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径,则
球与圆柱的体积比是(
√
A.2∶3
B.3∶2
C.4∶3
)
D.3∶4
解析:设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R,因为V 球 =
3,V
2·2R=2πR3,所以V ∶V
3∶2πR3=2∶3.
平行六面体
正四棱柱
直平行六面体
正方体
2.平面图形的直观图与原平面图形面积间关系 S 直观图= S 原图形.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)棱台的侧面一定不会是平行四边形.(
√ )
(2)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.(
× )
(3)由四个面围成的多面体只能是三棱锥.( √ )
(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别 平行于坐标轴.
平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度 不变 ,平行于y轴的
线段长度在直观图中变为原来的 一半 .
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
名称
圆柱
圆锥
圆台
S圆柱侧= 2πrl .
S圆锥侧= πrl .
S圆台侧= π(r′+r)l .
由题意知 FC= =1,四面体− =V 多面体 ABCDEF-− -− .
因为− =ED·S 正方形 ABCD·=2×2×2×=,− =BC·S△EFC·=2×2×1××
= ,所以 V 多面体 ABCDEF= + = .
接部分的处理.
角度二
简单几何体的体积
[例3] (1)(2023·全国乙卷)已知圆锥PO的底面半径为 ,O为底面
圆心,PA,PB为圆锥的母线,∠AOB=120°,若△PAB的面积等于
,则
该圆锥的体积为(
A.π
B. π
√
)
C.3π
D.3 π
解析:(1)在△AOB 中,∠AOB=120°,而 OA=OB= ,取 AB 的中点 C,连接
B.底面是正多边形的棱锥是正棱锥
C.有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台
D.直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转,其余两边旋转一周形
√
成的面所围成的旋转体是圆锥
解析:(1)因为正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱,所以正四棱柱
是长方体,故选项A正确;
因为底面是正多边形,并且顶点在底面内的射影是底面中心,这样
AB= ,故 AM=AO-A1O1= ,则 A1M=
积为 V= ×(4+1+ × )× =
.
- =
- = ,所以所求体
(1)求规则几何体的体积,主要是先找准关键的已知量,求必需的未
知量,再利用“直接法”代入体积公式计算.
(2)求不规则几何体的体积
当一个几何体的形状不规则时,常通过分割或者补形的手段将此几
何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体,然后再计算.
①把不规则的几何体补成规则的几何体,便于计算.
常见的补形有:
a.将正四面体补形成正方体;
b.将等腰四面体(对棱相等)补形成长方体;
c.将三条棱两两相互垂直且相等的三棱锥补成正方体;
d.将台体补形成锥体等.
2
2
(2)(2023·新课标Ⅰ卷)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1,
AA1= ,则该棱台的体积为
.
解析:(2)如图,过A1 作A1M⊥AC,垂足为M,易知A1M为四棱台ABCD-
A1B1C1D1的高,
因为 AB=2,A 1 B 1 =1,AA 1 = ,则 A 1 O 1 = A 1 C 1 = × A 1 B 1 = ,AO= AC= ×
全等的
矩形
轴截面
全等的
. 等腰三角形
.
矩形 .
扇形 .
侧面展开图
延长线交于
一点 .
全等的
等腰梯形 .
扇环 .
—
圆 .
—
2.直观图
空间几何体的直观图常用 斜二测 画法来画,其规则是:(1)原图形
中x轴、y轴、z轴两两相互垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为
45°(或135°) ,z′轴与x′轴、y′轴所在平面 垂直 .
时,要注意“还台为锥”的解题策略.
(4)画几何体的直观图一般采用斜二测画法,其规则可以用“斜”
(x轴和y轴成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减
半,平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握.
[针对训练]
(1)(多选题)(2024·浙江金华调研)下面关于空间几何体叙述正确
的是(
)
√
A.正四棱柱是长方体
侧面展
开图
侧面积
公式
4.空间几何体的表面积与体积公式
名称
几何体
表面积
柱体(棱柱和圆柱)
锥体Hale Waihona Puke 棱锥和圆锥)台体(棱台和圆台)
球
S表面积=S侧+2S底
S表面积=S侧+S底
S表面积=S侧+S上+S下
2
4πR
S=
.
体积
S
·h
底
V=
.
V=
S底·h
V= h(S上+S下+ 上 下)
V= πR3
(4)用一个平行于底面的平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.
( √ )
(5)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.(
√ )
2.(必修第二册P109例2改编)如图所示,直观图所表示的平面图形
是(
)
A.正三角形
B.锐角三角形
√
C.钝角三角形 D.直角三角形
解析:由直观图中A′C′∥y′轴,B′C′∥x′轴,还原后AC∥y轴,
圆台、圆柱、圆锥的转化:当圆台的上底面半径与下底面半径相等
时,得到圆柱;当圆台的上底面半径为零时,得到圆锥.
S圆柱侧=2πrl
V 圆柱=S 底·h
S圆台侧=π(r+r′)l
S圆锥侧=πrl.
V 圆台= h(S 上+S 下+ 上 下 )
V 圆锥= S 底·h.
1.特殊的四棱柱
四棱柱
长方体
A.36+12π
√
C.36+16π
D.40+16π
)
B.40+12π
解析:(2)由题意可知几何体的表面积为4×2×4+2×2×2+4π+
×4π×4=40+12π.故选B.
(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用,并弄
清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系.
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔
转一周,则所得到的旋转体的表面积是(
A.2π
)
B.2 π
√
C.3 π D.4 π
解析:(1)由题知该几何体为两个圆锥底对底组合在一起,其中
圆锥母线长 L=2,圆锥底面半径 R= ,所以 S=2×π× ×2=
4 π.故选 D.
(2)(角度二)如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,ED⊥平面ABCD,
的棱锥叫做正棱锥,故选项B错误;
由棱台的定义,棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面间的部
分叫做棱台,故选项C错误;
直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转,其余两边旋转一周形成
的面所围成的旋转体是圆锥,故选项D正确.故选AD.
(2)正方形O′A′B′C′的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面
图形的直观图(如图),则原图形的周长是(
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称
棱柱
棱锥
棱台
互相 平行 且 全等 .
多边形
互相 平行 且相似
图形
底面
侧棱
平行且相等 .
侧面形状
平行四边形 .
相交于 一点 但不
一定相等
三角形.
延长线交于 一点 .
梯形 .
(2)旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
平行、相等且
垂直 于底面
相交于 一点 .
第
七
章
[课程标准要求]
1.利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形,认识柱体、锥体、
台体、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实
生活中简单物体的结构.2.了解球、柱体、锥体、台体的表面积和
体积的计算公式. 3.会用斜二测画法画出简单空间图形的直观图.
积累·必备知识
回顾教材,夯实四基
FC⊥平面ABCD,ED=2FC=2,则四面体A-BEF的体积为(
A.
B.
√
C.1 D.
)
解析:(2)因为 ED⊥平面 ABCD,且 AD⊂平面 ABCD,所以 ED⊥AD.
因为在正方形 ABCD 中,AD⊥DC,而 DC∩ED=D,DC⊂平面 CDEF,ED⊂平面 CDEF,
所以 AD⊥平面 CDEF.连接 EC,DF(图略),
平面图形的面积 S=2 S′=2+ .故选 D.
,其
(1)关于空间几何体的结构,辨析关键是紧扣各种几何体的概念,善
于通过举反例对概念进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只需
举一个反例.
(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上,解题时要注
意用好轴截面中各元素的关系.
(3)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的,所以在解决棱(圆)台问题
由于棱台的两个底面相似,其中较小的面叫做上底面,较大的面叫
做下底面,所以D错误.故选AB.
(2)一个水平放置的平面图形按斜二测画法得到的直观图是一个底
角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积为
(
)
A.+
B.1+
C.1+
D.2+
√
+
解析:(2)如图,直观图的面积 S′= ×(1+1+ )× =
√
C.圆锥、圆台的底面都是圆,母线都与底面垂直
D.位于上方的面是棱台的上底面,位于下方的面是棱台的下底面
解析:(1)一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴,旋转180°所形
成的几何体是圆柱,所以A正确;
根据圆台的定义,可得圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台,
所以B正确;
圆锥、圆台的母线都不与底面垂直,所以C错误;
+ = ,故该圆锥的侧面
5.(2023·新课标Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的
平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体
积为 28
.
解析:由于 = ,而截去的正四棱锥的高为3,所以原正四棱锥的高
为6,
所以原正四棱锥的体积为 ×(4×4)×6=32,
πR
=πR
=
πR
圆柱
球
圆柱
故选A.
4.(2021·全国甲卷)已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30π,
则该圆锥的侧面积为 39π .
2
解析:设该圆锥的高为 h,则由已知条件可得×π×6 ·h=30π,解
得 h=,则圆锥的母线长为
积为π×6× =39π.
+
=
截去的正四棱锥的体积为 ×(2×2)×3=4,
所以棱台的体积为32-4=28.
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
空间几何体的结构特征、直观图
[例1] (1)(多选题)下列说法正确的是(
)
A.一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴,旋转180°所形成的几何
√
体是圆柱
B.圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台