高等数学级数1(2)

数 及 其 审 敛 法
常数项级数的审敛法
sn 1
n
1
dx 1 1 1 (1 p1 ) 1 p 1 x p1 n p1

1 即sn有界, 则p 级数 p 收敛.( p 1) n 1 n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 p p p p p p p p 3 4 5 6 7 8 15 2
n 1

1 推论2 若 un ,如果有 p 1, 使un p ( n 1,2,). n 1 n

则 un收 敛;
n 1
1 如 果un ( n 1,2, ), 则 un发 散. n n 1

正 项 级 数 及 其 审 敛 法
例3 讨论下列正项级数的敛散性.
常数项级数的审敛法
注 1. 根值法条件是充分的, 但非必要.
由 un , ( un 0) 收敛 lim un 1
n
n 1
n
2. 凡涉及证明的命题一般不可用比值法与
根值法, 而只能用比较法.
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
常数项级数的审敛法
由 un ,( un 0) 收敛 lim
常数项级数的审敛法
un lim l , n v n (1) 当0 l 时,两级数有相同的敛散性
un 证 (1) 由lim l n v n
l 取 0 2 l un l N , 当n N时, l l 2 vn 2
(n N )
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
故级数 1 cos 收敛. n n 1

ln n ( 2) 判 定 级 数 的敛散性 . 2 n 1 n
ln n 2 ln n n 解 lim lim 0 n n n 1
n3 2

1 而级数 3 2 收敛, n 1 n
ln n 故 2 收 敛. n 1 n

用比较审敛法
1 1 1 则p 级数 n p 发散.当n 1 x n时, 有 p p n 1 n x n dx n dx 1 正 (2) 设 p 1, p 项 p p n 1 x 级 n 1 n n

2 dx n dx 1 1 1 sn 1 p p p 1 p 1 x n 1 x p 2 3 n
所以, 原级数 发散.
常数项级数的审敛法
4.比较审敛法的极限形式
, 如果 定理3 设 un与 v n都 是 正 项 级 数


un lim l , 则 n v n
n 1
n 1
(1) 当0 l 时, 两级数有相同的敛散性;
(2) 当l 0时,若 v n收 敛, 则 un收 敛;
常数项级数的审敛法
定理1(基本定理) 正项级数收敛 部分和所成的数列 sn 有界.
( sn s )
注 正项级数可以任意加括号,其敛散性不变,
对收敛的正项级数,其和也不变.
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
常数项级数的审敛法
正项级数收敛 部分和所成的数列 sn 有界.
1 1 解 由于 2n 1 n , 故级数的部分和 2 1 1 1 Sn 2 n 21 2 1 2 1
( kun vn ) 则 v n 收敛 (发散)
n 1

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比较审敛法的不便: 须有参考级数.
常数项级数的审敛法
例 讨论 p 级数
1 调和级数 发散 n 1 n

1 1 1 1 p p p 的收敛性. ( p 0) 2 3 n
1 1 解 (1) 设 p 1, p n n

正 项 级 数 及 其 审 敛 法
常数项级数的审敛法
例6 讨论级数的敛散性
n n n 1 2

正 项 级 数 及 其 审 敛 法
常数项级数的审敛法
例7 讨论级数的敛散性
a n! (a 0) n n 1 n
正 项 级 数 及 其 审 敛 法

n
常数项级数的审敛法
柯西(Cauchy) (法)1789–1857
收敛
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
若0 un vn ,
un 发散 v n 发散 n 1
n 1


证 设 sn ( n )
且 un vn
不是有界数列
定理证毕.
则 n sn
v n 发散 n 1
n 1
推论1 若 un 收敛 (发散) 且vn kun (n N , k 0)
敛散性相同 ;
n 1 n 1


(2) 若un是vn的高阶无穷小 , 则级数 vn收 敛 时,
级 数 un必 收 敛 ;
n 1 n 1

(3) 若un是vn的低阶无穷小 , 则级数 vn发 散 时,
级 数 un必 发 散 .
n 1
n 1
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
n 1

1 n( n 1)
当p 1时, 收敛 1 p , p 级数 n 1 n 当p 1时, 发散

1 1 解 因为 un 3 2 n( n 1) n 1 3
而

1 ( n 1)
2 3
n 1

n2

1 n
2 3
是发散的p-级数.
由比较审敛法
1 1 1 1 2 n 1 n 2 2 2 2
1 例 判定 2n 1 的敛散性. n 1

1
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
由定理1知,该正项级数收敛.
这个例启示我们:判定一个正项级数的敛散性,
可与另一个已知敛散性的正项级数比较来确定.
常数项级数的审敛法
3. 比较审敛法

当p 1时, 收敛 p 级数 当p 1时, 发散
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
常数项级数的审敛法
使用正项级数的比较判定法时, 需要知道
一些级数的敛散性, 作为比较的标准. 常用的比较级数
当 q 1时, 收敛 (1) 几何级数 aq n 0 当 q 1时, 发散 1 当p 1时, 收敛 (2) p-级数 p n 1 n 当p 1时, 发散
定理2 若0 un vn , 则

v n 收敛 un 收敛 n 1 n 1 un 发散 v n 发散 n 1
n 1

证
un vn
sn u1 u2 un v1 v2 vn
即部分和数列有界.
u
n 1

n
常数项级数的审敛法
1
1 2
p 1

1 4
p 1

1 8
2
p 1

3
1 1 1 p 1 p 1 p 1 2 2 2 1 这是收敛的等比级数, 公比 q p 1 1. 2 1
1 故由比较判别法知 p>1时, p--级数 p 收敛. n 1 n
形式.
2. 若用比值判别法判定级数发散 ( 1)时, 级数的通项un不趋于零. 后面将用到这一点. un1 3. 一旦出现ρ=1 或 lim 不存在时, n u n 要用其它方法判定. 4. 条件是充分的, 但非必要.
un1 1 由 un , ( un 0) 收敛 lim n u n n 1
l 3l 即 0 v n un v n 2 2
由比较审敛法的推论, 得证.
例4 判定下列级数的敛散性 1 1 ( 2) n (1) sin n n 1 3 n n 1
1 sin n 解 (1) lim 1 比较审敛法的极限形式, 发散 n 1 n 1 n 1 3 n ( 2) lim lim 1 n n n 1 1 n n 3 3
第二节
常数项级数的审敛法
constant term infinite series
正项级数及其审敛法 交错级数及其审敛法
绝对收敛与条件收敛
小结 思考题
第十一章 无穷级数
作业
1
常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
positive term series
1. 定义
un n 1

un 0
正项级数
n 1 n 1
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
(3) 当l 时, 若 v n发 散, 则 un发 散.
n 1 n 1


常数项级数的审敛法
当un 0, vn 0时,比较判别法的实质是
通项无穷小比阶 .
(1) 若un , vn是 同 阶 无 穷 小 ,两个级数 un和 vn
n 1
证略
un1 lim 1 n u n 1
1
un 收敛 n 1

方法失效
un 发散 n 1

比值审敛法的优点: 不必找参考级数.
由级数本身就能断定敛散性.
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
常数项级数的审敛法
注
1. 适用于 un中 含有n!或关于n 的若干连乘积(或商)
2. 收敛的充要条件
s1 s2 sn
这时,只可能有两种情形:
单调增加数列

. (1) 当n 时, sn . 级 数 un必 发 散
( 2) 若{ sn }有上界, 即sn (正常数 ) lim sn s
n
n 1
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
(1) 2 sin
n n 1


3
n
( 2) 3
n 1
n

1 n( n 1)
n
解 (1) 0 un 2 sin

3n 3 n 2 而等比级数 收敛. n 1 3
2 2 n
n
3
由比较审敛法
所以, 原级数收敛.
( 2) 3
1 n收敛 , 收敛 n 1 3

(1) 判定级数 . 1 cos 的敛散性 n n 1

1 cos
解 lim
n

n
2

2
n 1
x0 x2 1 cos x～ 2
p 2的p 级数
2
1 1 2 1 而级数 2 收敛 2 n 1 n 2 n 1 n

6. 根值审敛法 (柯西判别法) 定理5 设 un , ( un 0) n 1 1
n lim un 1 n 1

un 收敛 n 1

方法失效
un 发散 n 1
正 项 级 数 及 其 审 敛 法

适用于:以n为指数幂的因子
n 1 1 1 n 0 (n ) 如, 设 级 数 n , un n n n n 1 n 级数收敛.
或(2) 设 p 1, 将p-级数加括号如下: 2 4 ^ ^
8 ^
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
它的各项均不大于下述正项级数的对应项
1 1 1 1 1 1 1 1 1 p p p p p p p p 2 4 4 4 4 8 8 2


若 v n收 敛, 则 un收敛
n 1
un lim l , 当l 0时, n v n


n 1
例5
an 讨 论级 数 (a 0)的 敛散 性 . 2n n 1 1 a

常数项级数的审敛法
达朗贝尔,1717–1783, 法国数学家、力学家、哲学家
5.比值审敛法(达朗贝尔 D, Alembert 判定法) 定理4 设 un , ( un 0)
n
1 1 1 1 (3) 调和级数 1 发散 2 3 n n 1 n

正 项 级 数 及 其 审 敛 法
常数项级数的审敛法
定理2 若0 un vn , 则

v n 收敛 un 收敛 n 1 n 1 un 发散 v n 发散 n 1