高等数学级数1(2)
高等数学：第二讲 数项级数的性质
目录
01 数项级数的性质
02
例题
1. 数项级数的性质
性质 1(1) 若级数 un 收敛， 其和为S ，则对 任意常数k ，
n1
级数 kun 也收敛， 其数项级数的性质
性质 1(2) 若级数 un 和 vn 都收敛，其和分别为 S 与T ，
n1
n1
n1
性质 2 在级数中去掉或加上有限多项，不改变 级数的敛散性。
1. 数项级数的性质
性质 3 若级数 un 收敛，则不改变它的各项次序任意
n1
添加括号后构成的新级数 vm 仍然收敛且其和不变。 m 1
性质4 （级数收敛的必要条件）
若 un收敛， 则lim un 0
n1
n
（即
lim
n
un
0
un 发散）
n1
2. 例题
例1
讨论级数
3 2n 2 3n
n1
6n
的敛散性，若收敛求其和：
解
un
3
2n 2 3n 6n
3(1)n 2(1)n
3
2
因为级数
3(1)n n1 3
收敛,
其和为
1 1 1
3 2
级数 2 (1)n
n1
2
收敛, 其和为
1 1 1
3 2
2 所以由性质1（2）得原级数收敛，其和为
n1
n1
则级数 (un vn ) 也收敛，其和为 S T 。
n1
两个收敛级数逐项相加（或相减）所得的级数收敛。
推论1：若级数 un 收敛，而级数 vn发散，
n1
n1
则级数 un vn 必发散。
n1
高等数学 第十二章 级数
12)1()(x f 0x x =)(00x f a =!)(0)(k x f a k k =ππππ11()cos d (0,1,2,),()sin d (1,2,)ππn n a f x nx x n b f x nx x n --====⎰⎰． 34求收敛半径定理，幂级数展开定理，1 为了叙述方便，称前者为有限加而无穷个数相加只是我们不可能用有限加法的方法来完成另外，有限加法中的结合律和交换律在我们在研究无限累加时，是以有限加法(部一般情况下，这个和的数值不易求得，教科书1 ，B ．）级数的求和问题． +-+-=1111x0)11()11(=+-+-= x 1)11()11(1=-----= x x x -=+-+--=1)1111(1 ，于是12x =． 柯西指出：以上解法犯∑∞=--11)1(n n2 ∑∞=1n nu0lim ≠∞→n n u ∑∞=1n nup2 1π3sin4n nn ∞=∑ π303sin π44nnn ⎛⎫<< ⎪⎝⎭13π4nn ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑1π3sin4n nn ∞=∑ 11π3sin341π43sin 4n n n n ++=< 1π3sin4n n n ∞=∑ 3 ∑∞=1n nu0lim ≠∞→n n u 0lim =∞→n n u∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu0lim ≠∞→n n u3 ∑∞=---+-11)11()1(n n n n1111211)11()1(1+>-++=--+=--+--n n n n n n n n∑∑∞=∞==+01111n n nn ∑∞=---+-11)11()1(n n n n0112limlim =-++=∞→∞→n n u n n n0)2)(11()1(2)12(2)2()11(1>++--+--++-+=-+---+=-+n n n n n n n n n n n n u u n n4 ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--21111n n n∑∑∑∞=∞=∞==-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--22112121111n n k k n n n 11k k ∞=∑∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--21111n n n 4 0n n n a x ∞=∑nn n a a 1lim+∞→R ),(R R -R x ±=nn n a a 1lim +∞→0x x -5 ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛151n nx n111155nnnn n x x n n ∞∞==⎛⎫= ⎪⋅⎝⎭∑∑ 11511lim lim lim lim1(1)55(1)551n n n n n n n na n na n n n ++→∞→∞→∞→∞⋅====+⋅⋅+⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭5=R )5,5(-5=x ∑∞=11n n 5-=n ∑∞=-1)1(n n n)5,5[-6 2111(1)(21)!n n n x n -∞+=--∑2221(21)!1limlim lim 0(21)!2(21)n n n n nu n x x x u n n n +→∞→∞→∞-===⋅+++∞=R ),(+∞-∞7 11(1)(1)nn n x n∞-=--∑ 1-=x t ∑∞=--11)1(n nn nt 1111lim 1lim lim1=+=+=∞→∞→+∞→nn n a a n n n n n1=R )1,1(-1-=t ∑∑∞=∞=--=--1111)1()1(n n n n n n 1=t ∑∞=--111)1(n n n ∑∞=--11)1(n nn nt ]1,1(-]2,0( 5 )(x f )(x f 0lim ()0n n R x →∞=)(x f)1()2()3()4()5( 8 2()12xf x x x=+-x ⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-=x x x x x x f 2111131)21)(1()(+++++=-n x x x x2111)11(<<-x+-++-+-=+n n x x x x x )2(842121132⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-2121x∑∞=-+=)2)1(1()(n n n nx x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-2121xn n 9 x x f ln )(=2-x2()ln[2(2)]ln 2ln 12x f x x -⎛⎫=+-=++⎪⎝⎭22-=x t )1ln(221ln t x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-++-+-=-nn t nt t t t 1432)1(432t <-1(1) 2312322(2)(2)(1)(2)ln 12222322n nnx x x x x n -------⎛⎫+=-++++ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭ x <0(≤)4+⋅--++-+---+=-n nn n x x x x x 2)2()1(2)2(312)2(21222ln ln 13322x <0(≤)4 10 ∑∞=+++12)2)(1(n n n n x1)3)(2()2)(1(lim=++++=∞→n n n n R n 1±=x ]1,1[-．∑∞=+++=12)2)(1()(n n n n x x S∑∞=++='111)(n n n x x S ∑∞==''1)(n nx x S∑∞=-=11n n x x x xxx S -=''1)()11(<<-x ⎰⎰---=-=''='-'x xx x x xxx x S S x S 00)1ln(d 1d )()0()()11(<<-x 0)0(='S )1ln()(x x x S ---=')11(<<-x⎰⎰---='=-x xx x x x x S S x S 0d )]1ln([d )()0()(⎰--+---=x x xx x x x 02d 1)1ln(2 )1ln()1(22x x x x --+-= )11(<<-x 0)0(='S)1ln()1(2)(2x x x x x S --+-= )11(<<-x11 ∑∞=+02!12n nx n n 0)1)(12(32lim !12)!1(32lim 2232=+++=+++∞→+∞→x n n n x n n xn n n n n n),(+∞-∞∑∞=+=2!12)(n nx n n x S2212200021()d d e !!!n nx x n x n n n n x x S x x x x x x n n n +∞∞∞===+====∑∑∑⎰⎰()2220()()d (e )e (12)x x x S x S x x x x ''===+⎰222021()e (12)!n x n n S x x x n ∞=+==+∑),(+∞-∞∈x )1(10)1)(2(2+++n n x n )2(11nx n n 2!12+1)3(106 )(x f )(x f )(x f )(x f )(x f [π,π]-n a n b ∑∞=++1)sin cos (2n n n nx b nx a a )(x f )(x f [π,π]-n a n b)(x f x )(x f )(x f )(x f 2)()()(-++=x f x f x f∑∞=++=1)sin cos (2)(n n n nx b nx a a x f )(x f12 +-+-=!6!4!21cos 642x x x x 13246357cos isin 1i 2!4!6!3!5!7!θθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫+=-+-++-+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23456i i 1i 2!3!4!5!6!θθθθθθ=+--++--，2i 1=-3i i =-4i 1=5i i =23456i (i )(i )(i )(i )(i )cos isin 1i e 2!3!4!5!6!θθθθθθθθθ+=+++++++=i cos isin e θθθ+=14 10年，每年向球300?假设存储30003000B p B 元． r t nntn r p B ⎪⎭⎫⎝⎛+=1ntn r B p ⎪⎭⎫⎝⎛+=1， re rt B p =e ertrt B p B -==．10300万元，第一次付款是在签约当%5113=(百万元)， 2205.013+=33205.13=10905.13=1029131 1.05333324.3211.05 1.05 1.051 1.05⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=++++=≈-， 2432300?%5 13= 20.053e-=)，30.0523(e )-=)，0.050.0520.05333e 3(e )3(e )---=++++，0.05ex -=0.05361.51e -=≈-(百万元)．（ √ ） )(x f )(x f 能展开成0x x -的幂级)(x f（ ⨯ ） )(x f )(x f 时，)(x f,0lim =∞→n n u ∑∞=1n nu收敛； （ ⨯ ）0lim =∞→n n u 正项级数∑∞=1n n u 0lim =∞→n n u ∑∞=11n n 01lim =∞→n n ∑∞=11n n(),11∑∞=-n n na ,0lim =∞→n n a ∑∞=-1)1(n n n a ⨯),2,1(1=≥+n u u n n∑∞=1n na0lim =∞→n n a 1lim1<+∞→n nn a a1lim1n n na a +→∞≤ 1lim 1>=+∞→λn n n a a1lim 1<=+∞→nn n a a q∑∞=+1)4(n n nx a2-=x 2=x4+=x t ∑∞=1n nn ta 2-=x 2=t ∑∞=1n nn ta 2-2(,2)∪(2,)-∞-+∞2=x 6=t ∑∞=+1)4(n n nx a∑∞=1n nn x1<x 1≤x11<≤-x 11≤<-x 11lim lim1=+=∞→+∞→n na a n nn n 1)1,1(-1=x ∑∞=11n n 1-=x ∑∞=-1)1(n n n )1,1[-∑∑∑∞=∞=∞=111,,n nn nn ncb a n n nc b a <<),2,1( =n∑∞=1n nb∑∞=1n na∑∞=1n nb∑∞=1n nc∑∞=1n na∑∞=1n nc∑∞=1n nb∑∞=1n na∑∞=1n nc∑∞=1n nb∑∞=1n na∑∞=1n nc∑∞=1n nb)(x f ∑∞=-100)()(!)(n n n x x n x f)(x f 0)(!)(lim 00)(=-∞→n n n x x n x f ∑∞=-100)()(!)(n n n x x n x f)(x f 0)(!)(lim00)(=-∞→n n n x x n x fe x = 212!!n x x x x n +++++∈R ；=x sin 35211(1)3!5!(21)!n n x x x x x n ---+-+-+∈-R ；=x cos 2421(1)2!4!(2)!nnx x x x n -+-+-+∈R ；=+)1ln(x ]1,1()1(32132-∈+-+-+-+x nx x x x nn ；mx )1(+=)1,1(!)1()1(!2)1(12-∈++--++-++x x n n m m m x m m mx n；∑∞=1n nnx aR ，则∑∞=12n n n x a 的收敛半径为R ；∑∞=1n nnx aR ，则∑∞=1n n n x a 的收敛区间为),(R R -．21nn n a x∞=∑R x <<20⇒R x R <<-，所以，∑∞=12n n n x a 的收敛R)(x f 2π[π,π]-的表达式为{1,π0,()1,0π,x x f x x x --≤<=+≤<则)(x f πx = 1π+ ．ππlim ()lim(1)1πx x f x x --→→=+=+， ππlim ()lim(12π)1πx x f x x ++→→=-+=+， πlim ()1π(π)(2ππ)(π)x f x f f f →=+=-=-= ，)(x f πx =)(x f πx =处收敛于(π)f =1π+ ．∑∞=+1)1(n nxn n 的收敛域与和函数；∑∞=+1)1(n nxn n =∑∞=-+11)1(n n nxn x=∑∞=++0)1)(2(n nxn n x，)(x s ∑∞=++0)1)(2(n nxn n 1-11)(x u 0()d x s x x ⎰00(2)(1)d x nn n n x x ∞=++∑⎰∑∞=++01)2(n n x n()d x u x x ⎰100(2)d x n n n x x ∞+=+∑⎰∑∞=+02n n xxx -12)(x u )1(2'-x x 22)1()1(2x x x x -+-22)1(2x x x -- )(x s ])(['x u ])1(2[22'--x x x 3)1(2x -∑∞=+1)1(n n x n n )(x xs 3)1(2x x- )1,1(-∈x ∑∞=-11n n nx∑∞=+1212n nn x)(x s ∑∞=-11n n nx()d x s x x ⎰101d x n n nx x ∞-=∑⎰∑∞=1n n x xx-1 )(x s )1('-xx2)1(1x -∑∞=-11n n nx 2)1(1x - )1,1(-∈x∑∞=+1212n n n x ∑∞=++112121n n n x x)(x u ∑∞=++11212n n n x='])([x u )12(112'+∑∞=+n n n x ∑∞=12n nx 221x x - )(x u 0()d x u x x '⎰220d 1xx x x -⎰201d 1x x x -⎰0d x x ⎰x x x --+11ln 21∑∞=+1212n n n x ∑∞=++112121n n n x x 111ln 21--+x xx xx f 1)(=3-x x x f 1)(=3)3(1+-x 331131-+⋅xx+11)1,1()1(12-∈+-+-+-x x x x nnx x f 1)(=331131-+⋅x 31]33)1()33(331[2 +⎪⎭⎫⎝⎛--+--+--nn x x x ∑∞=+--01)3(3)1(n nn n x )1,1(33-∈-x )6,0(∈xx sin π6x +x sin ππsin[()]66x +-3π1πsin()cos()2626x x +-+ )6sin(π+x 35211πππ()()()π666()(1)63!5!(21)!n n x x x x x n --++++-+-+-+∈-R ，πcos()6x +242πππ()()()6661(1)2!4!(2)!nnx x x x n +++-+-+-+∈R ，x sin 3π1πsin()cos()2626x x +-+ 234πππ()()()13π131666()22622!23!24!x x x x +++-+++⋅--⋅+22111ππ()()1366(1)(1)2(2)!2(21)!n n n n x x x n n ---+++-⋅+-⋅+∈-R ．{0,()π,f x x =-π0,0π,x x -≤<≤<将)(x f 在[π,π]-上展成傅里叶级数，傅叶级数在0=x0a ππ1()d πf x x -⎰π01(π)d πx x -⎰2π011(π)π2x x -π2n a ππ1()cos d πf x nx x -⎰π01(π)cos d πx nx x -⎰π1(π)d(sin )πx nx n -⎰π01(π)sin πx nx n -π01sin d πnx x n ⎰π021cos πnx n -20,21,2,2,πn k n k n =-⎧⎪⎨=⎪⎩ n b ππ1()sin d πf x nx x -⎰π01(π)sin d πx nx x -⎰π01(π)d(cos )πx nx n --⎰π01(π)cos πx nx n -π01cos d πnx x n ⎰0cos 1n n1 )(x f)(x f π421211[cos(21)sin(21)sin 2](21)π212k k x k x kx k k k ∞=-+-+--∑ )(lim 0x f x +→0lim(π)x x +→-π)(lim 0x f x -→ 0=x π2∑∞=-211n n n11-n n 1)1(1--n n 23)1(1-n∑∞=-223)1(1n n ∑∞=1231n n312p =>p ∑∞=-211n n n11πtan 2n n n ∞+=∑nn n a aq 1lim +∞→=21π(1)tan2limπtan 2n n n n n +→∞++⋅⋅21π(1)2limπ2n n n n n +→∞++⋅⋅n n n 21lim +∞→2111πtan2n n n ∞+=∑∑∞=+-111)1(n nnn n u ∞→lim 11lim+∞→n n1+n u 21+n 11+n n u∑∞=+-111)1(n nn1000 n B ∞→n%)51(10001+⨯=a n %)51(%)51(10001+++⨯=-n n a a1221223323211211000(15%)(15%),(15%)1000(15%)(15%),(15%)1000(15%)(15%),(15%)1000(15%)(15%),n n n n n n n n n a a a a a a a a --------=⨯+++⎧⎪+=⨯+++⎪+=⨯+++⎨⎪⎪+=⨯+++⎩n a 1112%)51(]%)51(%)51(%)51[(1000--++++++++⨯n n an n %)51(1000%)51(1]%)51(1%)[51(10001+⨯++-+-+⨯- ]1%)51(-+nn n a ∞→lim ∞，n B ]1%)51(-+n元，当∞→n。
高数一、二学习资料大全
《高等数学复习》教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-xx x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)(6lim 0)(6sin limxx f x x xf x x x +=+>->-，求 解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>-解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。
2010-2011(2)高等数学I2试题(A)
广州大学2010-2011学年第二学期考试卷课 程：高等数学Ⅰ2（90学时） 考 试 形 式：闭卷考试学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________一．填空题(每小题4分,本大题满分20分)1．已知(1,1,1)AB = ,(2,3,4)AC = ,则AB AC ⨯=____________,三角形ABC 的面积S =______.2．方程2221x y z +-=表示一个______叶双曲面,此曲面是由yOz 面上的双曲线221y z -=绕______轴旋转一周生成.3．曲面222236x y z ++=上点(1,1,1)-处的法向量n =____________,切平面方程为_______________________.4．若曲线积分(1,2)24(0,0)()d d I y f x x x y y =+⎰与路径无关,则()f x =________,积分值I =______.5．将下列函数展开成(1)x -的幂级数:(1) 12x =-________________________________________,(02x <<); (2) 21(2)x =-________________________________________,(02x <<).1．求函数2z x =.2．设vz u =,2u x y =+,v xy =,求z x∂∂.3．在曲线23x t y t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩上求一点,使曲线在此点的切线平行于平面21x y z ++=.1．设D 为半圆:0y ≤≤计算22d d 1DyI x y xy=++⎰⎰.2．已知曲线2:(01)C y x x =≤≤,计算d CI x s =⎰.3．计算220d xI x y =⎰⎰.讨论级数11()(0)nn a a n ∞=+>∑的收敛性.五．(本题满分11分)求幂级数11(1)n nn x n -∞=-∑的收敛域及和函数.设(,)z z x y =是由22222280x xy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的驻点,并判别它们是否为极值点,是极大值点还是极小值点?一个具有常密度μ,半径为a的半球形物体,占有空间区域Ω≤≤:0z求该物体的质心.。
高等数学知识点
高等数学知识点高等数学知识点在日复一日的学习中，大家最熟悉的就是知识点吧？知识点有时候特指教科书上或考试的知识。
哪些知识点能够真正帮助到我们呢？下面是小编为大家收集的高等数学知识点，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
高等数学知识点1第一章：函数与极限1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法。
2.会建立简单应用问题中的函数关系式。
3.了解函数的奇偶性、单调性、周期性、和有界性。
4.掌握基本初等函数的性质及图形。
5.理解复合函数及分段函数的有关概念，了解反函数及隐函数的概念。
6.理解函数连续性的概念(含左连续和右连续)会判别函数间断点的类型。
7.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左右极限间的关系。
8.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
9.掌握极限性质及四则运算法则。
10.理解无穷孝无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
第二章：导数与微分1.理解导数与微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描写一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。
2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握初等函数的求导公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求初等函数的微分。
3.会求隐函数和参数方程所确定的函数以及反函数的导数。
4.会求分段函数的导数，了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。
第三章：微分中值定理与导数的应用1.熟练运用微分中值定理证明简单命题。
2.熟练运用罗比达法则和泰勒公式求极限和证明命题。
3.了解函数图形的作图步骤。
了解方程求近似解的两种方法：二分法、切线法。
4.会求函数单调区间、凸凹区间、极值、拐点以及渐进线、曲率。
第四章：不定积分1.理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的基本公式和性质。
2.会求有理函数、三角函数、有理式和简单无理函数的不定积分3.掌握不定积分的分步积分法。
高等数学中的级数及解题方法
高等数学中的级数及解题方法在数学学科中，级数是一个综合性较强的概念，是指由无穷多项组成的无穷级数。
其可以说是数学研究中最重要的一类问题之一，其中又分为数列级数和函数级数两种。
在解题时，我们通常采用求和的方法，将求和问题转化为极限问题，再通过已知的数列或函数列求其极限值，从而求出级数的和。
下面，本文将就高等数学中的级数及解题方法进行详细的介绍。
一、数列级数的概念数列级数是指由数列的无穷项组成的和。
当数列的项在无限增加时，其和也就趋向于无限大或无限小。
例如，以下为一个数列级数的示例：$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$其中，$\frac{1}{n}$ 为数列的通项公式，$\sum$ 符号表示求和，$n$ 为变量，表示从 $1$ 到无穷大的所有自然数。
针对此类数列级数的求和问题，我们通常采用以下两种方法：1.求极限法当数列级数的通项公式为一个有界数列时，可以采用直接求和的方法，例如：$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$在此类情况下，我们可以通过变换数列项得到一个几何级数形式：$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$其中，$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$ 为几何级数的求和公式。
2.比较法当数列级数的通项公式无法直接求出其和的时候，我们可以采用比较法进行求解。
具体来讲，我们需要构造一个同类比较数列或级数，从而比较其大小关系，进而得到数列级数的极限值。
例如：$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$其中，$p\geq 1$，$n$ 为变量，表示从 $1$ 到无穷大的所有自然数。
针对此类数列级数的求和问题，我们可以采用以下的比较系列：$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \leq\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$其中，两个级数在极限时均为无穷大。
高等数学一(2)课外复习题
高等数学一（2）课外复习题期末测试题一一、求下列各函数的偏导数（每小题6分，共12分）1、设22222222,0(,)0,0x y xy x y f x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨⎪+=⎩，求 (1) (0,)x f y ，(2) (0,0)xy f 。
2、设,x y z f xy g y x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中f ，g 均可微，求,z z x y ∂∂∂∂。
二、(本题8分)设函数z ＝z (x ，y )由方程222y x y z x f x ⎛⎫++=⎪⎝⎭，且可微，求dz 。
三、(本题10分) 设f (x ，y )在区域D 上连续，且f (x ，y )＝xy ＋(,)Df u v dudv ⎰⎰，其中D 是由20,,1y y x x ===所围成的区域，求f (x ，y )。
四、(本题10分) 求半径为R五、(本题10分) 计算3222x zdydz x yzdxdz x z dxdy ∑--⎰⎰，其中∑为222z xy =--（12z ≤≤）。
六、(本题10分) 求曲线积分()()()sin cos xx LI ey b x y dx e y ax dy =-++-⎰，其中a ，b为常数，L 为从点A （2a ，0）沿曲线y =0，0）的弧。
七、(本题10分) 将函数21()43f x x x =-+展开成（x －2）的幂级数，并指出收敛区间。
八、(本题10分) 求级数11!nn n x n ∞=+∑的收敛半径与和函数。
九、(本题10分) 求微分方程76sin y y y x '''-+=的通解。
十、(本题10分) 已知()1ϕπ=，试确定()x ϕ，使线积分()()cos AByx x dx x dyx ϕϕ-+⎡⎤⎣⎦⎰与路径无关，并求当A ，B 两点分别为（1，0），（π，π）时，曲线积分的值。
期末测试题二一、填空题（每小题3分，共15分） 1、1y x y →→＝ 。
成考专升本中的高数一和高数二有何区别(二)2024
成考专升本中的高数一和高数二有何区别（二）引言概述：高等数学一和高等数学二是成人高等教育专升本考试中的两门重要数学课程。
在这篇文档中，将探讨高等数学一和高等数学二之间的区别。
通过对两门课程的比较，我们可以更好地了解它们在内容、难度和应用方面的异同。
正文：一、内容上的区别1.高等数学一更偏重于基础概念和理论，包括函数与极限、导数与微分、积分与定积分等核心概念；2.高等数学二在一的基础上延伸，涉及到更多的高级概念和方法，如多元函数极限与连续、多元函数微分学、多元函数积分学等；3.高等数学二还引入了常微分方程、级数和傅里叶级数等新的内容，扩展了学生的数学视野。
二、难度上的区别1.高等数学一相对而言更加基础和容易理解，侧重于奠定数学的基础和思维方式；2.高等数学二相对较难，对数学的抽象思维和推导能力要求更高，考查更多的定理证明和综合应用能力。
三、应用上的区别1.高等数学一的应用更多地集中在工程、物理和生物等实际问题的建模中，例如曲线的拟合、最优化问题和微分方程的应用等；2.高等数学二的应用更加广泛，涉及到的领域包括电磁学、力学、数学物理等，例如多元函数的偏导数和梯度在场论中的应用。
四、教学方法上的区别1.高等数学一教学注重理论和概念的讲解和演示，强调基础知识的掌握；2.高等数学二教学则更加注重实例演示和应用训练，强调学生的实际问题解决能力。
五、学习建议1.建议在学习高等数学一时，要注重对基础概念和理论的理解和掌握，通过多做习题提升基本的计算和推导能力；2.建议在学习高等数学二时，要加强对高级概念和方法的理解和运用，注重实际问题的建模和解决。
总结：通过对高等数学一和高等数学二在内容、难度、应用和教学方法上的比较，我们可以看出它们存在着一定的区别。
高等数学一更偏重基础概念与理论，相对较容易理解；而高等数学二则涉及更多的高级概念和方法，应用范围更广，学习难度更大。
对于学生而言，根据自身情况选择适合的学习策略和方法，将有助于更好地掌握这两门课程。
《高等数学II》教学大纲
《高等数学II》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：课程名称：高等数学II英文名称：Higher mathematics II课程类别：公共课学时：64学分：4适用对象: 理工科专业考核方式：考试先修课程：高等数学I二、课程简介《高等数学II》是高等学校理工科专业学生的必修课。
通过本课程的学习，使学生掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后续课程和获得进一步的数学知识奠定必要的基础。
通过知识内容的传授，培养学生的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力及综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。
其具体内容包括：空间解析几何与向量代数；多元函数微积分学（多元函数微分学、重积分、曲线积分和曲面积分）；无穷级数。
Higher mathematics II is a compulsory course for students majoring in science and engineering in institutions of higher learning. Through learning of this course, make the students master the basic concepts of higher mathematics and the basic theory and basic computing skills, for learning the follow-up courses and further the mathematics knowledge to lay the necessary foundation. Through the knowledge content of teaching, cultivate students' operation ability, abstract thinking ability, logical reasoning ability, space imagination ability and the integrated use of knowledge to the ability to analyze and solve problems. The specific contents include: spatial analytic geometry and vector algebra; Multifunction calculus (multifunction differential calculus, reintegration, curvilinear integral and surface integral); Infinite series.三、课程性质与教学目的目前，《高等数学II》已成为理工科类及部分经济、管理类专业的主干学科基础课程，是教育部审定的核心课程和硕士研究生入学考试“数学1”和“数学2”的必考科目，对学好其它专业课程意义重大。
高等数学 级数的概念和敛散性
当q < 1时 收 ; , 敛
当q ≥ 1时 发 . , 散
四川职业技术学院数学教研室
第八章 无穷级数 无穷级数
课题二十三 级数的概念和敛散性
∞
三、基本性质
性质 1 如果级数
注意： 注意：
n→∞
收敛, ∑u 收敛,则 limu
n=1 n
n→∞
n
= 0.
（ 1 ） 若 limun = 0 ， 则 也可能发散. 也可能发散 .
∑u
n =1 ∞
∞
n
的部分和 sn 收敛,这时 收敛 ,
有极限 s , 即 lim sn = s 则称无穷级数
n →∞ ∞
∑u
n =1
n
极限 s 叫做级数
∑u
n =1
n
的和. 的和. 并写成
∞
u1 + u2 + ⋯ + u3 + ⋯ = s
如 果 sn 没 有 极 限 ,则 称 无 穷 级 数
∑1 u n 发 散 . n=
1 1 1 例如：级数 1 + + + + ⋯收敛于 2，去 2 4 8 1 1 1 1 掉前两项后得级数 + + + ⋯收敛于 ． 2 4 8 16
四川职业技术学院数学教研室
第八章 无穷级数 无穷级数
课题二十三 级数的概念和敛散性
∞
四、正项级数及其审敛法
1.定义 1.定义: 如果级数 ∑ un中各项均有 un ≥ 0，这种 定义:
∞
1 2 3 n n 例如级数 ∑ = + + +⋯+ +⋯， 2 3 4 n +1 n =1 n + 1
高等数学下册级数部分的知识点
=0
∈ −∞, +∞
−1
2+1
，
2+1 !
−1
2
，
2 !
∞
（5）cos =
=0
∞
（6）ln 1 + =
=0
−1
∈ −∞, +∞
∈ −∞, +∞
+1
，
+1
∈ −1,1
发散，则
n=1
=1 发散
2、比例判别法
+1
→∞
σ∞
=1 是正项级数，如果 lim
1、 < 1时收敛
2、 > 1时发散
3、 = 1时失效
=
3、根值判别法
σ∞
=1 是正项级数，如果 lim =
1、 < 1时收敛
2、 > 1时发散
3、 = 1时失效
∞
1
=1
1
2
1
3
1
4
1
= 1 + + + + ⋯ + ⋯是发散的
所以收敛的级数一定趋于零，但是趋于零的级数不一定收敛0时，级数发散
→∞
例4、判断下列级数的收敛性，若收敛求其和
∞
1
（1）
=1 2
+
1
3
∞
2 +2
（2）
=1 2 −+3
，
=
，则
=1
=1
=1 ± 收敛，其和s ±
注意：收敛级数的和差仍收敛，发散级数的和差不一定发散，收敛级数与发散
高等数学：第十章 无穷级数1-2
1 45
1 n(n 1)
也是收敛的
3.收敛级数的性质
(4)将收敛级数的项任意加括号后所成的新级数， 仍然收敛到原级数的和（无穷和的结合律）。
注意: 如果加括号后所成的级数收敛 则 不能断定去括号后原来的级数也收敛。
例如: 级数(11)+(11) + 收敛, 但级数1-11-1 却是发散的.
推 论 如果加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散.
k
1
ak收敛
lim
n
Sn存在.
设 lim n
Sn
S.则有
Sn S，Sn-1 S.
从而 an Sn Sn1 0.
2.数项级数及其收敛性概念
(4)级数收敛的充要条件 定理4：对于任意给定的ε>0，存在一 个N,使得
n p
| ak | ,只要n N , p 1. k n1
定理4的证明：
n
便有 0 1 (n ) 2
这是不可能的.
级数发散 .
1
n1 n
调和级数的部分和
sn
1
1 2
1 n
1
把每一项看成是以 n 为高 以 1 为底的的矩形面积
sn 就是图中 n 个矩形的面积之和
由定积分的几何意义 这块面积显然大于定积分
n1 1dx 即
1x
Sn
1
1 2
1 n
n1 1dx ln( n 1) ,
n1
2.数项级数及其收敛性概念
(2)无穷级数的收敛与发散 ㄥ?在亩ý
仪讯 n? Í
篇 ¶ 恐停 , 艨滞蛐{Sn} 蝎轘 蚱? ý
詹移S? 怫? Ç
.琨祸? 恐万衶Sn }恍 蚱? ⅲ
n
高等数学@12.1 级数概念与性质
n0
（1）当|q|
<1时，收敛，其和为
1
a
q
（2）当|q|≥1时，发散
如：
n0
5 3n
,
收敛
(1)n
n0 2n , 收敛
(2)n
n0
发散
思考(2)：级数 1 1 1 1 1 是否收敛？
n1 n
23
n
S
n
1
1 2
1 3
(1)
lim
n
un
0
则 un 发散。
n1
(2)若加括号后的级数发散， 则原级数必发散。
(3)若级数 un 收敛， vn 发散
n1
n1
则级数 (un vn ) 必发散
n1
(4) 级数 kun与 un 收敛性相同 (k 0)
n1
n1
(5) 级数 un 与 un 收敛性相同。
收敛，则
lnimun
0
（必要条件）
问题
1.若
lim
n
un
0
则 un 发散
n1
2.若
lim
n
un
0
则 un
n1
未必收敛
如 1 n1 n
性质1 若常数k≠0，则级数 un 与 kun 收敛性相同.
n1
n1
证 设 Sn u1 u2 un
1. 级数收敛的性质：
（1）常数 k≠0，级数 un与 kun同敛散。
A—无穷级数1§1-§2
n =1
n= 1
n→ ∞
=S−S=0
∞
n =1
说明： 说明：1. lim un = 0
n→ ∞
∑ un
∞
(C )
2 . lim un ≠ 0
n→ ∞
n =1
∑ un
( D)
1 n 的敛散性。 例1. 判别 ∑ ( 1 + ) 的敛散性。 n n =1 1 n ∵ 解： lim un = lim ( 1 + ) = e ≠ 0 n→ ∞ n→ ∞ n 级数发散。 ∴ 级数发散。 例2. 证明调和级数 ∞ 1 1 1 1 发散。 ∑ n = 1 + 2 + 3 + ⋯ + n + ⋯ 发散。 n =1 ∞ 1 ：（反证 设 反证） 证：（反证） ∑ ( C )， S n → S ( n → ∞ ) 则 n= 1 n 也应有 S 2 n → S ( n → ∞ ) ∴ S 2 n − Sn → S − S = 0 ( n → ∞ ) ;
用 Sn 近似代替 S 产生的误差为 rn ,
且 ∵ n → ∞ 时, Sn → S，∴ rn → 0 .
例题讨论
例1. 讨论等比级数（几何级数）的敛散性： 讨论等比级数（几何级数）的敛散性：
∑ aq
n= 0
∞
n
= a + aq + aq + ... + aq + ... (a ≠ 0, q为公比） 为公比）
第十一章
无穷级数
无穷级数是高等数学的一个重要组成 部分，是表示函数、 部分，是表示函数、研究函数的性质以及 进行数值计算的一种工具。 进行数值计算的一种工具。 (常) 数项级数 常 级数 函数项级数 正项级数 交错级数 幂级数 傅里叶级数
高等数学1(2)复习题
高等数学Ⅰ（二）复习题一、选择题 1．直线L ：⎩⎨⎧=++=++021z y x z y x 与平面π：1=+-z y x 的关系是（ ）A 、直线L 平行于平面πB 、直线L 在平面π上C 、直线L 垂直于平面πD 、直线L 与平面π斜交求出直线的方向向量，平面的法向量，它们的数量积为零，且直线与平面无交点。
见教材P46,“直线与平面的夹角” 2．下列方程中为平面方程的是（ ）A ．5222=++z y xB ．321-=-=-z y xC ．⎩⎨⎧=++=++021z y x z y x D ．31422-=+=+z y x 见教材P39，“平面的一般方程”3．在空间直角坐标系下，与平面1=++z y x 垂直的直线方程为（ ）A ．⎩⎨⎧=++=++021z y x z y x B ．31422-=+=+zy x C ．5222=++z y x D ．321-=-=-z y x以平面的法向量为方向向量的直线与平面垂直，见P46，“直线与平面夹角”4．设有直线L ：⎩⎨⎧=+--=+++031020123z y x z y x ，及平面π：0224=-+-z y x ，则直线L （ ）A 、平行于πB 、在π上C 、垂直于πD 、与π斜交同第一题解法5．微分方程xxe y y y 22=-'-''的一个特解应设为 （ ）A 、xe b ax x 22)(+B 、xeb ax x 2)(+C 、xe b ax 2)(+ D 、xe b ax 22)(+考察常系数非齐次线性微分方程解的结构，参见P343，例2的解法。
6．已知2,,1x y x y y ===是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为（ ） A ．)1()1(221-+-x C x CB ．2221)1()1(x x C x C +-+-C ． 221x x C C ++ D ．1221++x C x C考察高阶线性微分方程解的结构，参见第七章第六节课件例37．已知x y =1，xe y =2，x e y 23=是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为（ ） A ．xx e C e C x 221++B ．xx e C e C x C 2321++C ．)()(221xxxe x C e e C x -+-+ D ．)()(2221x e C e e C xx x -+-参见第七章第六节课件例48．考虑二元函数),(y x f 的下列四条性质：（02）①),(y x f 在点),(00y x 处连续 ②),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数连续 ③),(y x f 在点),(00y x 处可微 ④),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数存在若用“Q P ⇒”表示可由性质P 推出性质Q ，则有（A ）②⇒③⇒① （B ）③⇒②⇒① （C ）③⇒④⇒① （D ）③⇒①⇒④ 参见教材P129,总复习题19．二元函数),(y x f 在点),(00y x 处两个偏导数),(00y x f x 、),(00y x f y 存 在是),(y x f 在该点可微分的（ ）A 、充分条件而非必要条件B 、既非充分条件又非必要条件C 、充分必要条件D 、必要条件而非充分条件。
高等数学教材1和2的区别
高等数学教材1和2的区别高等数学作为一门重要的学科，对于大学生的学习和研究具有重要作用。
在高等数学的学习过程中，不同版本的教材往往会有一些区别。
本文将从教材内容、难度水平和教学方法等方面探讨高等数学教材1和2之间的区别。
一、教材内容高等数学教材1和2的区别之一在于教材内容的深度和广度。
一般来说，教材1更注重基础知识的掌握和理解，主要包括微分与积分的基本概念、基本定理、微积分的应用等内容。
而教材2则在此基础上深入探讨了一些高级的数学理论和方法，如多元函数的微分、曲线积分与曲面积分、级数等。
因此，教材2相比于教材1来说更具挑战性和深度。
二、难度水平教材1和2之间的另一个区别在于难度水平的提升。
教材1往往适用于大一新生，对于他们来说，高等数学的概念和方法都是新鲜的，因此教材1相对较为简化和容易理解。
而教材2则适用于大二的学生，他们已经对高等数学有一定的了解和掌握，因此教材2在难度上会有所增加，涉及到更多的复杂问题和高级的理论。
三、教学方法教材1和2还存在着在教学方法上的一些区别。
教材1通常会通过一些基础的例题和练习来帮助学生理解和应用概念和方法。
而教材2除了基础的例题和练习外，还会引入一些拓展性的思考题和探究性的问题，以培养学生的数学思维和创新能力。
总结起来，高等数学教材1和2之间的区别主要体现在教材内容、难度水平和教学方法等方面。
教材1注重基础知识的掌握和理解，适用于初学者；而教材2则在此基础上深入拓展，适用于已经有一定数学基础的学生。
无论选择哪种教材，都需要学生具备良好的数学思维和学习能力，才能更好地掌握高等数学知识，为深入学习相关学科打下坚实的基础。
高等数学 级数复习
∞
(1− x)n−1 1−x = 2(1− x)∑ +e (n−1)! n=1
∞
= 2(1− x)e1−x + e1−x = (3 − 2x)e1−x
例10 将 解
的麦克劳林级数. 展开成 x 的麦克劳林级数
b ln(a + bx) = lna + ln(1+ x) a
ln(1+ x) = ∑(−1) xn+1 ， n+1 n=0
1 3 1 5 1 n x2n+1 +⋯ = x − x + x −⋯+ (−1) sin x 3! 5! (2n +1)!
1 2 1 4 x2n cos x = 1− x + x −⋯+ (−1)n +⋯ 2! 4! (2n)!
x∈(−∞, + ∞)
m(m−1) 2 (1+ x) = 1+ m x + x +⋯ 2! m(m−1)⋯ m− n +1) n ( + x +⋯ n!
f x 的 勒 数 为 ( x)在 0处 泰 级 .
∞
麦克劳林级数 (x0 = 0):
f ′′(0) 2 f (n)(0) n x +⋯+ x +⋯ f (0) + f ′(0)x + 2! n!
1 2 1 3 1 n e = 1+ x + x + x +⋯+ x +⋯, 2! 3! n!
x
x∈(−∞,+∞)
∞
x [ln(a + bx)]0
b x = ∑(−1) n+1 a (n+1) n=0
高等数学二
高等数学二1. 引言高等数学二是大学数学课程的延续和深化，是数学专业学生必修的一门课程。
本文档旨在介绍高等数学二的主要内容及其在数学领域的应用。
主要包括微分方程、无穷级数、多元函数及它们的应用等内容。
2. 微分方程微分方程是一类描述函数关系的方程，通过研究其解析解或数值解，可以揭示各种现象背后的数学规律。
高等数学二中，我们将学习一阶微分方程和二阶线性常微分方程的求解方法。
其中一阶微分方程求解方法包括分离变量法、齐次方程法、一阶线性微分方程法等。
二阶线性常微分方程则通过特征方程法和欧拉方程法进行求解。
微分方程在物理学、工程学、经济学等领域中有广泛的应用。
例如，在物理学中，牛顿第二定律可以用二阶线性常微分方程来描述质点的运动规律；在经济学中，供需关系可以用微分方程来刻画市场的均衡状态。
3. 无穷级数无穷级数是一类由无穷多个项组成的数列。
高等数学二中，我们将学习无穷级数的性质和求和方法。
主要包括几何级数、调和级数、收敛判别法和级数的运算法则。
无穷级数在数学分析、数值计算等领域有重要的应用。
例如，在数学分析中，级数的收敛性是研究函数可积性的重要条件之一；在数值计算中，通过逼近级数的部分和，可以计算无法精确求解的数值。
4. 多元函数多元函数是定义在多维欧几里得空间上的函数。
高等数学二中，我们将学习多元函数的极限、连续性和偏导数等重要概念。
此外，还将介绍多元函数的偏导数计算方法、多元函数的最大值和最小值的求解方法。
多元函数在物理学、工程学、计算机图形学等领域中有广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，通过对多元函数的极值分析，可以实现图像的平滑处理和边缘检测。
5. 应用举例高等数学二所学的知识在实际问题中有广泛的应用。
以下举几个例子来说明：5.1. 生物学应用通过微分方程求解人口增长模型，可以预测未来的人口变化趋势，为人口规划提供参考。
5.2. 金融学应用利用无穷级数计算复利的收益，可以帮助投资者做出更明智的投资决策。
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l 3l 即 0 v n un v n 2 2
由比较审敛法的推论, 得证.
例4 判定下列级数的敛散性 1 1 ( 2) n (1) sin n n 1 3 n n 1
1 sin n 解 (1) lim 1 比较审敛法的极限形式, 发散 n 1 n 1 n 1 3 n ( 2) lim lim 1 n n n 1 1 n n 3 3
n
1 1 1 1 (3) 调和级数 1 发散 2 3 n n 1 n
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
常数项级数的审敛法
定理2 若0 un vn , 则
v n 收敛 un 收敛 n 1 n 1 un 发散 v n 发散 n 1
(1) 2 sin
n n 1
3
n
( 2) 3
n 1
n
1 n( n 1)
n
解 (1) 0 un 2 sin
3n 3 n 2 而等比级数 收敛. n 1 3
2 2 n
n
3
由比较审敛法
所以, 原级数收敛.
( 2) 3
n 1
1 推论2 若 un ,如果有 p 1, 使un p ( n 1,2,). n 1 n
则 un收 敛;
n 1
1 如 果un ( n 1,2, ), 则 un发 散. n n 1
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
例3 讨论下列正项级数的敛散性.
6. 根值审敛法 (柯西判别法) 定理5 设 un , ( un 0) n 1 1
n lim un 1 n 1
un 收敛 n 1
方法失效
un 发散 n 1
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
适用于:以n为指数幂的因子
n 1 1 1 n 0 (n ) 如, 设 级 数 n , un n n n n 1 n 级数收敛.
n 1
1 n( n 1)
当p 1时, 收敛 1 p , p 级数 n 1 n 当p 1时, 发散
1 1 解 因为 un 3 2 n( n 1) n 1 3
而
1 ( n 1)
2 3
n 1
n2散的p-级数.
由比较审敛法
常数项级数的审敛法
1
1 2
p 1
1 4
p 1
1 8
2
p 1
3
1 1 1 p 1 p 1 p 1 2 2 2 1 这是收敛的等比级数, 公比 q p 1 1. 2 1
1 故由比较判别法知 p>1时, p--级数 p 收敛. n 1 n
数 及 其 审 敛 法
常数项级数的审敛法
sn 1
n
1
dx 1 1 1 (1 p1 ) 1 p 1 x p1 n p1
1 即sn有界, 则p 级数 p 收敛.( p 1) n 1 n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 p p p p p p p p 3 4 5 6 7 8 15 2
若 v n收 敛, 则 un收敛
n 1
un lim l , 当l 0时, n v n
n 1
例5
an 讨 论级 数 (a 0)的 敛散 性 . 2n n 1 1 a
常数项级数的审敛法
达朗贝尔,1717–1783, 法国数学家、力学家、哲学家
5.比值审敛法(达朗贝尔 D, Alembert 判定法) 定理4 设 un , ( un 0)
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
常数项级数的审敛法
例6 讨论级数的敛散性
n n n 1 2
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
常数项级数的审敛法
例7 讨论级数的敛散性
a n! (a 0) n n 1 n
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
n
常数项级数的审敛法
柯西(Cauchy) (法)1789–1857
1 n收敛 , 收敛 n 1 3
(1) 判定级数 . 1 cos 的敛散性 n n 1
1 cos
解 lim
n
n
2
2
n 1
x0 x2 1 cos x～ 2
p 2的p 级数
2
1 1 2 1 而级数 2 收敛 2 n 1 n 2 n 1 n
用比较审敛法
1 1 1 则p 级数 n p 发散.当n 1 x n时, 有 p p n 1 n x n dx n dx 1 正 (2) 设 p 1, p 项 p p n 1 x 级 n 1 n n
2 dx n dx 1 1 1 sn 1 p p p 1 p 1 x n 1 x p 2 3 n
常数项级数的审敛法
un lim l , n v n (1) 当0 l 时,两级数有相同的敛散性
un 证 (1) 由lim l n v n
l 取 0 2 l un l N , 当n N时, l l 2 vn 2
(n N )
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
第二节
常数项级数的审敛法
constant term infinite series
正项级数及其审敛法 交错级数及其审敛法
绝对收敛与条件收敛
小结 思考题
第十一章 无穷级数
作业
1
常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
positive term series
1. 定义
un n 1
un 0
正项级数
常数项级数的审敛法
注 1. 根值法条件是充分的, 但非必要.
由 un , ( un 0) 收敛 lim un 1
n
n 1
n
2. 凡涉及证明的命题一般不可用比值法与
根值法, 而只能用比较法.
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
常数项级数的审敛法
由 un ,( un 0) 收敛 lim
所以, 原级数 发散.
常数项级数的审敛法
4.比较审敛法的极限形式
, 如果 定理3 设 un与 v n都 是 正 项 级 数
un lim l , 则 n v n
n 1
n 1
(1) 当0 l 时, 两级数有相同的敛散性;
(2) 当l 0时,若 v n收 敛, 则 un收 敛;
定理2 若0 un vn , 则
v n 收敛 un 收敛 n 1 n 1 un 发散 v n 发散 n 1
n 1
证
un vn
sn u1 u2 un v1 v2 vn
即部分和数列有界.
u
n 1
n
敛散性相同 ;
n 1 n 1
(2) 若un是vn的高阶无穷小 , 则级数 vn收 敛 时,
级 数 un必 收 敛 ;
n 1 n 1
(3) 若un是vn的低阶无穷小 , 则级数 vn发 散 时,
级 数 un必 发 散 .
n 1
n 1
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
形式.
2. 若用比值判别法判定级数发散 ( 1)时, 级数的通项un不趋于零. 后面将用到这一点. un1 3. 一旦出现ρ=1 或 lim 不存在时, n u n 要用其它方法判定. 4. 条件是充分的, 但非必要.
un1 1 由 un , ( un 0) 收敛 lim n u n n 1
收敛
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
若0 un vn ,
un 发散 v n 发散 n 1
n 1
证 设 sn ( n )
且 un vn
不是有界数列
定理证毕.
则 n sn
v n 发散 n 1
n 1
推论1 若 un 收敛 (发散) 且vn kun (n N , k 0)
故级数 1 cos 收敛. n n 1
ln n ( 2) 判 定 级 数 的敛散性 . 2 n 1 n
ln n 2 ln n n 解 lim lim 0 n n n 1
n3 2
1 而级数 3 2 收敛, n 1 n
ln n 故 2 收 敛. n 1 n
2. 收敛的充要条件
s1 s2 sn
这时,只可能有两种情形:
单调增加数列
. (1) 当n 时, sn . 级 数 un必 发 散
( 2) 若{ sn }有上界, 即sn (正常数 ) lim sn s
n
n 1
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
n 1 n 1
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
(3) 当l 时, 若 v n发 散, 则 un发 散.
n 1 n 1
常数项级数的审敛法
当un 0, vn 0时,比较判别法的实质是
通项无穷小比阶 .