函数极限的判定
1.2 函数极限的性质
等价代换得
= lim e x x0
x1 x2
洛必达法则 = lim e x 1
x0 2 x
等价代换得 = lim x 1
x0 2 x 2
例2、lim x cot x
x0
lim x cos x
x0 sin x
0 型
lim x cos x
x0 sin x
1
4、保不等式性 设 lim f x A, lim g x B
x x0
x x0
且存在 0,当0 x x0 时，有f x g( x), 则A B.
5、迫敛性 设 lim f x lim g x A,
x x0
x x0
且0
x x0
时，有f x h( x) g( x),
f
xgg
x
lim
x x0
f
x
lim
x x0
gx
AgB
3、商的极限等于极限的商（条件：分母的极限不为零）
lim f ( x)
lim f ( x) x x0
A
x x0 g( x)
lim g( x)
x x0
B
反例
型
例1、lim x0
1 x
1 e x 1
通分得
= lim e x 1 x x0 x e x 1
则 lim h x
x x0
A.
函数极限的运算法则
设 lim f x A, lim 和差
lim
x x0
f
x
g x
lim
x x0
f
x
lim
x x0
gx
A
B
注：和差极限的存在性不能保证每一项极限都存在
函数的极限函数的连续性
lim[ f ( x) g ( x)] A B
x xo
lim[ f ( x)] [ lim f ( x)]
n x xo
n
这些法则对于的情况仍然适用
函数在一点连续的定义: 如果函数f(x)在 点x=x0处有定义， xlim f(x)存在，且 x lim f(x)=f(x )，那么函数f(x)在点x=x
例2求下列函数的极限：
3x 1 lim x ( x 1) 3
2
x 1 lim 2 x2 x x 2
2
x 1 lim 2 x 1 2 x x 1
2
x2 3 1 lim ( 2 ) x 1 x 1 x 1
（1）讨论函数
1 ( x 0), f（ x ） = ( x 0), 在点x 0处的连续性 ; 0 1 ( x 0) x （2）讨论函数f（x）= 在区间 x3
lim f ( x) a lim f ( x) lim f ( x) a
x x0 x x0
f ( x ) a 其中 xlim 表示当 x 从左侧 x0 趋近于x0时的左极限， lim f ( x) a 表示当x从右侧趋近 x x0 于x0时的右极限
对于函数极限有如下的运算法则： 如果， lim f ( x) A, lim g ( x)
极限问题的基本类型： 分式型，主要看分子和分母的首项系 数； 0 指数型( 0 和 型），通过变形使得 各式有极限； 根式型(∞─∞型)，通过有理化变形使 得各式有极限；
例1 求下列极限
4 1 lim ( x2 4 x 2 ) x2
x lim x0 | x |
cos x . lim x π cos sin x x 2 2 2
函数极限存在的条件是什么
函数极限存在的条件是什么
函数极限存在的条件：
1、单调有界准则。
函数在某一点极限存在的充要条件是函数左极限和右极限在某点都存在且相等。
如果左右极限不相同、或者不存在。
则函数在该点极限不存在。
即从左趋向于所求点时的极限值和从右趋向于所求点的极限值相等。
2、夹逼准则，如能找到比目标版数列或者函数权大而有极限的数列或函数，并且又能找到比目标数列或者函数小且有极限的数列或者函数，那么目标数列或者函数必定存在极限。
函数极限求值方法：
当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，可以通过下面几个小方法解决：
第一：因式分解，通过约分使分母不会为零。
第二：若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。
第三：以上解法都是在趋向值是一个固定值的时候进行的，如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。
（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）。
判断函数极限是否存在的方法
判断函数极限是否存在的方法判断函数极限是否存在是微积分中的重要概念之一。
在实际问题中，判断函数极限的存在性可以帮助我们更好地理解函数的行为，进行数学建模和预测。
在本文中，我们将介绍判断函数极限存在的方法，并详细讨论极限的定义、性质和计算方法。
我们将首先介绍极限的定义，然后讨论函数极限的性质和计算方法。
最后，我们将通过一些例题对判断函数极限存在性的方法进行详细说明。
1.极限的定义在微积分中，我们用极限来描述函数在某一点处的“接近性”。
当自变量x趋于某个值a时，函数f(x)的极限存在，表示当x足够接近a时，f(x)的取值也足够接近一个确定的数L。
这个数L即是函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim(x→a) f(x) = L。
根据这个定义，我们可以得到极限存在的三个要素：自变量x趋于某个值a、函数f(x)在a的邻域内有定义、函数f(x)的取值趋于一个确定的数L。
因此，要判断函数极限是否存在，我们需要根据这三个要素来进行分析和判断。
2.函数极限的性质函数极限存在的性质主要包括唯一性、局部有界性、局部保号性和局部保序性。
唯一性：如果函数f(x)在某一点a的邻域内有极限L，则它的极限值是唯一的。
局部有界性：如果函数f(x)在某一点a的邻域内有极限L，则它在该邻域内有界。
局部保号性：如果函数f(x)在某一点a的邻域内有极限L（L>0），则在该邻域内，函数的取值大于0。
局部保序性：如果函数f(x)在某一点a的邻域内有极限L，则在该邻域内，函数的取值的大小顺序与自变量的大小顺序一致。
这些性质为判断函数极限的存在性提供了重要依据。
在实际问题中，我们可以根据这些性质来判断函数极限是否存在，并进一步进行相关的分析和计算。
3.函数极限的计算方法判断函数极限的存在性和计算实际上是相辅相成的。
只有在判断函数极限存在的前提下，我们才能进行具体的计算。
函数极限的计算方法主要包括极限的四则运算法则、极限的夹逼定理、极限的连续性定理和极限的分部求极限法等。
函数极限存在的条件
作业： 作业：
P55 1; 3
{ f ( x )} .
o 增性， 由 f ( x ) 的递增性，当 x ∈ ( x ′, x0 ) = U + ( x0 , δ ),时，有 f ( x ) ≤ f ( x′) < a + ε . o 由 a = x∈infx ) { f ( x )} ，当 x ∈ ( x ′, x0 ) = U + ( x0 , δ ), 时， U ( a − ε < a ≤ f ( x ).
这 一原则可 以简单地 写为： n→∞ →∞ lim f ( x ) = A ⇔ ∀ { xn } , xn → x0 ,有 lim f ( xn ) = A.
n →∞
lim 又 { xn } ⊂ U δo ′ ( x0 )， xn = x0 , ∃N > 0, 当 n > N 时，有 n →∞
证“ ⇒ ” x → x f ( x ) = a , 对 ∀ε > 0, ∃0 < δ < δ ′, 当 设 lim 0 < x − x0 < δ , 有 f ( x ) − a < ε .
n →∞ n →∞
都存在而不相等， 都存在而不相等，则 lim f ( x )不存在.
x → x0
1 例1 证明极限 lim sin 不存在. x→0 x 1 1 ′ ′′ ( n = 1, 2, L)，则显然有 证：设xn = ， xn = π nπ 2nπ + 2 ′ ′′ xn → 0，xn → 0( n → ∞ )，
∴ lim f ( x ) = a .
x → x0
n →∞
函数极限的存在准则
函数极限的存在准则学习函数极限的存在准则之前，我们先来学习一下左、右的概念。
我们先来看一个例子：例：符号函数为对于这个分段函数,x从左趋于0和从右趋于0时函数极限是不相同的.为此我们定义了左、右极限的概念。
定义：如果x仅从左侧(x＜x0)趋近x0时，函数与常量A无限接近，则称A为函数当时的左极限.记：如果x仅从右侧(x＞x0)趋近x0时，函数与常量A无限接近，则称A为函数当时的右极限.记：注：只有当x→x0时，函数的左、右极限存在且相等，方称在x→x0时有极限函数极限的存在准则准则一：对于点x0的某一邻域内的一切x，x0点本身可以除外(或绝对值大于某一正数的一切x)有≤≤，且，那末存在，且等于A注：此准则也就是夹逼准则.准则二：单调有界的函数必有极限.注：有极限的函数不一定单调有界两个重要的极限一：注：其中e为无理数，它的值为：e=2.718281828459045...二：注：在此我们对这两个重要极限不加以证明.注：我们要牢记这两个重要极限，在今后的解题中会经常用到它们.例题：求解答：令，则x=-2t，因为x→∞，故t→∞，则注：解此类型的题时，一定要注意代换后的变量的趋向情况，象x→∞时，若用t代换1/x，则t→0.无穷大量和无穷小量无穷大量我们先来看一个例子：已知函数，当x→0时，可知，我们把这种情况称为趋向无穷大。
为此我们可定义如下：设有函数y=，在x=x0的去心邻域内有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总可找到正数δ，当时，成立，则称函数当时为无穷大量。
记为：（表示为无穷大量，实际它是没有极限的）同样我们可以给出当x→∞时，无限趋大的定义：设有函数y=，当x充分大时有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总可以找到正数M，当时，成立，则称函数当x→∞时是无穷大量，记为：无穷小量以零为极限的变量称为无穷小量。
定义：设有函数，对于任意给定的正数ε(不论它多么小)，总存在正数δ(或正数M)，使得对于适合不等式(或)的一切x，所对应的函数值满足不等式，则称函数当(或x→∞)时为无穷小量.记作：(或)注意：无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量，不是常量，只有0可作为无穷小量的唯一常量。
高等数学函数极限存在的判别法则
1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x 1 x
x
x
x
x
1 1 x
1 x
1 由 lim 1 e 知 n n
0
若 xn x0 n , 则有
判 别 准 则 II 的 充分性证明要 用反证法证明 ，证明从略．
f ( xn ) A( n ).
x 这里 0 可代表 x0 , x0 , , , 和 .
sin x 极限不存在． 例4 证明 xlim
3 x 1
3 x 1
1 1 lim 1 1 x x x
x
3
e 3 1 0 e 3 .
数列极限是特殊的函数极限，由函数极限的定义，若
lim f ( x ) A, 则对任何 xn x0 ( n ), 有 x x
x 0 x 0
sin x 1. 由判别准则I,知 lim x 0 x
图1.6.1
第二个重要极限:
1 lim 1 e x x
n
x
1 第二个重要极限要通过 lim 1 e 和定理1得到， n n
有兴趣研究其证明方法可参阅有关教材，我们只给出
高等数学多媒体课件
§1.6 函数极限存在的判别法则
由于函数极限的变量取值的连续性，导致函 数极限存在的判别法则和数列极限存在的判别法 有相似，但又有许多不同． 判别准则I (两边夹法则) 若 0 0, 使得当
x U ( x0 , 0 ) 时， h( x ) f ( x ) g ( x ), 且
函数的极限与连续性的判定
函数的极限与连续性的判定函数的极限和连续性在数学中起着重要的作用，能够帮助我们更深入地理解函数的行为。
在本文中，将探讨函数极限和连续性的概念以及它们的判定方法。
一、函数的极限1.1 函数极限的定义在数学中，函数的极限表示函数在某一点或正无穷或负无穷时的趋近情况。
设函数f(x)定义在一个邻域内，如果存在一个实数L，对于任意给定的ε>0，总能找到一个正数δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立，则我们说函数f(x)在x=a时的极限为L，记作lim┬(x→a)〖f(x)=L〗。
1.2 极限的性质对于函数的极限而言，有以下性质：- 极限唯一性：一个函数在某一点的极限只能是一个确定的数值。
- 局部有界性：若函数在某一点存在极限，则该函数在该点的一个邻域内是有界的。
- 分段函数的极限：对于分段函数而言，只需分别计算函数的极限即可，不同分段的极限可以单独处理。
二、函数的连续性在数学中，一个函数f(x)在某一点x=a连续，即存在一个邻域内的全体实数x，当x趋向于a时，f(x)也趋向于f(a)，则称函数f(x)在x=a 连续。
2.2 连续函数的性质对于连续函数而言，有以下性质：- 函数的和、差、积、商仍为连续函数；- 复合函数的连续性：若f(x)在x=a处连续，g(x)在f(a)处连续，则复合函数g(f(x))在x=a处连续；- 连续函数的复合性：若f(x)在x=a处连续，g(x)在x=b处连续，则复合函数g(f(x))在x=a处连续。
三、极限与连续性的判定方法3.1 极限的判定要判断一个函数f(x)在某一点x=a处是否存在极限，可以通过以下方法进行判定：- 代入法：将x的具体值代入函数，观察函数的变化趋势，并比较极限的定义条件。
- 利用数列：构造一个数列{xn}，当n趋向于正无穷时，观察函数f(xn)的极限，若存在且唯一，则该极限即为函数f(x)在x=a处的极限。
极限存在与不存在的判定方法
极限存在与不存在的判定方法极限是微积分中的一个重要概念，它用于描述函数在趋近某一点时的行为。
然而，对于一个给定的函数，如何判定其极限是否存在呢？本文将介绍几种常用的方法来判定极限的存在与否。
一、数列极限的判定方法对于数列的极限，我们可以通过以下方法进行判定：1. 判定法则一：夹逼准则夹逼准则是常用的一种判定数列极限的方法。
它的基本思想是：如果一个数列被两个收敛的数列夹住，并且这两个数列的极限相等，那么原数列也收敛，并且极限等于这两个收敛数列的极限。
2. 判定法则二：单调有界原理单调有界原理是判定数列极限的另一种常用方法。
它的基本思想是：如果一个数列单调递增且有上界（或单调递减且有下界），那么该数列必定收敛。
3. 判定法则三：零点判别法零点判别法适用于一些特殊的数列。
它的基本思想是：如果一个数列的极限等于零，那么这个数列可以通过一些数列变换的方法来判定极限的存在。
二、函数极限的判定方法对于函数的极限，我们可以通过以下方法进行判定：1. 判定法则一：柯西收敛准则柯西收敛准则是判定函数极限的一种常用方法。
它的基本思想是：对于任意一个正数ε，存在一个正数δ，当函数定义域中任意两个点的距离小于δ时，函数值的差的绝对值也小于ε，那么该函数的极限存在且唯一。
2. 判定法则二：函数极限存在的等价定理函数极限存在的等价定理是判定函数极限存在的另一种常用方法。
它的基本思想是：如果一个函数在某一点附近连续，那么该函数在该点必定存在极限。
3. 判定法则三：函数的无穷极限函数的无穷极限判定是用来判断函数在正无穷或负无穷处的极限存在与否。
它的基本思想是：如果一个函数在某一方向上趋于无穷大或无穷小，那么相应的无穷极限也存在。
三、其他方法除了上述常用的判定方法外，还有一些特殊情况下的判定方法可以用于判定极限的存在与否，如洛必达法则、泰勒展开等等。
这些方法在具体问题中的应用较为灵活，需要根据具体情况来选择使用。
综上所述，判定极限的存在与否需要根据不同的情况选择适当的方法。
函数极限的性质及运算法则
=
23 -1 22 -10+3
=
-
7 3
x2
二、函数极限的运算法则
例例33
求 lim x3
x-3 x2 -9
解
解 lim
x 3
x-3 = lim x2 -9 x3
x-3 = lim (x-3)(x+3) x3
1 x+3 =
lim 1
xx33
=1
lim (x+3) 6
xx33
例例44
求 lim 2x-3 x1 x2 -5x+4
x
3 sin = 3 lim x x 3
x
= 31
=3
三、两个重要极限
(2)
lim(1 + 1 )x = e
x
x
lim(1 + 1 )n = e
n
n
三、两个重要极限
证明：当 x 1时, 有 [ x] x [ x] + 1,
(1 + 1 )[ x] (1 + 1 ) x (1 + 1 )[ x]+1 ,
解 因解解为 limlimx2x-25-x5+x4+4==121-25-51+14+4==0 0 xx11 2x2-x3-3 221-13-3
根据无穷大与无穷小的关系得
lim
x1
2x-3 x2 -5x+4
=
二、函数极限的运算法则
•讨论
有理函数的极限 lim P(x) = ? xx0 Q(x)
•提示
§2.3 函数极限的性质及运算法则
一、函数极限的性质 二、函数极限的运算法则 三、两个重要极限
极限的基本概念及判定方法
极限的基本概念及判定方法极限是微积分中的重要概念，用于描述函数在某点的趋势和变化。
本文将介绍极限的基本概念以及判定方法，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、什么是极限？在数学中，极限是一种数列或函数逐渐趋近于某个确定值的性质。
当自变量趋近于某个值时，函数的取值也逐渐接近于一个确定的值，这个确定的值就是函数的极限。
考虑一个函数f(x)，当自变量x无限接近于某个值a时，如果存在一个确定的常数L，使得对任意给定的正数ε（无论多么小），总存在着另一个正数δ，只要自变量x满足0 < |x - a| < δ，就有|f(x) - L| < ε成立，那么我们称L为函数f(x)当x趋于a时的极限，记作：lim(x→a) f(x) = L二、函数极限的判定方法1. 函数极限是否存在的判定方法函数极限存在的判定方法主要有以下三种情况：- 左极限等于右极限。
即lim(x→a^(-)) f(x) = lim(x→a^(+)) f(x)- 左极限等于函数值。
即lim(x→a^(-)) f(x) = f(a)- 右极限等于函数值。
即lim(x→a^(+)) f(x) = f(a)2. 函数的无穷大极限判定方法若函数f(x)当x趋于无穷大时趋于无穷大，记作lim(x→∞) f(x) = +∞；而当x趋于无穷小时趋于无穷大，记作lim(x→0) f(x) = +∞。
3. 函数的等价无穷小极限判定方法如果在x趋于某一点a的过程中，函数f(x)与g(x)之间存在一个关系，使得lim(x→a) g(x) = 0，则称函数f(x)是g(x)的一个等价无穷小。
三、极限的运算性质极限具有一些基本的运算性质，以下是常见的运算性质：1. 两个函数极限的和等于函数的和的极限。
即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)2. 两个函数极限的差等于函数的差的极限。
极限的基本概念及判定方法
极限的基本概念及判定方法极限是微积分学中的基本概念之一，它是描述函数趋于某一特定值时的行为的数学工具。
在本文中，我们将介绍极限的基本概念并讨论常见的判定方法。
1. 极限的基本概念在微积分中，当自变量趋近于某一特定值时，函数的取值也会相应地趋近于一个特定值，这个特定值就是函数的极限。
用数学符号表示为：lim(x→a) f(x) = L其中，lim表示极限，x→a表示自变量x趋近于a，f(x)表示函数，L表示极限值。
这个符号的意思是当x无限接近于a时，f(x)无限接近于L。
2. 极限的判定方法2.1 通过函数图像观察法最直观的方法是通过观察函数的图像来判断极限。
当自变量x趋近于某一值时，如果函数的图像趋近于某一水平线（如水平线y=L），则可以认为函数的极限存在，并且极限值为L。
2.2 代入法另一种用于判定极限的方法是代入法。
如果函数在某一点a的附近存在定义，并且当自变量x趋近于a时，函数的取值无限接近于某一特定值L，则可以通过代入a的值来验证极限的存在。
2.3 夹逼定理夹逼定理是一种常用的判定极限的方法。
如果函数f(x)、g(x)和h(x)满足以下条件：- 对于自变量x在a的某个邻域内，有f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)；- lim(x→a) f(x) = lim(x→a) h(x) = L。
那么，当x趋近于a时，函数g(x)的极限存在，并且极限值为L。
2.4 无穷小量和无穷大量无穷小量是指在极限运算中趋于零的量，通常用符号o(x)表示。
相对应地，无穷大量则是在极限运算中趋于无穷的量，用符号O(x)表示。
通过无穷小量和无穷大量的概念，我们可以定义函数的极限。
3. 总结通过对极限的基本概念和判定方法的介绍，我们了解了极限的概念以及判定方法的一些基本原理。
在实际应用中，判定函数的极限可以通过观察函数图像、代入法、夹逼定理以及无穷小量和无穷大量的概念来进行。
掌握这些方法，可以帮助我们更好地理解函数在不同自变量取值下的行为，并在微积分学中应用。
高数极限的知识点笔记总结
高数极限的知识点笔记总结一、数列极限的概念1.1、数列的概念1.1.1、若给定一个从自然数集合N到实数集合R的函数an=f(n),则称序列{an}为数列。
1.1.2、数列是数学中的一个重要概念，它是指有序的一串数的集合。
比如，1,2,3,4,5,6,... 就是一个数列，其中每一个数都有一个位置，称之为该数在数列中的项。
这个位置通常用自然数n表示，称为项数。
1.2、数列极限的概念1.2.1、若数列{an}的项在某一项之后，无论距离这一项多近，都能无限地接近某一个确定的常数A，则称常数A为数列{an}的极限。
极限通过记号lim(an)=A来表示。
1.2.2、数列极限的概念是指当n趋于无穷大时，数列中的项an的极限值。
1.2.3、形式化定义：对于数列{an}，若对于任意给定的正数ε>0，存在正整数N，使得当n>N时，|an-A|<ε，则称A是数列{an}的极限。
1.3、无穷大数列1.3.1、若数列{an}满足：对于任何实数M，存在正整数N，使得当n>N时，有|an|>M，则称数列{an}为无穷大数列。
1.3.2、无穷大数列的极限是无穷大。
1.4、数列极限的性质1.4.1、唯一性：数列的极限若存在，则唯一。
1.4.2、有界性：如果数列有极限，则这个数列一定是有界的。
1.4.3、保号性：如果数列{an}有极限A, 且A>0（或A<0），则存在正整数N1，当n>N1时，有an>0（或an<0）。
二、函数极限的概念2.1、函数极限的概念2.1.1、在自然数集N上定义的函数f(n)，若当n趋于无穷大时，f(n)的极限存在，则称函数f(n)在n趋于无穷大时有极限。
2.1.2、形式化定义：对于函数f(x)，若对于任意给定的正数ε>0，存在正数δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-A|<ε，则称A是f(x)当x趋于a时的极限。
数学 函数极限知识点总结
数学函数极限知识点总结一、基本概念1.1 函数极限的概念函数极限是指当自变量趋于某个特定值时，函数的取值趋于某个确定的值。
具体地说，设函数f(x)在点x=a的某个邻域内有定义，如果存在一个常数A，对于任意给定的正数ε，总存在另一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)-A|<ε成立，那么称函数f(x)当x趋于a时的极限为A，记为lim(x→a)f(x)=A。
1.2 函数极限的图像解释在图像上，函数f(x)在点x=a处的极限为A，就是指当x趋于a时，函数曲线逐渐接近点(x，A)。
特别地，如果对于任意给定的ε，总存在一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，函数曲线都在点(x，A)的ε-邻域内，那么称函数f(x)在点x=a处的极限存在，并且等于A。
1.3 函数极限的表达方式函数极限通常有三种表达方式，分别是极限右侧、极限左侧和双侧极限。
其中，当x趋于a时，如果函数f(x)的极限只依赖于x大于a时的情况，那么记为lim(x→a+)f(x)=A；如果函数f(x)的极限只依赖于x小于a时的情况，那么记为lim(x→a-)f(x)=A；如果函数f(x)的极限既依赖于x大于a时的情况，又依赖于x小于a时的情况，那么记为lim(x→a)f(x)=A。
1.4 无穷大与无穷小当函数f(x)在点x=a处的极限为无穷大时，即lim(x→a)f(x)=∞或lim(x→a)f(x)=-∞，就称函数f(x)在点x=a处的极限为无穷大；当函数f(x)在点x=a处的极限为0时，即lim(x→a)f(x)=0，就称函数f(x)在点x=a处的极限为无穷小。
二、求解方法2.1 用极限定义求解对于一般的函数极限问题，可以使用极限的定义求解。
具体地说，通过设定ε-δ的方式，利用函数的性质和运算规则，逐步推导出函数在特定点的极限。
通常包括利用夹挤定理、利用三角不等式、利用数列极限等方法来求解函数极限。
判断极限存在的方法
判断极限存在的方法
判断极限存在的方法主要有以下几种：
1. 代入法：对于给定的函数，将自变量接近目标值代入，计算函数值，如果函数值接近于某个确定的值，那么该函数极限存在。
2. 等价无穷小比较法：对于给定的函数，在无穷或趋于某一点时，将其与已知的等价无穷小进行比较，如果它们的比值趋于一个确定的常数，那么该函数极限存在。
3. 夹逼法：对于给定的函数，在某一点附近存在两个已知的函数，它们的极限都是同一个值，并且在这两个函数之间的函数值都局限在这两个函数之间，那么该函数的极限存在且等于这个公共值。
4. 单调有界准则：对于给定的函数，如果它在某一点附近单调，并且存在一个界限，那么该函数的极限存在。
5. 介值定理：对于给定的函数，在某一点附近存在一个闭区间，该函数在该闭区间内连续，且函数在该闭区间内取到一切可能的值，那么该函数的极限存在。
这些方法都是常用的判断极限存在的方法，根据具体的函数形式和问题需要，可以选择合适的方法来判断极限是否存在。
5第二章函数与极限(等价无穷小与两重要极限)
arc tan x ~ x
ln(1 x) ~ x
(1 x) 1 ~ x
例 求 lim tan2 2x . x0 1 cos x
解 当x 0时, 1 cos x ~ 1 x2 , 2
原式
lim x0
(2 x )2 1 x2
8.
2
tan 2x ~ 2x.源自注意 不能滥用等价无穷小代换.
对于代数和中各无穷小不能分别替换.
xx0
xx0
则：lim f (x) A
x x0
例.计算
lim 2n n n!
(n 1, 2,3， )
解： 2n 2 2 2
n! 1 2 3
2 2 n 1 n
0 22 23
2 1 n 1
2 2 4 0 (n 2,3, ) 1n n
0 2 2 2 123
又: lim0 0 n
2 24 n1 n n
特殊地 如果lim 1,则称与是等价的无穷小;
记作 ~ ;
定理(等价无穷小替换定理)
设 ~ , ~ 且 lim 存在,则 lim lim .
几个重要的等价无穷小：当 x 0 时，
sin x ~ x tan x ~ x
arcsin x ~ x
1 cos
x
~
1 2
x2
ex 1~ x
某过程
注意：
(1) lim sin x 1 x0 x
lim sin x =0
x x
lim sin f (x) 1,其中lim f (x) 0
x0 f (x)
x0
例
求
lim
x0
1
cos x2
x
.
利用三角公式：1 cos x 2sin2 x 2
极限的定义与极限存在的判定方法
极限的定义与极限存在的判定方法极限是高等数学中最基础和最重要的概念之一，是计算微积分、微分方程等高级数学问题的基础。
极限的存在性也是判断函数是否可导、连续等重要性质的基础。
那么，什么是极限？极限存在的判定方法又有哪些呢？一、极限的定义极限的定义是通过无穷小和无穷大的概念来描述的。
对于一个函数f(x)，当x趋近于a时，若f(x)可以无限接近于一个确定的数L，则称函数f(x)在x趋近于a时的极限为L，记作：$\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=L$其中，a为x的极限点。
如果对于任意一个ε>0，都存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，那么称L为f(x)在x=a时的极限。
二、极限存在的判定方法1. 函数存在左、右极限且相等当a为函数f(x)的间断点，但其左右极限都存在且相等，则f(x)在x=a时的极限存在。
例如：$\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\sin{x}}{x}=1$在x=0时，函数的左右极限均为1。
2. 夹逼准则对于函数f(x)，若存在两个函数g(x)和h(x)，满足当x趋近于a 时，g(x)≤f(x)≤h(x)，且$\lim\limits_{x\rightarrowa}g(x)=\lim\limits_{x\rightarrow a}h(x)=L$，则函数f(x)在x=a时的极限存在，且等于L。
例如：$\lim\limits_{x\rightarrow0}x\sin(\frac{1}{x})=0$证明：由于|x|≥0，所以-1≤sin(x)≤1，于是有$-|x|\leq x\sin(\frac{1}{x})\leq |x|,\ \ x\neq0$当x趋近于0时，左右两边的夹逼条件都成立，因此可以得到$\lim\limits_{x\rightarrow0}-|x|\leq\lim\limits_{x\rightarrow0}x\sin(\frac{1}{x})\leq\lim\limits_{x\rightarrow0}|x|$即$0\leq \lim\limits_{x\rightarrow0}x\sin(\frac{1}{x})\leq 0$由夹逼准则，可得$\lim\limits_{x\rightarrow0}x\sin(\frac{1}{x})=0$3. 函数具有保号性如果当x趋近于a时，函数f(x)的极限存在，且极限不为0，则函数f(x)在x=a时的符号和极限的符号相同。
函数极限的运算法则
函数极限的运算法则函数极限是一种有力的数学分析方法，可以帮助我们解决复杂的问题，从而更好地理解和掌握理论。
它是一组确定运算算法，可以用来计算函数中变量趋近于某个值时函数值的趋势。
函数极限的运算法则定义了函数极限的性质，它们对函数的各个变量距离某个值的运算过程均有明确的规定。
首先，函数极限的运算算法规定：当函数中的变量趋近于某个值时，函数值趋于一定的值。
也就是说，当变量趋近于某个值，函数的值就会趋近于某个值。
具体的来说，函数极限的运算法则规定，当变量x趋于某个值a时，函数y=f(x)的值就会趋于某个值L。
其次，函数极限的运算算法规定：当变量x趋近于某个值a时，函数f(x)的导数就会趋于某个值。
具体来说，当x趋于a时，函数f(x)的导数就会趋于某个数的无穷小值。
再次，函数极限的运算算法规定：当变量x趋近于某个值a时，函数f(x)的反导数就会趋于某个值。
具体来说，当x趋于a时，函数f(x)的反导数就会趋于某个数的无穷大值。
最后，函数极限的运算算法规定：当x从某个值a取值时，函数f(x)的值就会等于函数f(a)的值。
函数极限的运算法则规定，当x从某个值a取值时，函数f(x)的值就会等于函数f(a)的值，而且这个值也可以是常数或函数的值。
总的来说，函数极限的运算法则是一组确定性的运算算法，它们可以帮助我们更好地理解函数的特性，在实际的数学计算中也可以用来帮助我们解决复杂的问题。
学习和掌握这些运算算法对于深入了解函数极限的运算规则具有重要的意义。
函数极限是理论分析方法中最重要的工具之一，它能够有效地帮助我们分析函数的特性和行为，从而更好地理解和掌握函数极限的运算规则。
函数极限的运算法则能够帮助我们更深入地探索函数，从而更好地理解和掌握函数作用原理。
在理论研究中，函数极限的运算算法的正确掌握和应用也可以更好地帮助我们解决实际的问题。
函数的极限(左右极限).
函数在一点处的极限与左、右极限
1．当自变量x无限趋近于常数x0（但x不等于x0）时，如
果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋近于x0时，
函 数 f(x) 的 极 限 是 a ， 记 作 f(x)→a。
lim f( x) a 或 当 x→x0 时
x x 0
y 4 2.25 0.41 0.04 0.004 0.0004 0.00004 ……
从表格上看：
表1说明，自变量x＜2趋近于2(x→2-)时，y→4． 表2说明，自变量x＞2趋近于2(x→2+)时，y→4． 从图象上看：自变量x从左侧趋近于2(即x→2-)和 从右侧趋近于2(即x→2+)时，y都趋近于4．
右极限，记作 lim f( x) a
。
x
x
0
4．常数函数f(x)=c在点x=x0处的极限有
lim
x x 0
f
(
x
)
C
.
注意：
（1） lim f( x) 中x无限趋近于x0，但不包含x=x0即 xx0
x≠x0，所以函数f(x)的极限是a仅与函数f(x)在点x0附 近的函数值的变化有关，而与函数f(x)在点x0的值无关 （x0可以不属于f(x)的定义域）
x
x
x
◆对于常数函数f(x)=c(x∈R),
也有 lim f (x) C x
lim 1 0 x x
二 考察函数，比较特征
1．考察函数y=x2，当x无限趋近于2时，函数的变
化趋势
(1)图象
y y=x2
4
2.25 1
o
1 1.5 2 x
(2)列表
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0 xn x0 .
从而有 f ( xn ) A ,
故
lim
x
f
(xn )
A.
例如, lim sin x 1 x0 x
y sin x x
lim nsin 1 1,
n
n
lim
n
n sin 1 1, n
lim
n
n2 n
1
sin
n n2
1
1
为更强的形式。如当 x x0 时有：
定理3.9
设函数
f在
x0
的某空心邻域U
0
(
x0
)
内有定义， lim f (x) A xx0
对任何以 x0
为极限的递减数列 xn U0(x0) ，有
lim
n
f
(xn )
A
.
二、单调有界定理 相应于数列极限的单调有界定理，关于上述
例1 证明 lim sin 1 不存在.
x0 x
证
取
xn
1 n
,
y sin 1 x
lim
n
xn
0,
且 xn 0;
取
xn
4n
1
1
,
lim
n
xn
0,
且 xn 0;
2
而 lim sin 1 lim sin n
§ 3.3 函数极限存在的条件
本节介绍函数极限存在的两个充要条件. 仍以极限 lim f (x) 为例
x x0
一 Heine归并原则 —— 函数极限与数列极 限的关系：
二 单调有界定理:
三 Cauchy准则:
一 Heine归结原则 —— 函数极限 与数列极限的关系：
1.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)
的某空心邻域 U o( x0 , )内有定义. 则
lim f (x) 存在
x x0
0, 0( ), x, x U o( x0, ) ,
f (x) f (x) .
证 ) ( 利用极限的定义 ) ) ( 利用Heine归并原则 )
( xn )是f
( x)当x
a
时的一个子列,
则有lim n
f
( xn )
A.
证 lim f ( x) A x x0 0, 0,使当0 x x0 时, 恒有 f (x) A .
又 lim n
xn
x0
且
xn
x0 ,
对上述 0, N 0,使当n N时, 恒有
四类单侧极限也有相应的定理。现以 x x0
这种类型为例叙述如下:
Th3.10
设
f
为定义在
U
0
(
x0
)
Hale Waihona Puke 上的单调有界函数，则右极限
lim
x x0
f (x) 存在.
注：Th３.10可更具体地叙述如下：
f
为定义在
；
U
0
(
x0
)
上的函数，若
f
在
U
0
(
x0
)上递增（减）有下（上）界，则
lim f (x) 存在，且 lim f (x) inf f (x)
注：按照Cauchy准则，可以写出 lim f (x)
不存在的充要条件：存在
x x0
0 ，对任意
( 0) ，存在
| f (x) f (x) |
使得 x, x U 0 ( x0 ; )
.
例：用Cauchy准则说明
lim sin
x0
1 x
不存在.
取
x
1
xx0
x x0
xU
0
(
x0
)
( lim f (x) sup f (x))
x x0
xU
0
(
x0
)
极限存在性
下面给出关于左极限的相应定理的表述和证明.
定理 设 f (x) 在
U
0
(
x
0
)
上定义，且
f (x) 单调上升，则
lim
xx0 0
f
(x)存在且等于
sup f (x) .
定义 设在过程x a(a可以是x0 , x0 ,或x0 )中 有数列xn( a),使得n 时xn a.则称数列
f ( xn ),即f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ), 为函数f ( x)
当x a时的子列.
定理
若 lim xa
f
(x)
A,数列f
2 函数极限与数列极限的关系
函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极 限都存在,且相等.
Heine定理，又称归并原则
一 Heine归结原则 —— 函数极限与数列极限的关系：
Th 3.8 设函数 f 在点 x0 的某空心邻域
U o( x0 ) 内有定义.则极限
lim
x x0
f (x) 存在,
对任何 xn U o( x0 ) 且
n
,
x
1
n
.
综上所述：Heine定理和Cauchy准则是2说
明极限不存在的很方便的工具。
小结
一 Heine归并原则 —— 函数极限与数列 极限的关系：
二 单调有界定理
三 Cauchy准则:
xx0 ，
不存在的方法，即“若可找到一个数列xn
或lnim“ x找n 到x两0 ，个使都得以x0ln为im极f限(x的n )数不列存在xn；,”xn ，
使
lim
n
f
(
xn
),
lim
n
f
( xn )
都存在但不相等，则
lim f (x) 不存在.
x x0
xn x0 ,
lim
n
f
(xn )
都存在且相等.
注１． f (xn)
是数列，lim n
f
(xn )
是数列的极限。所以
这个定理把函数 f (x)的极限归结为数列 f (xn)
的极限问题来讨论，所以称之为“归结原则”。由此，
可由数列极限的性质来推断函数极限性质。
注２．从Heine定理可以得到一个说明 lim f (x)
xx0 0
xU
0
(
x0
)
2) A
因集合无上界，对 M 0
, ，
x
U
0
(
x0
)
使得 f (x) M .取 x0 x 0 ，则当
0 x0 x
时, 有 f ( x) f ( x) M , 即
.
lim f (x) sup f (x)
U
0
(x0
),
使得
f (x) A , 取 x0 x 0 ，则当
, 0 x0 x 时，由。函数单调上升得
f (x) f (x) A . , 再由上确界定义
A f (x) A , 或 f (x) A
即 lim f (x) A sup f (x)
xU
0
(
x0
)
注 E 无上界, 规定 supE ,
E 无下界, 规定 inf E .
证 令A=
sup f (x)
xU
0
(
x0
)
,
当集合{
f
(x)
|
x
U
0
(x0
)}
有上界时, A ，当它无上界时， A
1) A
0
, 由上确界定义， x
x x0 0
xU
0
(
x0
)
类似地我们有: 在 f (x)
U
0
(
x
0
)
定义，且
f (x)
单调下降,则 . lim f (x) inf f (x)
x x0 0
xU
0
(
x0
)
关于右极限的相应结果，同学们自行给出定理的表 述和证明。
三 Cauchy准则: Th 3.11 ( Cauchy准则 ) 设函数 f (x) 在点 x 0
n
x n n
而 lim sin 1 lim sin 4n 1 lim1 1,
n
xn n
2
n
二者不相等,
故 lim sin 1 不存在.
x0
x
注３．对于 x x0 , x x0, x , x
这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可 表示