山西实杰中学2017_2018学年高二数学上学期第二次月考试题文-含答案 师生通用

天才出于勤奋
康杰中学2017—2018学年度第一学期第二次月考
高二数学（文）试题
2018.1
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.）
1. 命题“若x 2
>y 2
,则x >y ”的逆否命题是 A ．“若x <y ,则x 2
<y 2
” B ．“若x >y ,则x 2>y 2
” C ．“若x ≤y ,则x 2
≤y 2
”
D ．“若x ≥y ,则x 2
≥y 2
”
2. 抛物线x 2
＝y 的准线方程是
A ．4x +1=0
B ．4y +1=0
C ．2x +1=0
D ．2y +1=0
3. 已知p ：1<m <3，q ：m 满足方程x 2
m －1+y 2
3-m
＝1表示椭圆，那么p 是q 的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，动点P 满足|PF 1|-| PF 2|=8，则动点P 的轨迹方程是 A ．x 216＋y 29
＝1
B ．x 216－y 29＝1
C ．x 2
16－y 2
9
＝1(x <0)
D ．x 2
16－y 2
9
＝1(x >0) 5. 已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x
”，命题q ：“∃x ∈R，x 2
＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是 A ．[e,4]
B ．[1,4]
C ．(4,＋∞)
D ．(－∞,1]
6. 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5
2
，则C 的渐近线方程为
A ．x y 41±
= B ．x y 31±= C ．x y 2
1
±= D ．x y ±= 7. 抛物线24y x =上一点P 到直线1x =-的距离与到点()2,2Q 的距离之差的最大值为
天才出于勤奋
A ．3 B
C ．5
D
8. 过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆E ：x 2
a 2＋y
2
b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M
是线段AB 的中点，则椭圆E 的离心率等于
A ．12
B ．22
C ．3
2
D ．
3
3
9. 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 且倾斜角为 60的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于B A ,两点,则
BF
AF 的值等于
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
10. 已知F 为抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．14
C ．12
D ．10
11. 设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2
m
＝1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则
m 的取值范围是
A ．(0，1]∪[9，+∞)
B ．(0，3]∪[9，+∞)
C ．(0，1]∪[4，+∞)
D ．(0，3]∪[4，+∞)
12. 已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x ，A 1，A 2是实轴的顶点，F 是右焦点，B (0,b )是
虚轴的一个顶点，若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点P i （i =1，2），使得△P i A 1
A 2（i =1，2）构成以A 1 A 2为斜边的直角三角形，则双曲线的离心率e 的取值范围是
A ．⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛+235,2 B ．()
2,1 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞+,215 D ． ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+215,2 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.）
天才出于勤奋
13. 已知命题p ：1)1(,0>+>∀x
e x x ，则¬ p 为_________. 14. 右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，
水面宽4 m ，当水面下降1 m 后，水面宽________m. 15. 已知正方形ABCD ，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点的
椭圆的离心率为_________.
16. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右支与焦点为F 的抛
物线x 2
=2py （p >0）交于A ，B 两点，若|AF |+|BF |=4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为____________________.
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分10分）已知p ：213
1
≤--x ，q ：)0(01222>≤-+-m m x x ，若 ¬ p 是¬ q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.
18. （本小题满分12分）已知命题p ：]1,1[-∈∀m ，不等式
832
2+≥--m a a 恒成立；命题q ：关于x 的一元二次方程：x 2-4ax +2a +6=0无负根，若“q p ∧”为假，“q p ∨”
为真，求实数a 的取值范围
19. （本小题满分12分）已知动点P 到定点F (1，0)的距离与到定直线l ：x =－1的距离相等，设动点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；
（2）过点F 且倾斜角为135°的直线交曲线C 于A ，B 两点，求|AB |.
20. （本小题满分12分）已知椭圆E ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别是F 1
、
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F 2，椭圆E 上的点到点F 1距离的最大值是3+2，短轴一个顶点到F 2的距离为 3.
（1）求椭圆E 的方程；
（2）设过点F 1且斜率为1的直线l 与椭圆E 交与A ，B 两点，求△ABF 2的面积
21. （本小题满分12分）设A ，B 为曲线C ：42
x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4
（1）求直线AB 的斜率.
（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.
22. （本小题满分12分）已知椭圆C ：)0(12
2
22>>=+b a b y a x 过点3(1,)2A ，且离心率e 为1
2
（1）求椭圆C 的方程；
（2）E 、F 是椭圆上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线
EF 的斜率为定值，并求出这个定值.
高二数学（文）答案
一、选择题
1. C
2. B
3. B
4. D
5. A
6. C
7. D
8. B 9. C 10. A
11. A 12. D 二、填空题
13. 0x ∃≤，(1)1x
x e +≤
（或0000,(1)1x
x x e ∃≤+≤）
14.
1
16. 2
y x =±
三、解答题
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17. 解析： 由1
:
123
x p --≤
得2010-≤≤
由22:210q x x m -+-≤ 得22(1)x m -≤
∵0m > ∴11m x m -≤≤+ …………………………4分 ∵p ⌝是q ⌝的必要不充分条件 ∴q p ⌝⇒⌝ 且p q ⌝⇒⌝ ∴p q ⇒ 且q p ⇒
即p 是q 的充分不必要条件 ……………………………………7分 ∴12
110
m m -≤-⎧⎨
+≥⎩（等号不能同时成立）
∴9m ≥
………………………………………10分
18. 解析： ∵[]1,1m ∈-
⎡⎤⎣⎦
∵[]1,1m ∀∈-
，不等式23a a -- ∴2
33a a --≥
得2a ≤-或3a ≥
∴命题p 为真命题时，2a ≤-或3a ≥
……………………3分
命题q ：关于x 的一元二次方程：2
4260x ax a -++=无负根 ①方程无实根：2164(26)0a a ∆=-+< 得3
12
a -<<
②方程有实根且均为非负根
∴2164(26)040260a a a a ⎧∆=-+≥⎪
≥⎨⎪+≥⎩
得3
2
a ≥
………………7分 ∴命题q 为真命题时，1a >-
……………………8分
∵“p q ∧”为假，“p q ∨”为真 ∴,p q 一真一假
∴p 真q 假时：231
a a a ≤-≥⎧⎨≤-⎩
设2a ≤-
或
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p 假q 真时：23
1a a -<<⎧⎨>-⎩
设13a -<<
………………11分
综上：实数a 的取值范围是：2a ≤-或13a -<< …………12分
19. 解析：（1）设点(,)P x y
由题曲线C 是以(1,0)F 为焦点，直线1x =-为准线的抛物线 ∴曲线C 的方程是：24y x =
…………………………4分
（2）直线AB 的方程为：1y x =-+ …………………………5分 设11(,)A x y
22(,)B x y
则1212112AB AF BF x x x x =+=+++=++ ………………7分
由2
1
4y x y x
=-+⎧⎨
=⎩
设2
610x x -+=
∴126x x +=
……………………10分 ∴12||28AB x x =++=
……………………12分
20. 解析：（1
）由题222a c a a b c ⎧+=⎪⎪
=⎨⎪=+⎪⎩
解得1,a b c ==
…………………………6分
设11(,)A x y
22(,)B x y
由22
13
y x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩
得2
430x ++=
∴122
x x +=-
123
4
x x ⋅=
……………………9分 ∴2ABF ∆的面积12121
2
S F F y y =
⨯⨯-
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121
||2
x x =⨯-
=
== ……………………12分
或：弦长AB =
==
点2F 到直线AB
的距离2d == ∴2ABF ∆
的面积1
2
S AB d =
⨯⨯=21. 解：（1）设1122(,),(,)A x y B x y
由题12x x ≠，22
121212,,444
x x y y x x ==+=
2221212121214414
AB
x x y y x x k x x x x -
-+====-- ∴直线AB 的斜率为1 …………………………4分
（2）由题设曲线C 在点M 处的切线方程为y x m =+
由24
y x m x y =+⎧⎪⎨=⎪⎩
得2
440x x m --=
∴16160m ∆=+= ∴1m =-
∴点M(2, 1) ………………………………6分 设直线AB 的方程：y x t =+
由24
y x t x y =+⎧⎪⎨=⎪⎩ 得2
440x x t --=
16160t ∆=+> 设1t >-
12124,4x x x x t +=⋅=-
…………………………8分
1212(2)(2)(1)(1)MA MB x x y y ⋅=--+--
天才出于勤奋
1212122()4(1)(1)x x x x x t x t =-++++-+-
212122(3)()4(1)x x t x x t =+-+++- 284(3)4(1)0t t t =-+-++-=
解得7t =或1t =-（舍去）
…………………………11分 ∴直线AB 的方程为7y x =+ …………………………12分
文22. 解析：（1）由题：22222914112a b
c e a a b c ⎧
⎪+=⎪⎪⎪==⎨
⎪
⎪=+⎪⎪⎩
解得2,1a b c ==
∴椭圆C 的方程为：22
143
x y += ……………………4分
（2）法一：设直线AE 的方程为：3
(1)2
y k x -
=- 由22
3(1)214
3y k x x y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得222(34)4(23)41230k x k k x k k +--+--=
∴2222
412312129,342(34)k k k k E k
k ⎛⎫+---+ ⎪++⎝⎭ ………………9分
由题直线AF 的方程为3
(1)2
y k x -
=-- ∴2222
412312129,342(34)k k k k F k k ⎛⎫+---+ ⎪++⎝⎭
………………9分
天才出于勤奋
∴2222222
2
1212912129
1212(34)2(34)
41234123242
3434EF
k k k k k k k k k k k k k k k -++--+-
++===+----++ …………11分
∴直线EF 的斜率为定值，且这个定值为
1
2
………………12分
法二：设直线EF 的方程为1122,(,)(,)y kx m E x y F x y =+
由2214
3y kx m x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩
得222(34)84120k x kmx m +++-=
122
834km
x x k
+=-+ 2122
412
34m x x k
-⋅=+ ……………………6分
∴12122112123333
()(1)()(1)2222011(1)(1)AE AF y y kx m x kx m x k k x x x x -
-+--++--+=+==----
…………………………7分
∴122133(+)(1)()(1)22
kx m x kx m x --++--
12123
2()()232
kx x m k x x m =+--+-+
222
412382()2334234m km k m k m k k -=⋅---⋅-+++ 222
12241263(21)(232)03434k k km m k k m k k -+---+===++
得12k = 或 322k
m -= ……………………10分 322k m -=时 33(1)22y kx k k x =+-=-+过定点3(1,)2
A ,舍去 …………11分
∴直线EF 的斜率为定值，且这个定值为1
2
……………………12分。