河南省郑州市高中数学 第一次质量预测

河南省郑州市2011年高中毕业年级第一次质量预测
数学试题（文科）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

考试时间120分钟，满分150分。

考生应首先阅读答题卷上的文字信息，然后在答题卷上作答，在试题卷上作答无效。

参考公式：
样本数据n x x x ,,,21 的标准差；
x x x x x x x n
s n 其中],)()()[(1
22221-+-+-=
为样本平均数； 柱体体积公式：为底面面积其中S Sh V ,=、h 为高；
锥体体积公式：h S Sh V ,,3
1
为底面面积其中=为高； 球的表面积、体积公式：,3
4,432
R V R S ππ==其中R 为球的半径。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1．下列四个命题中的真命题为 （ ） A ．00,143x Z x ∃∈<< B ．00,510x Z x ∃∈+=
C ．2
,10x R x ∀∈-=
D ．2
,20x R x x ∀∈++>
2．若向量a 、b 满足3
||||1,(),2
a b a b b ==+⋅=且向量a 、b 的夹角为 （ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
3．若复数3(,12a i
a i i
+∈-R 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 （ ）
A ．—2
B ．4
C ．—6
D ．6
4．已知集合{2,3},{|60},,A B x mx B A ==-=⊆若则实数m= （ ）
A ．3
B ．2
C ．2或3
D ．0或2或3 5．设a 、b 是实数，且3,22a
b
a b +=+则的最小值是
（ ）
A ．6
B
．C
．D ．8
6．直线1y kx =+与曲线2y x ax b =++相切于点A （1，3），则a b -= （ ）
A ．—4
B ．—1
C ．3
D ．—2
7．设α、β是两个不同的平面，a 、b 是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中真命
题是
（ ）
A ．若//,//,//a b a b αα则
B ．若//,//,//,//a b a b αβαβ则
C ．若,,,a b a b αβαβ⊥⊥⊥⊥则
D ．若a 、b α在平面内的射影互相垂直，则a b ⊥
8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为481
,3n S S S =且，则816
S S = （ ）
A ．
1
8
B ．
13 C ．
19
D ．
310
9．右图是一个空间几何体的三视图，如果直角三角形的直角
边长均为1，那么这个几何体的体积为 （ ） A ．1 B ．
12 C ．
1
3
D ．16
10．将函数sin(6)4
y x π
=+
图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移
8
π
个单位，得到的函数的一个对称中心是
（ ）
A ．(
,0)2
π
B ．(
,0)4
π
C ．(
,0)9
π
D ．(
,0)16
π 11．已知双曲线的方程为22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距
离为
3（c 为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率为 （ ）
A
B ．
3
2
C
D ．
23
12．设,,a b c 分别是函数2112
2
1
1()()log ,()2log ,()()log 2
2
x x
x
f x x
g x x
h x x =-=-=-的
零点，则,,a b c 的大小关系是
（ ）
A ．b c a <<
B ．a b c <<
C ．b a c <<
D ．c b a <<
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．阅读右图所示的程序框图，若运行该程序后输出的
y 值为
1
8
，则输入的实数x 值为 。

14．已知31
(0,),sin ,tan 225cos 2παααα
∈=+计算
的值为 。

15．若不等式组,,230y x y x x y ≤⎧⎪
≥-⎨⎪--≤⎩
表示的平面区域为M ，
221x y +≤所表示的平面区域为N ，现随机向区
域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率 为 。

16．已知抛物线2
4,y x =过焦 点F 的弦与抛物线交于A 、B 两点，过A 、B 分别作y 轴垂线，垂足分别为C 、D ，则|AB|+|BD|的最小值是 。

三、解答题（共70分） 17．（本小题满分12分）
某中学共有1000名学生参加了该地区高三第一次质量检测的数学考试，数学成绩如下表所示：
样的方法抽取100名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为95分， 求他被抽中的概率；
（II ）已知本次数学成绩的优秀线为110分，试根据所提供数据估计该中学达到优秀线
的人数；
（III ）作出频率分布直方图，并估计该学校本次考试的数学平均分。

（同一组中的数据用
该组区间的中点值作代表）
18．（本小题满分12分）
某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：
在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A 、B 两地相距100米，60BAC ∠=︒，在A
地听到弹射声音的时间比B 地晚
2
17
秒，A 地测得该仪器在A 、B 、C 三地位于同一水平面上，至最高点H 时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH （声音的传播速度为340米/秒）
19．（本小题满分12分） 如图，正方形ADEF 所在平面和等腰梯形所在平面ABCD 垂直，已知BC=2AD=4，
60ABC ∠=︒，.BF AC ⊥ （I ）求证：AC ⊥面ABF ；
（II ）求异面直线BE 与AF 所成的角； （III ）求该几何体的表面积。

20．（本小题满分12分）
已知函数()ln 1.f x px x =--
（I ）当0p >时，求函数()f x 的单调区间； （II ）求证：1,ln 1x x x ∀≥≤-；
（III ）已知数列{},{},n n a b 若2,ln(1)ln ,{}n n n n n n n a b a a S b ==+-为数列的前n 项
和，求证： 1.n S <
21．（本小题满分12分）
已知圆22:(16,C x y A +=点，Q 是圆上一动点，AQ 的垂直平分线
交CQ 于点M ，设点M 的轨迹为E 。

（I ）求轨迹E 的方程；
（II ）过点P （1，0）的直线l 交轨迹E 于两个不同的点A 、B ，AOB ∆（O 是坐标原点）
的面积4
5
S =
，求直线AB 的方程。

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，AB是⊙O的直径，C、F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C 作CD⊥AF交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M。

（I）求证：DC是⊙O的切线；
（II）求证：AM：MB=DF·DA。

参考答案
一、选择题
DCDDB ACDCA BA 二、填空题 13．
34； 14．7； 15．12
π
； 16．2． 三、解答题
17．解：⑴分层抽样中，每个个体被抽到的概率均为
样本容量
总体中个体总数
，…………2分
故甲同学被抽到的概率1
10
p =
．……………… 3分 ⑵由题意1000(6090300160)390x =-+++=，………………………… 4分 故估计该中学达到优秀线的人数120110
16039029012090
m -=+⨯
=-，… 6分
⑶
频率分布直方图．…………………………3分 该学校本次考试数学平均分
6015904530075390105160135
1000
x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
90=．…………………………11分 估计该学校本次考试的数学平均分为90分． ………12分
18．解：由题意，设||AC x =，则2||3404017
BC x x =-⨯=-, 在△ABC 内，由余弦定理：
222||||||2||||cos BC BA CA BA CA BAC =+-⋅⋅∠,…4分
即 2
2
(40)10000100x x x -=+-，解之得420.x = ………………7分 在△ACH 中，||420,30,90AC CAH ACH =∠=∠=
,
所以||||tan CH AC CAH =∠= …………………………11分
答：该仪器的垂直弹射高度CH =
米． ………………………… 12分 19．⑴证明：因为面ADEF ⊥面ABCD ,
AF ⊥交线AD , AF ⊂面ADEF ,
所以AF ⊥面ABCD ． ……2分 故 AF AC ⊥, 又 B F A C ⊥,
AF BF F ⋂=．
所以AC ⊥面ABF , ……4分
⑵解：注意到//DE AF ,
所以DE 与BE 所成的角即为异面直线BE 与AF 所成的角, ……6分 连接BD ，由⑴知DE BD ⊥．
在Rt BDE
中，2,tan 60BD
DE BD BED BED DE
==∴∠==∠= , 异面直线BE 与AF 所成的角为60
． ……8分
⑶解：由⑴知AF ⊥面ABCD ，所以AF AB ⊥，又cos602AB BC ==
,
所以△ABF 的面积11
||||22
S AF AB =
⋅=． ……9分 同理△CDE 的面积22S =，等腰梯形BCEF 的上底长为2，下底长为4，
两腰长均为
31
(24)2
S =
⨯+=……10分 等腰梯形ABCD 的上底长为2，下底长为4，两腰长均为2,
41
(24)2
S =⨯+⨯=…… 11分
故该几何体的表面积123448S S S S S =++++=．…12分 20．⑴解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1
()f x p x
'=-
, ……1分 当()0f x '>时1x p >
，所以函数()f x 在1
(,)p
+∞上为增函数, 当()0f x '<时10x p <<
，所以函数()f x 在1
(0,)p
上为减函数, 故函数()f x 的增区间为1(
,)p +∞，减区间为1
(0,)p
．……6分 ⑵证明：由⑴得，当1p =时()f x 在[1,)+∞上是增函数, 所以()(1)0f x f ≥=，即ln 1x x ≤-．……8分 ⑶证明：由⑵得1
ln(1)ln ln
ln(12)2n n n n n n n
a b a a a --+=+-==+≤ , …… 10分
1212222121n n n n S b b b ----=+++≤+++=-< ．
即1n S <成立． ………………………………………………12分 21
．⑴解：由题意||||||||||4MC MA MC MQ CQ +=+==>所以轨迹E 是以,A C 为焦点，长轴长为4的椭圆． …… 2分
即轨迹E 的方程为2
214
x y +=．………………………………4分 ⑵解：记1122(,),(,)A x y B x y ,
由题意，直线AB 的斜率不可能为0，故可设:1AB x my =+,
由2244,1,
x y x my ⎧+=⎨=+⎩ 消x 得：22(4)230m y my ++-=, 所以
122
122
2,43
,4m
y y m y y m ⎧-+==⎪+⎪
⎨⎪⋅==-⎪+⎩
……………………………………………………………………………… 7分
121||| .2S O P y y =-……9分
由45
S =
，解得2
1m =，即1m =±．………………………………10分 故直线AB 的方程为1x y =±+，
即1010x y x y +-=--=或为所求． ……12分 22． ⑴证明：连接OC ,
,OA OC OCA OAC =∴∠=∠ ,
又,DAC OAC DAC OCA ∠=∠∴∠=∠．
//,AD OC CD AD ∴⊥又，OC CD ∴⊥，即DC 是⊙O 的切线． …… 5分 ⑵证明：因为CA 是∠BAF 的角平分线,
90CDA CMA ∠=∠= ，所以CD CM =．
由⑴知2DC DF DA =⋅，又2
CM AM MB =⋅．
所以AM ·MB =DF ·DA ． ………………………………10分。