3--阶梯形矩阵

2 0 2 0
3 0 3 3
4 0 4 4
5 0 , 5 5
第2行无首元
对于矩阵的每一行，从左往右数，第一个不为零的 元素称为这一行的非零首元（简称首元）。
阶梯形矩阵
0 0 0 0 0 a 1 j1 0 a 1 j2 a 2 j2 a 1 jr a 2 jr a1n a2n a rn 0 0

1 0 0 0
1 0 0 0 0 3 0 0
3 0 7 1
7 21 3 15
1 3 1 0 1
1 1 2 0
2 7 1 4
2 r 1 r 5 6
1 3
1 3 0 2
7 3
7 0 3 1
矩阵的初等行变换
例 解线性方程组(消元法) 矩阵的初等行变换与初等矩阵 阶梯形矩阵、标准形矩阵 计算逆矩阵
阶梯形矩阵简介
首元 阶梯形矩阵 约化的阶梯形矩阵
首元
1 0 0 0
1 0 0 0
2 2 0 0
2 0 2 0
0 3 3 0
3 3 3 0
0 0 4 0
1 1 0
( 1)
2 0 0
1 1 0
2 1 0
3 1 0
阶梯形
2 0 0
2 1 0

1 2
( 1)
1 0 0 1 0 0 1
( ) 2
1 2 1 0
3 0 3 0
4 4 4 0
5 5 5 5
6 6 , 6 6
不是阶梯形矩阵。
特别地，若阶梯形矩阵的首元都为1，且首元所在的列 其余元素为零，则称这种矩阵为约化的阶梯形矩阵。
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 3 0 , 1 0
1 0 0 0
0 0 0
2 0 0
3 3 0
4 4 0
5 5 5
例
1 0 0
2 2 3
3 3 0
4 4 0
5 5 , 5
2 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 , 0 1
1 0 0 0
2 0 0 0
0 0 0 0 a rj r 0
阶梯形矩阵
0 0 0
mn
a ij i 0 , ( i 1, 2 , , r ), 为第 i 行的首元。
阶梯形矩阵的定义：
设矩阵 A 的第 (r+1) 行到最后一行全为零， 其他的行不为零。因而 A 的前 r 行都有首 元，设第 i 行的首元为
4 4 4 0
5 0 , 0 0
5 5 , 5 0
1 0 0 0
2 0 0 0
3 3 0 0
4 4 4 0
5 5 , 5 0
0 0 0
2 0 0
3 3 0
4 4 0
5 5 5
1 0 0 0
2
2 1 1 0
5 1 2 6

3 r1 r3 2 r1 r4
5 14 2 4
1 0 r2 r3 0 0
1 0 0 0 0 1 0 0 1 3 1 3 1 0
a ij i 0 ( i 1 , 2 , , r ),
亦即，第 i 行的首元在第 j i 列。若
j1 j 2 j r 则称上述矩阵 A 为阶梯形矩阵。
等价地：（1）首元下面的元素全为零；
（2）元素全为零的行位于矩阵的下端。
例
阶梯形矩阵
1 0 0 0 2 2 0 0 3 3 3 0 4 4 4 0 5 5 , 5 0 1 0 0 0 2 0 0 0 3 3 0 0 4 4 4 0 5 5 , 5 0
21 15
1 3 2 3 6 0
1 1 r2 3 3 2 r 3 r4 0 6
7 5 r2 r1 3 7 r2 r3 1 2 5 r2 r3 7 14 4 4 7 1 0 0 3 1 r 3 r1 0 1 0 4 3 1 r3 r2 3 3 0 0 1 6 0 0 0 0
注意：只用到了初等行变换。
标准型矩阵
1 r 个 1 D 1
mn
定理
任何矩阵
Am n

行，列变换化成
标准形
注：既可以用行变换，也可以用列变换。
标准型矩阵的例子
1 0 0 0 1 0 0 0 , 0
7 3 3 2 4 1 0 2 解 r1 r2 4 1 A 3 2 7 3 0 2 2 4 10 3 2 4 10 3 0 0 1 2 3 1 2 3 ( 2 )r r ( 1 ) r3 r1 1 3 0 2 4 1 0 2 4 1 2 4 10 3 0 8 16 3 0 1 2 3 ( 4 ) r2 r3 0 2 4 1 阶梯形矩阵 0 0 0 7
1 0 0 0
2 0 0 0
0 2 0 0
0 1 0 0
1 0 0 0
6 5 0 0
1 3 0 0
是
1 0 0 0
0 1 0 0
2 0 1 0
0 0 , 1 0
不是
约化的阶梯形矩阵对线性方程组至关重要。
约化的阶梯形矩阵
1 ( 4 ) r2 r3 0 0 1 r2 r1 0 0 0 2 0
2 2 0 1 4 0
3 4 0 0 0 7
0 1 1 2 r3 r2 1 7 0 2 7 0 0 1 0 1 1 1 r2 , r3 7 2 0 1 2 0 0 0
1 1 0
约化的阶梯形
1 0 0
0 1 0
( 1)
0 1 0
0 1 1 0 0
( 1)
0 1 0
0 0 0
0
0 0 0
标准形
练习： 通过行初等变换将下述矩阵化成约化的阶梯形矩阵
0 3 1 2
3 4 0 0 0 1
0 0 7
约 化 阶 梯 形
1 0 0
0 1 0
1 2 0
0 0 1
0 1 0 0 0 1
约 化 阶 梯 形
作列变换可进一步 将之化作标准形
1 l3 l4 0 0
1 2 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 , 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 , 0 1
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 , 0 0
例
矩阵 阶梯形矩阵 约化的阶梯形矩阵 标准形
是满足下述三个条件的矩阵：
1，阶梯形矩阵。 2，首元都等于1. 3，首元所在的列Байду номын сангаас余元素为零。
定理
任何矩阵
Am n

行的初等变换
阶梯形矩阵
约化的阶梯形矩阵

行的初等变换
即：任何矩阵都可以经过一系列的初等行变换 化作阶梯形矩阵，也可以进一步化作约化的阶 梯形矩阵。
1 ( 1 ) l1 l 4 ,( 2 ) l 2 l 4 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
标准形
有三个“1”
练习
2 A 4 2
将A化为阶梯形矩阵、约化阶梯形矩阵、标准形
1 1 0 2 3 1
0 1 0
3 ( 2 ) 5 2