已知双曲线

已知双曲线k y x =
与直线1
4y x =相交于A 、B 两点．第一象限内的点M （m ，n ）（在A 点左侧）是双曲线k
y x
=上的动点．过点B 作BD ∥y 轴交x 轴于点D ．过N （0，－n ）作NC ∥x 轴交双曲线k
y x
=
于点E ，交BD 于点C ． （1）若点D 坐标是（－8，0），求A 、B 两点坐标及k 的值．
（2）若B 是CD 的中点，四边形OBCE 的面积为4，求直线CM 的解析式．
（3）设直线AM 、BM 分别与y 轴相交于P 、Q 两点，且MA =pMP ，MB =qMQ ，求p －q 的值．
数学参考答案
解：（1）∵D （－8，0），∴B 点的横坐标为－8，代入1
4
y x =
中，得y =－2． ∴B 点坐标为（－8，－2）．而A 、B 两点关于原点对称，∴A （8，2）．从而8216k =⨯=． （2）∵N （0，－n ），B 是CD 的中点，A 、B 、M 、E 四点均在双曲线上， ∴mn k =，B （－2m ，－
2
n
），C （－2m ，－n ），E （－m ，－n ）． S 矩形DCNO 22mn k ==，S △DBO =1122mn k =，S △OEN =11
22mn k =，
∴S 四边形OBCE = S 矩形DCNO －S △DBO － S △OEN =k ．∴4k =． 由直线14
y x =
及双曲线4
y x =，得A （4，1），B （－4，－1），
∴C （－4，－2），M （2，2）．
设直线CM 的解析式是y ax b =+，由C 、M 两点在这条直线上，得 42,2 2.
a b a b -+=-⎧⎨
+=⎩ 解得2
3a b ==．∴直线CM 的解析式是2233y x =+．
（3）如图，分别作AA 1⊥x 轴，MM 1⊥x 轴，垂足分别为A 1、M 1．
设A 点的横坐标为a ，则B 点的横坐标为－a ．于是 111A M MA a m p MP M O m -===．
同理MB m a
q MQ m
+==， ∴2a m m a
p q m m
-+-=-=-．。