人教版数学九年级上册专项六 解答题(三)题型-课件
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x
y=k′x交于A,B两点，点A在第一象限，试回答下列问题：
（1）若点A的坐标为（3，1），则点B的坐标为 _（_-_3_,-_1_）__；当x满足__-_3_≤_x_<_0_或_x_≥_3___时，kx ≤k′x； （2）如图K2-6-4②，过原点
O作另一条直线l，交双曲线 y= k （k＞0）于P，Q两点，
3
把D坐标代入y= ,得m=-6. ∴反比例函数的解析式为y=- 6 .
x
∵AM=2MO，∴MO= OA=1，即M（-1，0）.
把M与D的坐标代入y=kx+b中，得
解得k=b=-1.则一次函数的解析式为y=-x-1.
（2）把y=3代入y= - 6 ，得x=-2.
x
∴N（-2，3），即NC=2.
设P（x，y），
x
点P在第一象限.
①四边形APBQ一定是_平__行__四__边_形__；
②若点A的坐标为（3，1），点P的
横坐标为1，求四边形APBQ的面积.
（3）设点A，P的横坐标分别为m，n，四边形APBQ 可能是矩形吗？可能是正方形吗？若可能，直接写出 m，n应满足的条件；若不可能，请说明理由.
解：（2）②∵点A的坐标为（3，1），
（3）mn=k时，四边形APBQ是矩形， 不可能是正方形. 理由如下：当AB⊥PQ时四边形APBQ是正方形，此 时点A，P在坐标轴上，由于点A，P不可能在坐标轴 上，故不可能是正方形，即∠POA≠90°. 因为mn=k，易知P，A关于直线y=x对称，所以 PO=OA=OB=OQ，所以四边形APBQ是矩形.
∵点E与点D关于直线x=3对称，∴E（2，0）.
设直线BC的解析式为y=px+q，
把B（3，1），C（-1，-3）代入,得
解得
∴直线BC的解析式为y=x-2. 当x=2时，y=x-2=0，
∴点E在直线BC上,即点B,E,C在同一条直线上.
4. 如图K2-6-4①，已知双曲线y= k （k＞0）与直线
5. 如图K2-6-5，已知一次函数y=ax+b（a，b为常数，
a≠0）的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，且与反
比例函数y= k （k为常数，k≠0）的图象在第二象限
x
内交于点C，作CD⊥x轴于D，若OA=OD=
3
OB=3.
4
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）观察图象直接写出不等式0＜ax+b≤ k 的解集；
（2）判断点B,E,C是否在同一条直线上，并说明
理由；
（3）如图K2-6-3②，已知点F在x轴正半轴上，OF= 3 ，
2
点P是反比例函数y= k （k≠0）的图象位于第一象限部
x
分上的点（点P在点A的上方），∠ABP=∠EBF，则点P
29
的坐标为（ __3 ，_ _）_2 _.
（2）点B,E,C在同一条直线上. 理由如下：
x
3. （2017镇江）如图K2-6-3①，一次函数y=-x+b与 反比例函数y= k （k≠0）的图象交于点A（1，3），
x
B（m，1），与x轴交于点D，直线OA与反比例函 数y= k （k≠0）的图象的另一支交于点C，过点B作
x
直线l垂直于x轴，点E是点D关于直线l的对称点.
（1）k=__3__；
∴k=3×1=3.
∴反比例函数的解析式为y=
3 x
.
∵点P的横坐标为1，
∴点P的纵坐标为3.
∴P（1，3）.
由双曲线关于原点对称可知，Q（-1，-3），B（-3，-1）， 如答图2-6-20，过点A,B分别作y轴的平行 线，过点P,Q分别作x轴的平行线，分别交 于C,D,E,F，则四边形CDEF是矩形. ∴CD=6，DE=6，DB=DP=4，CP=CA=2. 则S四边形APBQ =S矩形CDEF-S△ACP-S△PDB-S△BEQ-S△AFQ =36-2-8-2-8=16.于点B，且Biblioteka △ABO=3 2.
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求直线与双曲线的两个交
点A，C的坐标和△AOC的面积.
解：（1）设点A坐标为（x，y），且x＜0，y＞0，
则S△ABO=
1 2
·∣BO∣·∣BA∣=
·（1-x）·y=
2
.3
2
∴xy=-3.又∵y= ，即xy=k，∴k=-3.
∴所求的两个函数的解析式分别为y=- 3 ，y=-x+2.
∵直线OA与反比例函数y= 3（k≠0）的图象的另一支交于点C，
x
∴点A与点C关于原点对称. ∴C（-1，-3）.
∵B（m，1）在反比例函数y=
3 x
的图象上，
∴1×m=3，解得m=3，即B（3，1）.
把A（1，3）代入y=-x+b,得-1+b=3，解得b=4.
∴直线AB的解析式为y=-x+4.
当y=0时，-x+4=0，解得x=4，则D（4，0）.
∵△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，
∴
1 2
OM·∣y∣=
（1 OM+NC）·OC，得∣y∣=9.
2
解得y=±9.
当y=9时，x=-10，当y=-9时，x=8.
则点P坐标为（-10，9）或（8，-9）.
2. 如图K2-6-2，Rt△ABO的顶点A是双曲线y= k
x
与直线y=-x-（k+1）在第二象限的交点. AB⊥x轴
x
（3）在y轴上是否存在点P，使得△PBC是以BC为
一腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出P点的坐
标；如果不存在，请简要说明理由.
解：（1）∵CD⊥OA，∴DC∥OB.
∴ OB = OA = 3 = 1 .
CD AD 6 2
∴CD=2OB=8.
∵OA=OD= OB=3，
∴A（3，0），B（0，4），C（-3，8）.
x
经过点D，与BC的交点为N. （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）若点P在直线DM上，且使△OPM的面 积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标.
解：（1）∵正方形OABC的顶点C（0，3），
∴OA=AB=BC=OC=3，∠OAB=∠B=∠BCO=90°. ∵AD=2DB，∴AD= 2 AB=2.∴D（-3，2）.
第二部分 中考题型专项突破
专项六 解答题（三）题型（9分题）
类型一 一次函数与反比例函数综合题
1. 如图K2-6-1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O 与坐标原点重合，点C的坐标为（0，3），点A在x轴的负半 轴上，点D，M分别在边AB，OA上，且AD=2DB，AM=2MO， 一次函数y=kx+b的图象过点D和M，反比例函数y= m 的图象
y=k′x交于A,B两点，点A在第一象限，试回答下列问题：
（1）若点A的坐标为（3，1），则点B的坐标为 _（_-_3_,-_1_）__；当x满足__-_3_≤_x_<_0_或_x_≥_3___时，kx ≤k′x； （2）如图K2-6-4②，过原点
O作另一条直线l，交双曲线 y= k （k＞0）于P，Q两点，
3
把D坐标代入y= ,得m=-6. ∴反比例函数的解析式为y=- 6 .
x
∵AM=2MO，∴MO= OA=1，即M（-1，0）.
把M与D的坐标代入y=kx+b中，得
解得k=b=-1.则一次函数的解析式为y=-x-1.
（2）把y=3代入y= - 6 ，得x=-2.
x
∴N（-2，3），即NC=2.
设P（x，y），
x
点P在第一象限.
①四边形APBQ一定是_平__行__四__边_形__；
②若点A的坐标为（3，1），点P的
横坐标为1，求四边形APBQ的面积.
（3）设点A，P的横坐标分别为m，n，四边形APBQ 可能是矩形吗？可能是正方形吗？若可能，直接写出 m，n应满足的条件；若不可能，请说明理由.
解：（2）②∵点A的坐标为（3，1），
（3）mn=k时，四边形APBQ是矩形， 不可能是正方形. 理由如下：当AB⊥PQ时四边形APBQ是正方形，此 时点A，P在坐标轴上，由于点A，P不可能在坐标轴 上，故不可能是正方形，即∠POA≠90°. 因为mn=k，易知P，A关于直线y=x对称，所以 PO=OA=OB=OQ，所以四边形APBQ是矩形.
∵点E与点D关于直线x=3对称，∴E（2，0）.
设直线BC的解析式为y=px+q，
把B（3，1），C（-1，-3）代入,得
解得
∴直线BC的解析式为y=x-2. 当x=2时，y=x-2=0，
∴点E在直线BC上,即点B,E,C在同一条直线上.
4. 如图K2-6-4①，已知双曲线y= k （k＞0）与直线
5. 如图K2-6-5，已知一次函数y=ax+b（a，b为常数，
a≠0）的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，且与反
比例函数y= k （k为常数，k≠0）的图象在第二象限
x
内交于点C，作CD⊥x轴于D，若OA=OD=
3
OB=3.
4
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）观察图象直接写出不等式0＜ax+b≤ k 的解集；
（2）判断点B,E,C是否在同一条直线上，并说明
理由；
（3）如图K2-6-3②，已知点F在x轴正半轴上，OF= 3 ，
2
点P是反比例函数y= k （k≠0）的图象位于第一象限部
x
分上的点（点P在点A的上方），∠ABP=∠EBF，则点P
29
的坐标为（ __3 ，_ _）_2 _.
（2）点B,E,C在同一条直线上. 理由如下：
x
3. （2017镇江）如图K2-6-3①，一次函数y=-x+b与 反比例函数y= k （k≠0）的图象交于点A（1，3），
x
B（m，1），与x轴交于点D，直线OA与反比例函 数y= k （k≠0）的图象的另一支交于点C，过点B作
x
直线l垂直于x轴，点E是点D关于直线l的对称点.
（1）k=__3__；
∴k=3×1=3.
∴反比例函数的解析式为y=
3 x
.
∵点P的横坐标为1，
∴点P的纵坐标为3.
∴P（1，3）.
由双曲线关于原点对称可知，Q（-1，-3），B（-3，-1）， 如答图2-6-20，过点A,B分别作y轴的平行 线，过点P,Q分别作x轴的平行线，分别交 于C,D,E,F，则四边形CDEF是矩形. ∴CD=6，DE=6，DB=DP=4，CP=CA=2. 则S四边形APBQ =S矩形CDEF-S△ACP-S△PDB-S△BEQ-S△AFQ =36-2-8-2-8=16.于点B，且Biblioteka △ABO=3 2.
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求直线与双曲线的两个交
点A，C的坐标和△AOC的面积.
解：（1）设点A坐标为（x，y），且x＜0，y＞0，
则S△ABO=
1 2
·∣BO∣·∣BA∣=
·（1-x）·y=
2
.3
2
∴xy=-3.又∵y= ，即xy=k，∴k=-3.
∴所求的两个函数的解析式分别为y=- 3 ，y=-x+2.
∵直线OA与反比例函数y= 3（k≠0）的图象的另一支交于点C，
x
∴点A与点C关于原点对称. ∴C（-1，-3）.
∵B（m，1）在反比例函数y=
3 x
的图象上，
∴1×m=3，解得m=3，即B（3，1）.
把A（1，3）代入y=-x+b,得-1+b=3，解得b=4.
∴直线AB的解析式为y=-x+4.
当y=0时，-x+4=0，解得x=4，则D（4，0）.
∵△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，
∴
1 2
OM·∣y∣=
（1 OM+NC）·OC，得∣y∣=9.
2
解得y=±9.
当y=9时，x=-10，当y=-9时，x=8.
则点P坐标为（-10，9）或（8，-9）.
2. 如图K2-6-2，Rt△ABO的顶点A是双曲线y= k
x
与直线y=-x-（k+1）在第二象限的交点. AB⊥x轴
x
（3）在y轴上是否存在点P，使得△PBC是以BC为
一腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出P点的坐
标；如果不存在，请简要说明理由.
解：（1）∵CD⊥OA，∴DC∥OB.
∴ OB = OA = 3 = 1 .
CD AD 6 2
∴CD=2OB=8.
∵OA=OD= OB=3，
∴A（3，0），B（0，4），C（-3，8）.
x
经过点D，与BC的交点为N. （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）若点P在直线DM上，且使△OPM的面 积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标.
解：（1）∵正方形OABC的顶点C（0，3），
∴OA=AB=BC=OC=3，∠OAB=∠B=∠BCO=90°. ∵AD=2DB，∴AD= 2 AB=2.∴D（-3，2）.
第二部分 中考题型专项突破
专项六 解答题（三）题型（9分题）
类型一 一次函数与反比例函数综合题
1. 如图K2-6-1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O 与坐标原点重合，点C的坐标为（0，3），点A在x轴的负半 轴上，点D，M分别在边AB，OA上，且AD=2DB，AM=2MO， 一次函数y=kx+b的图象过点D和M，反比例函数y= m 的图象