专题02 解二元一次方程组压轴题四种模型全攻略(原卷版)

专题02解二元一次方程组压轴题四种模型全攻略【类型一代入消元法】
例1．（2021·广东清远·二模）解方程组：
1 37
x y
x y
=+
ì
í
+=
î
．
【变式训练1】（2022·甘肃兰州·八年级期末）解方程组
3213 410 x y
x y
-=ì
í
+=
î
【变式训练2】（2021·上海·华东政法大学附属中学期末）解方程组：
1
3
2
522
y x
x y
ì
=+
ï
í
ï-=
î
．
【变式训练3】（2021·上海市民办尚德实验学校期末）解方程组：
3211 25
x y
x y
-=
ì
í
+=
î
．
【类型二加减消元法】
例2．（2021·上海中学东校期末）解方程组
11
1
23
4
x y
x y
-+
ì
+=
ï
í
ï+=
î
．
【变式训练1】（2021·山西运城·八年级期末）解方程组：
25 323 x y
x y
-=ì
í
-=î
【变式训练2】（2021·福建·大同中学二模）解方程组：
10 235
x y
x y
+=
ì
í
-=
î
．
【变式训练3】（2021·上海民办建平远翔学校七年级期末）解方程组
32
210
x y
x y
-=
ì
í
+=
î
．
【类型三错解复原问题】
例3．（2022·江苏·七年级专题练习）解方程组
2 2
42 5
x y
x y
-=
ì
í
-=
î
①
②
时，两位同学的解法如下：
解法一：由①﹣②，得3x＝﹣3
解法二：由②得3x +（x ﹣2y ）＝5③①代入③得3x +2＝5
(1)反思：上述两种解题过程中你发现解法 的解题过程有错误（填“一”或“二”）；解二元一次方程组的基本思想 ．
(2)请选择一种你喜欢的方法解此方程组．
【变式训练1】（2021·云南昭通·七年级期末）判断下面方程组325231x y x y -=ìí+=-î①②的解法是否正确，如果全部正
确，判断即可；如果有错误，请写出正确的解题过程．解：①×2-②×3，得52y =，解得2
5
y =，把25y =
代入方程①，得23255x -´=，解得2915
x =．∴原方程组的解为2915
25x y ì
=ïïí
ï=ïî
【变式训练2】（2021·浙江台州·七年级期末）小明同学解方程组3127x y x y -=ìí-=î①
②的过程如下：
解：①×2，得2x ﹣6y ＝2③③﹣②，得﹣6y ﹣y ＝2﹣7
﹣7y ＝﹣5，y ＝5
7；
把y ＝57代入①，得x ﹣3×57＝1，x ＝227所以这个方程组的解是2275
7x y ì=ïïí
ï=ï
î你认为他的解法是否正确？若正确，请写出每一步的依据；若错误，请写出正确的解题过程．
【变式训练3】（2021·江苏宿迁·七年级期末）仔细阅读下列内容，并回答问题：用代入法解方程组()()72312122x y x y ì-=ï
í-=-ïî
有以下步骤：
①由（1）得，73
2
x y -=
（3）②把（3）代入（1）得，73
7232
x x --´=，③整理得33=，
④∴x 可取一切实数，原方程组有无数个解．
（1）选择：以上解法中，造成错误的一步是（ ）A ． ① B ． ② C ． ③ D ． ④（2）用加减法解这个方程组．
【类型四 整体代换思想问题】
例4．（2021·山东烟台·七年级期中）阅读下列材料：
小明同学遇到下列问题：解方程组2323743
2323832x y x y
x y x y +-ì+=ïïí+-ï+=ïî小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运
算量比较大，容易出错．如果把方程组中的（2x +3y ）看成一个整体，把（2x ﹣3y ）看成一个整体，通过换
元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令m ＝2x +3y ，n ＝2x ﹣3y ．原方程组化为743
832
m n
m n ì+=ïïíï+=ïî，解的
6024m n =ìí
=-î，把60
24m n =ìí=-î代入m ＝2x +3y ，n ＝2x ﹣3y ，得23602324x y x y +=ìí-=-î解得914x y =ìí=î所以，原方程组的解为9
14x y =ìí=î
．请你参考小明同学的做法解方程组：
（1）3610
16
10x y x y
x y x y +-ì+=ïïí+-ï-=-ïî；
（2）52
113213x y x y
ì+=ïïíï-=ïî．
【变式训练1】（2021·湖南湘西·七年级期末）在课辅活动中，老师布置了一道这样的题：探究方程组：
323538303336x y x y +=ìí
+=î
①
②的不同解法．同学们发现：虽然这个方程组中x ，y 的系数及常数项的数值较大，但我们也是可以用教材上学过的常规的代入消元法、加减消元法来解出来的，但老师应该出题还有深意：此类题是不是还有更好的消元方法呢？
小明带着这个问题和同学们进行了激烈的讨论，并查找了一些课外辅导资料，他们发现采用下面的解法来消元更简单：
①﹣②得2x +2y ＝2，所以x +y ＝1③．③×35﹣①得3x ＝﹣3．解得x ＝﹣1，从而y ＝2．
所以原方程组的解是12
x y =-ìí=î．
请你认真观察方程组的特点，也尝试运用小明他们发现的上述方法解这个方程组：201620182020201920212023x y x y +=ìí+=î①
②
．
【变式训练2】（2021·广西北海·七年级期中）解方程组323538303336x y x y +=ìí+=î①
②时，由于x ，y 的系数及常数项的
数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误．而采用下面的解法则比较简单：
解：①-②得222x y +=，所以1x y +=③．③×35-①得33x =-，解得1x =-，则2y =．
所以原方程组的解是1
2
x y =-ìí=î．
请你运用上述方法解方程组：100910072019101110132021x y x y +=ìí+=î①
②
．
【变式训练3】（2021·河南洛阳·七年级期末）阅读材料：善于思考的小军在解方程组2534115x y x y +=ìí+=î①
②时，采
用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5，③
把方程①代入③，得2×3+y＝5，∴y＝﹣1，把y＝﹣1代入①，得x＝4，
∴方程组的解为
4
1
x
y
=
ì
í
=-
î
．
请你根据以上方法解决下列问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组
325 9419
x y
x y
-=
ì
í
-=
î
①
②
；
（2）已知x，y满足方程组
2
2
427
26
x xy
x xy
ì-=
í
+=
î
①
②
，求xy的值．
【课后训练】一、解答题
1．（2021·上海民办建平远翔学校七年级期末）解方程组
51
3
23
51
1
23
x y
x y
--
ì
+=
ïï
í
--
ï-=
ïî
．
2．（2022·北京铁路二中七年级开学考试）解下列方程组：
(1)
6
{
238 y x
x y
=+
+=
①
②
(2)
2319 {
51
x y
x y
+=-
+=
①
②
3．（2021·新疆·博尔塔拉蒙古自治州蒙古中学七年级期中）解下列方程组
(1)
34 231 x y
x y
+=
ì
í
-=-î
(2)12333(1)1
x y x y ì-=ïíï-=+î4．（2020·山东泰安·七年级期末）解方程组：
(1)3212,2317.
x y x y +=ìí
+=î(2)()()6,2
345 2.x y x y
x y x y +-ì+=ï
íï+--=î
5．（2022·广东深圳·八年级期末）解方程组
(1)26x y x y =ìí-=î；
(2)1
123233
x y x y ì+=ïíï-=î．6．（2022·重庆南开中学八年级开学考试）解方程组：
(1)251
x y x y +=ìí
-=î(2)1221163
3x y x y ì-=ïïí
ï+=ïî7．（2021·河南·开封市第二十七中学七年级阶段练习）解方程组
(1)0322(34)3(1)19
x y x y ì
+=ï
í
ï---=î
(2)28325
x y x y -=ìí
+=î8．（2022·山东济南·八年级期末）解二元一次方程组：
(1)2316413x y x y +=ìí
+=î(2)1342
x y x y ì-=ïíï-=î9．（2022·山东青岛·八年级期末）解方程组：
(1)21440x y x y -=ìí-=î；(2)134342
x y x y ì-=ïíï-=î．10．（2020·重庆市荣昌中学校七年级阶段练习）解方程
(1)2232x y x y =ìí
-=î(2)3235623x y x y +=ìí
-=-î(3)()()()3155135x y y x ì-=+ïí-=+ïî(4)()()12
352x y x y
x y x y +-ì-=ï
íï+--=î
11．（2022·云南文山·八年级期末）解方程组38435x y x y -=ìí-=î①
②时，两位同学的解法如下：
解法一：由-①②，得33x =．解法二：由②得3(3)5x x y +-=③，把①代入③得385x +=．
(1)反思：上述两种解题过程中你发现解法______的解题过程有错误（填“一”或“二”）；(2)请选择一种你喜欢的方法解此方程组．
12．（2022·山西晋中·八年级期末）下面是小明同学解二元一次方程组的过程，请你阅读并完成相应的任务：
解方程组：34524x y x y +=ìí
-=î①
②
解：②× 2 ，得2x －4y =4 ③…………………………………第一步①+③，得5x =9 …………………………………第二步
9
5
x =…………………………………第三步
把9
5x =代入②，得 y =1110- …………………………………第四步
∴原方程组的解为95
1110x y ì
=ïïí
ï=-ïî…………………………………第五步任务一：
①上述材料中小明同学解二元一次方程组的数学方法是 （填序号即可）；
A .公式法
B .换元法
C .代入法
D .加减法
②上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变“一元”，在此过程中体现的数学思想是 （填序号即可）；
A .转化
B .公理化
C .演绎
D .数形结合③第
步开始出现错误，这一步错误的原因是
；
任务二：请你直接写出原方程组的解．
13．（2022·江苏·七年级专题练习）下面是小颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：248320x y x y -=ìí-=î
①②．
解：①4´，得8416x y -=③，¼¼¼¼¼¼第一步，②-③，得4y -=，¼¼¼¼¼¼¼第二步，
4y =-．¼¼¼¼¼第三步，
将4y =-代入①，得0x =．¼¼¼¼第四步，所以，原方程组的解为0
4
x y =ìí=-î．¼¼¼¼¼第五步．
填空：
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做______．
A 、代入消元法
B 、加减消元法
(2)第______步开始出现错误，具体错误是______；(3)直接写出该方程组的正确解：______．
14．（2021·山西·太原师范学院附属中学八年级阶段练习）阅读材料：
在解方程组2534115x y x y +=ìí+=î①②时，萌萌采用了一种“整体代换”的解法．
解：将方程②变形：4105x y y ++=，即()2255x y y ++=③把方程①代入③得235y ´+=，∴1y =-，
把1y =-代入①，得4x =，∴原方程组的解为4
1
x y =ìí=-î．
请模仿萌萌的“整体代换”法解方程组436
8718
x y x y -=ìí
-=î15．（2021·辽宁大连·七年级期末）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组171921232527x y x y +=ìí+=î①②时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出
现运算错误，他采用下面的解法则比较简单：②-①得：666x y +=，即1x y +=．③③´17得：171717x y +=．④①-④得：2y =，代入③得1x =-．
所以这个方程组的解是1
2
x y =-ìí=î．
（1）请你运用小明的方法解方程组199719992001
201720192021x y x y +=ìí+=î
．
（2）猜想关于x 、y 的方程组()()24
24ax a y a bx b y b ì++=+ïí++=+ïî
（a b ¹）的解是______；
（3）请你按照上面的规律写一个方程组，使它的解与（2）中方程组的解相同（所写方程组未知数的系数大于100）．
16．（2021·全国·九年级专题练习）仔细阅读下面解方程组得方法，然后解决有关问题：
解方程组191817
171615
x y x y +=ìí
+=î 时，如果直接消元，那将时很繁琐的，若采用下面的解法，则会简单很多．
解：①−②，得：2x ＋2y ＝2，即x ＋y ＝1 ③，③×16，得：16x ＋16y ＝16 ④，②−④，得：x ＝−1，将x ＝−1代入③得：y ＝2，
∴方程组的解为：1
2
x y =-ìí
=î.
（1）请你采用上述方法解方程组：
201420132012 201220112010
x y
x y
+=
ì
í
+=
î
（2）请你采用上述方法解关于x，y的方程组
(2)(1)
()
(2)(1)
a x a y a
a b
b x b y b
+++=
ì
¹
í
+++=
î
．
17．（2021·全国·七年级专题练习）阅读材料：善于思考的小军在解方程组
253
4115
x y
x y
+=
ì
í
+=
î
①
②
时，采用了一种“整
体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③把方程①代入③得：2×3+y＝5，∴y＝﹣1，
所以y＝﹣1代入①得x＝4，∴方程组的解为
4
1
x
y
=
ì
í
=-
î
，
请你解决以下问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组
325 9419
x y
x y
-=
ì
í
-=
î
①
②
，
（2）已知x，y满足方程组
22
22
321247
2836
x xy y
x xy y
ì-+=
í
++=
î
①
②
，求x2+4y2的值与xy的值；
（3）在（2）的条件下，写出这个方程组的所有整数解．。