高二数学下学期期中试题 理含解析_1 5

沁县中学2021-2021学年度第二学期期中考试
创作人：历恰面日期：2020年1月1日
高二数学〔理〕
一、选择题：(本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.)
z满足，那么的虚部为〔〕
A. 1
B. -i
C.
D. i
【答案】A
【解析】
【分析】
根据复数除法的运算法那么化简，即可求出复数虚部.
【详解】因为，所以虚部为1，应选A.
【点睛】此题主要考察了复数的运算法那么及复数的实部虚部的概念，属于中档题.
在点〔1,1〕处的切线方程为：〔〕
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义，可以求出切线的斜率，从而写出切线的方程.
【详解】因为，所以，切线方程为，即，应选D. 【点睛】此题主要考察了导数的几何意义及切线方程的求法，属于中档题.
的值等于〔〕
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据定积分的含义，只需求出曲线在上与x轴围成扇形的面积即可.
【详解】由得，根据定积分的意义可知，扇形的面积即为所求.应选B.
【点睛】此题主要考察了定积分的几何意义及圆的方程面积问题，属于中档题.
( )
A. 某校高三有8个班,1班有51人,2班有53人,3班有52人,由此推测各班人数都超过50人
B. 由三角形的性质,推测空间四面体的性质
C. 平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分
D. 在数列中，，，由此归纳出的通项公式
【答案】C
【解析】
【分析】
演绎推理是由一般到特殊，所以可知选项.
【详解】因为演绎推理是由一般到特殊，所以选项C符合要求，平行四边形对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以对角线互相平分.
【点睛】此题主要考察了推理中演绎推理的概念，属于容易题.
与坐标轴所围成图形面积是〔〕
A. 4
B. 2
C.
D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据定积分的意义，曲线与坐标轴所围成面积可转化为求在上的定积分与在上的定积分值的差即可.
【详解】根据定积分的意义可知，，应选D.
【点睛】此题主要考察了定积分的意义及定积分的运算，属于中档题.利用定积分解决面积问题时，要注意面积与定积分值的关系，当曲线在x轴下方时，定积分值的绝对值才是曲线围成的面积.
的单调递减区间是( )
A. B. C. D. 和
【答案】C
【解析】
【分析】
求函数的单调递减区间，需要求函数导数在定义域上小于零的解集即可.
【详解】因为，令解得，所以选C.
【点睛】此题主要考察了导数及利用导数求函数的单调区间，属于中档题.解决此类问题时，
要特别注意函数的定义域，通过解不等式寻求函数单调区间时要注意定义域的限制.
的图象可能是〔〕
【答案】A
【解析】
试题分析：因为，所以为奇函数，故排除B、D；当时，，故排除C，应选A．
考点：1、函数图象；2、函数的奇偶性．
，以下结论中错误的选项是〔〕
A.
B. 函数的图象是中心对称图形
C. 假设是的极小值点，那么在区间单调递减
D. 假设是的极值点，那么
【答案】C
【解析】
因为所以由零点存在定理得
因为,所以函数的图象是中心对称图形
假设是的极小值点，那么在区间
假设是的极值点，那么,因此C错,选C.
:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…假设将此假设干个圈依此规律继续下去,
得到一系列的圈,那么在前100个圈中的●的个数是( )
A. 12
B. 13
C. 14
D. 15
【答案】A
【解析】
试题分析：由图像可得
图像所示的圈可以用首项为2，公差为1的等差数列表示，
前120个圈中的●的个数即为，
，解得，
前120个圈中的●有个，
应选D．
考点：等差数列的定义及性质；等差数列前n项和公式 .
是方程的一个根，那么实数，的值分别是〔〕
A. 12，26
B. 24，26
C. 12，0
D. 6，8
【答案】A
【解析】
【分析】
复数是方程的根，代入方程，整理后利用复数的相等即可求出p,q的值. 【详解】因为是方程的一个根，所以，即，所以，解得，应选A. 【点睛】此题主要考察了复数方程及复数相等的概念，属于中档题.
在上是减函数，那么实数的取值范围为〔〕
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
因为函数在上是减函数，所以恒成立，别离参数，求的最小值即可.
【详解】因为，在上是减函数，所以
恒成立，即，而，所以只需，即，应选B.
【点睛】此题主要考察了导数及导数在函数单调性中的应用，属于难题.解决函数单调性，求函数中参数的取值范围问题，一般需要利用导数大于等于零〔或者小于等于零〕恒成立，然后别离参数，转化为求新函数的最值问题来处理.
12.都是定义在R上的函数，且满足以下条件：
①为奇函数，为偶函数；②；
③当时，总有，那么的解集为〔〕
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
当时，总有,即，所以在上是增函数，且在R上是奇函数，又，所以当或者时，因此可
求解.
【详解】令，因为，所以在上是增函数，又，故在R上是奇函数，且，所以当或者
时，因为，所以或者，解得或者，应选A.
【点睛】此题主要考察了函数的奇偶性，增减性，函数导数在断定单调性上的应用，解不等式，属于难题.解决此类问题的核心是，根据所给含导数的不等式，构造恰当的函数，并根据所给式子确定所构造函数导数的正负，从而确定构造函数的增减性.
二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，满分是20分，将答案填在答题纸上〕:
………
那么按此规律可猜测第个不等式为____________
【答案】
【解析】
试题分析：观察给定的式子左边和式的分母是从1,2,3，……，直到，右边分母为2，分子为n+1，故猜测此类不等式的一般形式为：〔〕。

考点：归纳推理。

点评：简单题，归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理。

14.利用数学归纳法证明“〞时，从“〞变到“〞时，左边应增乘的因式是 ________．
【答案】
【解析】
试题分析：当n=k时，左边=〔k+1〕〔k+2〕…〔k+k〕，
当n=k+1时，左边=〔k+2〕〔k+3〕…〔k+k〕〔2k+1〕〔2k+2〕，
故从“k〞到“k+1〞的证明，左边需增添的代数式是
考点：数学归纳法
上的点到直线的最短间隔是________
【答案】
【解析】
试题分析：直线斜率是2，y'==2，x=，即y=ln上(,ln)处切线斜率是2
所以切线是y-ln()=2(x-)，2x-y-1-ln2=0，那么和2x-y+3=0的间隔就是最短间隔
在2x-y+3=0上任取一点(0,3)，到2x-y-1-ln2=0间隔=。

考点：导数的几何意义。

在上无极值点，那么实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，函数的导数在R上恒大于等于零即可，，别离参数
即可.
【详解】因为函数在R上无极值点，故函数单调递增，所以恒成立，即恒成立，又，所以.
【点睛】此题主要考察了函数单调性，极值，函数的导数，属于中档题.
三、解答题〔一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕
〔1〕m取什么值时，z是实数？
〔2〕m 取什么值时，z是纯虚数？
【答案】〔1〕；〔2〕3
【解析】
试题分析：此题考察了复数的根本概念，明确实数的条件是复数的虚部是0，且分式的分母有意义
第二问明确复数是纯虚数的条件是虚部不为0而实部为0．
试题解析：〔1〕解
当时，z为实数
〔2〕解：
当时，z为纯虚数
考点：复数是实数，纯虚数的条件．
.
〔1〕求函数的极值；
〔2〕求函数在上的最大值和最小值.
【答案】〔1〕极小值为,无极大值；〔2〕.
【解析】
试题分析：〔1〕先写出定义域,再求,令,得,再对左右侧的导数符号检验,看是否为极值点；〔2〕由〔1〕的结论, 求出最大值和最小值.
试题解析：解：〔1〕函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
且f ′(x)＝＝，
令f ′(x)＝0得x＝1或者x＝－1(舍去)，
当x∈(0,1)时，函数f(x)单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)单调递增，
所以f(x)在x＝1处获得极小值为．
〔2〕由〔1〕可知函数f(x)在[1，e]上为增函数，
∴f(x)min＝f(1)＝，f(x)max＝f(e)＝．
考点：1.函数极值的求法；2.函数的最值.
中，，前项的和记为．
〔1〕求的值，并猜测的表达式；
〔2〕请用数学归纳法
．．．．．证明你的猜测．
【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析
【解析】
【分析】
〔1〕根据通项公式写出前三项，再写出的值即可〔2〕用数学归纳法证明即可. 【详解】〔1〕∵，∴，，∴猜测．
〔2〕证明：①当时，，猜测成立；
②假设当时，猜测成立，即：；
∴当时，
∴时猜测成立∴由①、②得猜测得证．
【点睛】此题主要考察了数列中归纳、猜测及数学归纳法，属于中档题.
y＝6－x，曲线以及x轴所围图形的面积．
【答案】
【解析】
【分析】
画出函数图象，找到所围成区域，分割为两个区域，分别用定积分求其面积即可. 【详解】作出直线y＝6－x，曲线y＝的草图，所求面积为图中阴影局部的面积．
解方程组得直线y＝6－x
与曲线y＝交点的坐标为(2,4)，
直线y＝6－x与x轴的交点坐标为(6,0)．
假设选x为积分变量，所求图形的面积
S＝S1＋S2＝＋
＝
＝＋＝＋8＝.
【点睛】此题主要考察了函数的图象，定积分求函数所围成区域的面积，定积分的计算，属于中档题.
在处获得极值
〔1〕务实数的值；
〔2〕假设关于的方程在区间上有两个不同的实根，务实数的取值范围．【答案】(1)；(2)．
【解析】
试题分析：〔1〕令，即可求得值；
〔2〕在区间上有两个不同的实根，即在区间上有两个不同的实根，
问题可转化为研究函数在上最值和极值情况．利用导数可以求得，再借助图象可得的范围．
试题解析：〔1〕，
∵，．
〔2〕
所以问题转化为在上有两个不同的解，
从而可研究函数在上最值和极值情况．
∵,
∴的增区间为，减区间为．
∴，
又，
∴当时，方程有两个不同解．
考点：1．函数在某点获得极值的条件；2．根的存在性及根的个数判断．
在x＝－1与x＝2处都获得极值．
(1)求的值及函数的单调区间；
(2)假设对，不等式恒成立，求c的取值范围．
【答案】〔1〕见解析；〔2〕
【解析】
【分析】
〔1〕函数在极值点的导数为零，利用求,再利用导数的正负求其单调区间〔2〕利用函数单调性，分析的最大值，只需即可.
【详解】(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由题意得
即解得
∴f(x)＝x3－x2－6x＋c，f′(x)＝3x2－3x－6.
令f′(x)<0，解得－1<x<2；
令f′(x)>0，解得x<－1或者x>2.
∴f(x)的减区间为(－1，2)，
增区间为(－∞，－1)，(2，＋∞)．
(2)由(1)知，f(x)在(－∞，－1)上单调递增；在(－1，2)上单调递减；在(2，＋∞)上单调
递增．
∴x∈时，f(x)的最大值即为：f(－1)与f(3)中的较大者．
f(－1)＝＋c，f(3)＝－＋c.
∴当x＝－1时，f(x)获得最大值．
要使f(x)＋c<c2，只需c2>f(－1)＋c，即2c2>7＋5c，解得c<－1或者c>.
∴c的取值范围为(－∞，－1)∪.
【点睛】此题主要考察了函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的求解，属于难题.一般涉及求函数单调性及极值时，比拟容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要别离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或者最小值.
创作人：历恰面日期：2020年1月1日。