高二数学同步检测八 简单的线性规划

高二数学同步检测八 简单的线性规划
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分) 1.不等式2x-y-6＞0表示的平面区域在直线2x-y-6=0的( ) A.左上方 B.右上方 C.左下方 D.右下方 答案：D
解析：作出直线2x-y-6=0,取原点(0,0)代入得-6＜0,所以原点不在其平面区域内,如右图所示,故选
D.
2.(x-2y+1)(x+y-3)＜0表示的平面区域为
( )
答案：C
解析：原不等式等价于不等式组⎩
⎨
⎧-++-⎩⎨⎧-++-.03,
01203,012 y x y x y x y x 或分别画出各不等式所表示的平面区域,观察其图象,知选C.
3.如右下图所示，阴影部分表示的平面区域可用二元一次不等式组来表示的是( )
A.10
236010220
x y x y x y x y +->⎧⎪+-<⎪⎨--≥⎪⎪-+≤⎩
B.10236010220x y x y x y x y +-<⎧⎪+-≥⎪⎨--≥⎪⎪-+<⎩
C.10236010220x y x y x y x y +->⎧⎪+-≤⎪⎨--≤⎪⎪-+>⎩
D.10236010220
x y x y x y x y +-≥⎧⎪+-<⎪⎨--<⎪⎪-+≥⎩ 答案：C
解析：作出各不等式(组)所表示的平面区域(注意边界线的虚实)，可知选C. 4.目标函数z=3x-y,将其看成直线方程时，z 的意义是( ) A.该直线的截距 B.该直线的纵截距 C.该直线纵截距的相反数 D.该直线的横截距 答案：C
解析：由z=3x-y,得y=3x-z. 令x=0,得y=-z.
5.完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为2∶3，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，请工人数的约束条件是( )
A.⎩⎨⎧∈≤+*,532N y x y x
B.⎪⎩
⎪⎨⎧=≤+3220004050y x y x
C.⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨⎧∈=≤+*,32
200
45N y x y x y x D.⎪⎩⎪⎨⎧=+3210065y x y x
答案：C
解析：工人数x 、y 必须为正整数,所以可排除B 、D,再根据工资预算列线性约束条件,得5x+4y≤200.故选C.
6.在坐标平面上，不等式组⎩⎨
⎧+-≤-≥1
||3,
1x y x y 所表示的平面区域的面积为( )
A.2
B.
23 C.2
23 D.2
答案：B
解析：原不等式组等价于①⎩⎨
⎧+-≤-≥13,1x y x y 或②⎩⎨⎧+≤-≥.
13,
1x y x y
作出不等式组所表示的平面区域
.
解⎩
⎨
⎧-=+=,1,
13x y x y 得B(-1,-2);
解⎩⎨
⎧-=+-=,
1,13x y x y 得C(21,-21
).
∴S=
21×2×1+21×2×21=2
3
. 7.一批长400 cm 的条形钢材，需要将其截成518 mm 与698 mm 的两种毛坯，则钢材的最大利用率为( ) A.99.75% B.99.65% C.94.85% D.95.90% 答案：B
解析：设截518 mm 和698 mm 的两种毛坯分别为x 个、y 个(x 、y∈N *
),由题意知,即求z=518x+698y 的最大值.
由05184000,17,06984000,15,,*,*.x x y y x y N x y N <<≤≤⎧⎧⎪⎪
<<≤≤⎨⎨⎪⎪∈∈⎩⎩
得 又由z≤4 000,得当x=5,y=2时,z max =518×5+698×2=3 986. 故利用率为4000
3986
×100%=99.65%. 故选B.
8.满足|x|+|y|≤4的整点(x,y)的个数是( ) A.16 B.17 C.40 D.41 答案：D
解析：|x|=4时,y=0,有2个;|x|=3时,y=0,±1,有6个;|x|=2时,y=0,±1,±2,有10个;|x|=1时,y=0,±1,±2,±3,有14个;|x|=0时,y=0,±1,±2,±3,±4,有9个,∴共有2+6+10+14+9=41个,故选
D.
9.如图，目标函数z=ax-y 的可行域为四边形OACB(含边界)，若C(5
4
,32)是该目标函数z=ax-y 的最优解，则a 的取值范围是
( )
A.(-310,-125)
B.(-512,-103)
C.( 103,512)
D.(-512,10
3)
答案：B 解析：因k BC =-
103,k AC =-512,故a∈(-512,-10
3
).
最优解为C 点,则目标函数表示的直线的斜率在直线BC 与AC 的斜率之间.
10.在直角坐标平面上有两个区域M 和N ，其中区域M={(x,y)|⎪⎩
⎪
⎨⎧-≤≤≥x y x y y 20
},区域
N={(x,y)|t≤x≤t+1,0≤t≤1},区域M 和N 的公共面积用函数f(t)表示，则f(t)的表达式为( )
A.-t 2
+t+
21 B.-2t 2
+2t C.1-21t 2 D. 2
1(t-2)2
答案：A
解析：当t=0或t=1时,f(t)=
2
1
; 当0＜t ＜1时,如右图,公共面积为大三角形的面积减去两个小的三角形的面积(阴影面积
),
即f(t)=1-
21t 2-21(1-t)2=-t 2
+t+2
1,此式对t=0和t=1也成立. 第Ⅱ卷（非选择题共60分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上) 11.若x≥0,y≥0,且x+y≤1,则z=x-y 的最大值是_________.
答案：1
解析：作出平面区域如右图所示.而z=x-y 可化为y=x-z,欲求z 的最大值,即求直线y=x-z 在y 轴上截距的最小值,显然当直线过点(1,0)时,z 取最大值
1.
12.可行域D ：⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥≥≤-+≥+-0
,0,
04,
01y x y x y x 与可行域E ：⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤≤≤250,40y x 对应的点集间的关系是_________.
答案：D E
解析：分别作出可行域D 和E,其中两直线x-y+1=0与x+y-4=0的交点坐标为(2
5
,23),如右图所示,可知区域D 的点全部落在E 区域内,且E 中有更多的点,故D
E.
13.已知x 、y 满足222,24,2,(1)(1)(0),y x x y y x y r r ≤⎧⎪+≤⎪
⎨≥-⎪
⎪++-=>⎩
则r 的最小值为________.
答案：2
解析：作出满足条件⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥≤+≤2,42,y y x x y 的区域,如下图中的阴影部分(包括边界),则r 的最小值为点(-1,1)到直
线y=x 的距离,即r min =
22
|11|=+.
14.如果函数y=ax 2
+bx+a 的图象与x 轴有两个交点，则点(a,b)在aOb 平面上的区域(不含边界)为________. 答案：
解析：∵函数y=ax 2
+bx+a 的图象与x 轴有两个交点,∴方程ax 2
+bx+a=0有两个不相等实根. ∴Δ=b 2
-4a 2
＞0,即(b-2a)(b+2a)＞0, 等价于①20,20b a b a ->⎧⎨
+>⎩或②20,
20.
b a b a -<⎧⎨+<⎩
作出不等式组①②所表示的平面区域为
三、解答题(本大题共5小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分8分)在线性条件⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥≤+≤1,1,
y y x x y 下，求z=2x-y 的最大值和最小值.
解：约束条件的可行域如右图中△ABC 的内部加上边界. 当z 为常数时,-z 表示直线z=2x-y 在y 轴上的截距. 如图所示,当点(x,y)位于C(-1,-1)时,-z 取最大值.
∴z 有最小值,z min =2×(-1)-(-1)=-1. 当点(x,y)位于B(2,-1)时,-z 取最小值, ∴z 有最大值,z max =2×2-(-1)=5.
16.(本小题满分8分)如下图所示，求△PQR 内任一点(x,y)满足的关系式
.
解：首先求三直线PQ 、QR 、RP 的方程.易得直线PQ 的方程为x+2y-5=0;直线QR 的方程为x-6y+27=0;直线RP 的方程为3x-2y+1=0.注意到△PQR 内任一点(x,y)应在直线RP 、PQ 的上方,而在QR 的下方,故应有
⎪⎩
⎪
⎨⎧>+-<+->-+.0276,0123,052y x y x y x 17.(本小题满分9分)已知实系数方程x 2
+ax+2b=0的两根在(0,1)与(1,2)内，求
1
2
--a b 的取值范围. 解：设f(x)=x 2
+ax+2b,依题意,此函数图象与x 轴两交点横坐标在(0,1)和(1,2)内,其充要条件为
⎪⎩⎪⎨⎧><>,0)2(,0)1(,0)0(f f f 即⎪⎩
⎪
⎨⎧>++<++>,02,021,0b a b a b 在直角坐标系中作出可行域,如下图所示
.
由
1
2
--a b 的几何意义知△ABC 内任一点P(a,b)与定点M(1,2)连线的斜率的范围即为所求.
∵k MA =
4
1
,k MB =1, ∴41＜1
2--a b ＜1. 18.(本小题满分9分)某集团准备兴办一所中学,投资1 200万元用于硬件建设.为了考虑社会效益和经济利益,对该地区教育市场进行调查,得出一组数据列表(以班为单位)如下:
根据有关规定,除书本费、办公费外,初中生每年可收取学费600元,高中生每年可收取学费1 500元.因生源和环境等条件限制,办学规模以20到30个班为宜.根据以上情况,请你合理规划办学规模使年利润最大,最大利润为多少万元?(利润=学费收入-年薪支出) 解：设初中x 个班,高中y 个班,
则2030,(1)28581200,(2)0,(3)0,(4)
x y x y x y ≤+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ 设年利润为s,则s=60×0.06x+40×0.15y -2×1.2x -2.5×1.6y=1.2x+2y.
作出不等式组表示的平面区域,如下图,易知当直线1.2x+2y=s 过点A 时,s 有最大值.
由⎩
⎨
⎧=+=+,12005828,
30y x y x 解得A(18,12).
∴s max =1.2×18+2×12=45.6(万元),
即学校可规划初中18个班,高中12个班,可获最大年利润为45.6万元.
19.(本小题满分10分)建一栋新房,门窗需要两种不同尺寸的玻璃,其中大号玻璃40块,小号玻璃100块
.已知商店出售甲、乙两种型号的玻璃,每种不同型号的玻璃可同时割得的大、小号尺寸的玻璃数如下表:
已知甲型玻璃每块40元,乙型玻璃每块16元,问每种玻璃各买多少块可使购买玻璃所用的资金最少?并求
出这资金数.
解：设甲型玻璃购买x 块,乙型玻璃购买y 块,所需资金z 元.
则x 、y 满足⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥≥≥+≥+0
,0,10026,402y x y x y x 且z=40x+16y,作出可行域,并作直线l:40x+16y=0,即5x+2y=0(如下图所示
).
把直线l 向右上方平移至l1位置时,直线l 经过可行域上的点M,且与原点的距离最小, 此时,z=40x+16y 取得最小值.
由方程组⎩
⎨⎧=+=+503,
402y x y x 解得点M 坐标为(10,20).
∴(10,20)是最优解.∴当x=10,y=20时,z min =40×10+16×20=720.
∴甲种玻璃买10块,乙种玻璃买20块所需资金最少,其最少资金数为720元. 考后评价
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