(第七章)动态系统的时域响应

一阶系统的瞬态响应
RC网络、忽略质量的弹簧阻尼系统、室温控 网络、忽略质量的弹簧阻尼系统、 网络 制系统、恒温箱及水位调节系统， 制系统、恒温箱及水位调节系统，均属于一 阶系统。 阶系统。
一阶系统的阶跃响应
xo (t ) = 1 − e
−
t T
动态性能参数计算
延时时间t 调整时间 调整时间t 延时时间 d,调整时间 s 的计算
稳 响 态 应
O
t
激励信号类型
• 常用的典型输入信号有： 常用的典型输入信号有： • 脉冲信号、阶跃信号、斜坡信号、加速度信 脉冲信号、阶跃信号、斜坡信号、 正弦信号等 号、正弦信号等。
xi (t ) xi (t ) xi (t ) xi (t )
1ε
ε
t
t
t
t
脉冲信号
单位脉冲信号
单位脉冲信号的表征
响应函数为： 响应函数为：
c (t )= 1-
e- xwnt 1- x
2
sin (wd t + b ) (t 0)
二阶系统阶跃响应
二阶系统响应曲线如图： 二阶系统响应曲线如图：
c (t )= 1e- xwnt 1- x 2 sin (wd t + b ) (t 0)
二阶系统阶跃响应
临界阻尼系统阶跃响应曲线是一条无振荡、 临界阻尼系统阶跃响应曲线是一条无振荡、无超调 的单调上升曲线， 的单调上升曲线，二阶系统处于振荡与不振荡的临 界状态。 界状态。 过阻尼系统阶跃响应曲线是一条无振荡、 过阻尼系统阶跃响应曲线是一条无振荡、无超调的 单调上升曲线，二阶系统的过渡过程时间较长。 单调上升曲线，二阶系统的过渡过程时间较长。 零阻尼系统阶跃响应曲线是一条等幅振荡曲线， 零阻尼系统阶跃响应曲线是一条等幅振荡曲线，二 阶系统处于临界稳定状态。 阶系统处于临界稳定状态。 欠阻尼系统阶跃响应曲线是一个以ω 欠阻尼系统阶跃响应曲线是一个以ωd为频率的衰减 的大小， 振荡过程，其衰减的快慢取决于ω 振荡过程，其衰减的快慢取决于ωn和ζ的大小，指 称为衰减指数。 数ζωn称为衰减指数。
tr =
xo (t )
1
ωd
=
∆ = 5%或2％
MP
tp =
π = ωd ωn 1 − ς 2
xp 1- x 2
ωn 1 − ζ 2 π
sp= e
tr
t
100%
ts =
3
ζωn
(∆=5%) ∆
tP
ts
1.5 1-x 2 N= px
(D =0.05)
结构参数对系统响应的影响
保持ζ不变，提高ω 保持ζ不变，提高ωn， 不影响超调量， 不影响超调量，但上 升时间tr tr、 升时间tr、峰值时间 tp及调整时间ts均会 及调整时间ts tp及调整时间ts均会 减小， 减小，有利于提高系 统的灵敏性， 统的灵敏性，即系统 的快速性好， 的快速性好，故增大 系统无阻尼固有频率 对提高系统性能是有 利的。 利的。
二阶系统动态特性参数计算
二阶系统动态特性参数计算
二阶系统动态特性Βιβλιοθήκη 数计算二阶系统动态特性参数计算
二阶系统动态特性参数计算
二阶系统动态特性参数计算
综上所述，二阶系统的性能指标中，上升时间 tr﹑ 峰值时间tp和调整时间ts反映二阶系统时间响 应的快速性，最大超调量M p 和振荡次数N 则反映 二阶系统时间响应的平稳性。 π −β π −β
保持ω 不变，改变ξ 2. 保持ωn不变，改变ξ 减小ξ 虽然tr tp均会减小 tr和 均会减小， 1）减小ξ，虽然tr和tp均会减小，但超调量和调整时 ts（ ξ<0.7范围内 却会增大， 范围内） 间ts（在ξ<0.7范围内）却会增大，灵敏性好但相 对稳定性差； 对稳定性差； 过大，ξ>1,则tr,ts均会增大 系统不灵敏； 均会增大， 2）ξ过大，ξ>1,则tr,ts均会增大，系统不灵敏； 要适当选择ξ 3）要适当选择ξ，通常 2.0 ζ=0 1.8 0.4~0.8之间 之间， 取ξ在0.4~0.8之间， 1.6 0.1 0.2 1.4 0.4 0.3 使二阶系统有较好的 1.2 0.5 c(t) 1.0 0.6 瞬态响应性能，这时 0.8 0.7 瞬态响应性能， 1.0 0.6 0.8 2.0 Mp在25%~2.5%之间 之间， Mp在25%~2.5%之间， 0.4 0.2 ξ<0.4， 若ξ<0.4，系统严重 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 ωnt 0 1 2 超调，ξ>0.8， 超调，ξ>0.8，系统 较为迟钝，反应不灵敏。 较为迟钝，反应不灵敏。
3）过阻尼系统 (x＞1)
具有两个不相等的负实数极点 s1,2 =-xwn ? wn x 2 1 xw
4）零阻尼系统
（x =0）
具有一对共轭虚数极点 s1,2 = ± jwn
其根决定了系统的响应形式。 其根决定了系统的响应形式。
二阶系统根与时间响应的关系
二阶系统的固有频率和阻尼比是两个重要的结构参 因为它们决定着二阶系统的时间响应特征。 数，因为它们决定着二阶系统的时间响应特征。 很多实际系统都是二阶系统。许多高阶系统在一定 很多实际系统都是二阶系统。 条件下可以近似地简化为二阶系统来研究。因此， 条件下可以近似地简化为二阶系统来研究。因此， 分析二阶系统的响应特性具有重要的实际意义。 分析二阶系统的响应特性具有重要的实际意义。
该系统为无零点的二阶系统，其极点为： 该系统为无零点的二阶系统，其极点为： 欠阻尼： 0 < x < 1 欠阻尼：
二阶系统的类型
该系统为无零点的二阶系统，其极点为： 该系统为无零点的二阶系统，其极点为：
（ 临界阻尼： 临界阻尼： x =1）
具有两个相等的负实数极点 s1,2 =-wn
二阶系统的类型
延时（滞后） 延时（滞后）信号
斜坡信号
单位斜坡信号表征的是匀速变化的信号。 单位斜坡信号表征的是匀速变化的信号。
等加速度曲线
单位加速度信号表征的是匀加速变化的信号。 单位加速度信号表征的是匀加速变化的信号。
正弦信号
对系统进行频域分析时， 对系统进行频域分析时，选用正弦信号作为 系统的输入信号，分析系统的稳态响应。 系统的输入信号，分析系统的稳态响应。
2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 c(t) 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0
ζ=0
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.1 0.2 0.3
1.0 2.0
1
2
3
4
5
6 ωnt
7
8
9 10 11 12
常见的二阶系统
无阻尼系统 有阻尼系统
二阶系统动态特性参数计算
机械工程系统有三方面的性能要求, 机械工程系统有三方面的性能要求,即 稳定性、准确性及快速性。 稳定性、准确性及快速性。 因为阶跃输入对于系统来说， 因为阶跃输入对于系统来说，工作状态 较为恶劣， 较为恶劣，如果系统在阶跃信号作用下 有良好的性能指标， 有良好的性能指标，则对其它各种形式 输入就能满足使用要求。 输入就能满足使用要求。
动态系统的响应
动态系统的响应包括：瞬态响应和 动态系统的响应包括：瞬态响应和稳态 响应。 响应。
瞬态响应：从初态到终态进行的过程。 瞬态响应：从初态到终态进行的过程。 稳态响应： 稳态响应：时间趋于无穷大时系统的输出 行为。 行为。 动态系统的瞬态响应显示了系统在达到稳 态前的衰减振动。 态前的衰减振动。
单位脉冲信号表征在极短的时间内给系统注 入冲击能量，通常模拟系统在实际工作时， 入冲击能量，通常模拟系统在实际工作时， 突然遭受脉动电压、机械碰撞、 突然遭受脉动电压、机械碰撞、敲打冲击等 作用。 作用。
阶跃信号
单位阶跃信号表征系统输入信号的突变， 单位阶跃信号表征系统输入信号的突变，通 常模拟电源突然接通、负荷突然变化、 常模拟电源突然接通、负荷突然变化、指令 突然转换等。因此， 突然转换等。因此，单位阶跃信号是评价系 统瞬态性能时使用较多的一种典型信号。 统瞬态性能时使用较多的一种典型信号。
ζ=0
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.1 0.2 0.3
1.0 2.0
1
2
3
4
5
6 7 ωnt
8
9 10 11 12
单调上升曲线中x =1，瞬态响应持续时间最短。 0.4 ＃x 0.8时，系统不仅瞬态过程时间短， 而且振荡也不严重。 因此，实际二阶系统一般设计为0.4 ＃x 0.8的欠阻 尼系统，以便系统即快又稳地跟踪输入信号。
−
t T
T的大小反映了过渡过程持续时间的长短，T 的大小反映了过渡过程持续时间的长短， 的大小反映了过渡过程持续时间的长短 越小，过渡时间越短，系统响应越快。 越小，过渡时间越短，系统响应越快。
一阶系统的阶跃响应
K G (s )= Ts + 1
x0 (t )= K (1- e )
-
t T
比例环节K不改变一 比例环节K 阶系统的时间响应。 阶系统的时间响应。 t=0时 t=0时，响应曲线的斜 率为
二阶系统的瞬态响应
该系统传递函数通常可描述为： 该系统传递函数通常可描述为：
2 wn K = 2 = 2 G (s )= 2 R (s ) Ts + s + K s + 2xwn s + wn
C (s )
K 式中，wn = 称为二阶系统的无阻尼固有频率； T 1 x= 称为阻尼比。 2 TK
二阶系统的类型
xo (t ) = 1 − e
− t T
动态性能参数计算
上升时间t 上升时间 r的计算
xo (t ) = 1 − e
− t T
时间常数的作用
1)当t=T时，x0 (t)=0.632; 2)响应曲线在t=0处的切 1 dx0 (t ) 1 线斜率为 ， ; t=0 = T dt T
xo (t ) = 1 − e
当阻尼比 x ³ 1时 ，二阶系统的瞬态过程具有 单调上升的特性，系统的稳定性较好。 随 着 x的减小 ，振荡性加强，但仍是衰减振荡。 当 x 减小 到0 时 响应过程变为等幅振荡，达 到 临界稳定状态 。
2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 c(t) 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0
系统建模与响应
动态系统的响应 （一）时域响应
动态系统的响应
时域响应
响应类型 激励信号类型 不同系统的瞬态响应 MATLAB实现 实现
频域响应
动态系统的时域分析
时域分析：直接在时间域中对系统的稳定性、 时域分析：直接在时间域中对系统的稳定性、 的稳定性 准确性、快速性等性能进行分析 具有直观、 进行分析， 准确性、快速性等性能进行分析，具有直观、 准确的优点， 准确的优点，可以提供系统时间响应的全部 信息。 信息。
不同系统的瞬态响应
动态响应评价参数 一阶系统的瞬态响应 二阶系统的瞬态响应 高阶系统的瞬态响应
动态系统性能指标
动态系统性能指标
动态系统性能指标
动态系统性能指标
一阶系统的瞬态响应
一阶系统：特征方程只有一个根的系统。 一阶系统：特征方程只有一个根的系统。
闭环传递函数为： 闭环传递函数为：
C (s ) 1 G (s )= = R (s ) Ts + 1
是一条由零开始逐渐变为等速变化的曲线，稳态输 是一条由零开始逐渐变为等速变化的曲线， 出与输入同斜率，但滞后一个时间常数T， 出与输入同斜率，但滞后一个时间常数 ，即存在 跟踪误差，其数值与时间T相等 相等。 跟踪误差，其数值与时间 相等。
一阶系统的响应总结
一阶系统的典型输入响应特性与时间常数T密切相 一阶系统的典型输入响应特性与时间常数 密切相 时间常数T越小 越小， 关，时间常数 越小，单位阶跃响应的调节时间越 单位斜坡响应的稳态滞后时间也越小； 小，单位斜坡响应的稳态滞后时间也越小； 如果系统的输入信号存在积分和微分关系， 如果系统的输入信号存在积分和微分关系，则系统 的时间响应也存在对应的积分和微分关系。 的时间响应也存在对应的积分和微分关系。
二阶系统阶跃响应
二阶系统传递函数为： 二阶系统传递函数为：
2 C (s ) wn K G (s )= = 2 = 2 2 R (s ) Ts + s + K s + 2xwn s + wn
当输入为阶跃信号时，输出为： 当输入为阶跃信号时，输出为： 部分分式展开为： 部分分式展开为：
二阶系统阶跃响应
二阶系统的瞬态响应
二阶系统：二阶微分方程描述的系统， 二阶系统：二阶微分方程描述的系统，具有 两个特征根。 两个特征根。
X i (s)
−
K s (Ts + 1)
X o ( s)
X 0 (s ) K K 传递函数： 传递函数：G (s )= = = 2 X i (s ) s (Ts + 1)+ K Ts + s + K 式中 K─开环增益； T─时间常数；
动态系统的响应
瞬态响应反映系统的快速 性和稳定性， 性和稳定性，稳态响应反 映系统的准确性。 映系统的准确性。 调查系统特性的最好方法 是用扰动来激励系统并观 察系统的响应。 察系统的响应。 所得响应的特殊特性可客 观的描述系统的特征。 观的描述系统的特征。
xo (t) xi (t)
瞬 响 态 应
dx0 (t ) K t=0 = dt T
一阶系统的斜坡响应
1 s2 1 1 \ C (s )= G (s )R (s )= Ts + 1 s 2 1 T T = 2- + s s s + 1/ T r (t )= t , 即 R (s )=
c (t )= t - T + Te
-
1 t T
(t 0)