不等式的概念及解法(上)

不等式的概念：用不等号连接的式子叫不等式。

不等号包括：“>”、“<”、“≥”、“≤”、“≠”。

不等式基本性质1：
不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变。

不等式基本性质2：
不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

不等式基本性质3：
不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。

不等式具有互逆性：若a >b ，则b < a
不等式具有传递性：若a >b ，b>c ，则a >c 。

在不等式两边都乘以０，不等式变为等式。

一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫作一元一次不等式。

不等式的解：使不等式成立的每一个未知数的值叫作不等式的解。

不等式的解集：能使不等式成立的所有未知数的集合，叫作不等式的解集。

解一元一次不等式的步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项(化成ax b <或ax b >形式)
→系数化为1(化成b
x a >或b x a
<的形式)。

不等式的解与不等式解集的区别与联系：
不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指使这个不等式成立的未知数的某个值，而不等式的解集，是指使这个不等式成立的未知数的所有的值；不等式的所有解组成了解集，解集包括了每一个解。

在数轴上表示不等式的解集(示意图)：
不等式的概念及解法（上）
【例1】
用不等式表示数量的不等关系。

①a 是正数 ②a 是非负数
③a 不比0大 ④x 与y 的差是负数
⑤a 的相反数不大于1
⑥q 的相反数与q 的一半的差不是正数
【例2】
⑴设a ，b ，c 都是实数，且满足：用a 去乘不等式的两边，不等号方向不变；用b 去除不等式的两边，不等号方向改变；用c 去乘不等式的两边，不等号要变成等号。

则a 、b 、c 的大小关系是( )
A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．b c a >>
D ．c a b >>
⑵设a >b ，则下列各式不成立的是( )
A ．44a b +>+
B ．2323a b +>+
C ．66a b ->-
D ．4343a b ->-
⑶设a >b ，则下列不等式成立的是( )
A ．0b a -<
B ．ac bc <
C ．b a -<-
D ．1a b
>
【例3】
⑴下列说法中，正确的是( )
A ．231x x =>-是不等式的解
B ．231x x =>-是不等式的唯一解
C ．231x x =>-不是不等式的解
D ．231x x =>-是不等式的解集
⑵利用数轴表示下面未知数的取值范围：
①2x >-
② 1.5x ≤
③12x -<<
⑶求不等式32x -<≤的所有整数解的和。

⑷如下图，天平右盘中的每个砝码的质量都是 1g ，则物体A 的质量m (g )的取值范围，在数轴上可表示为( )
【例4】
⑴不等式325x +≥的解集是__________。

⑵不等式353
x x
-<+的正整数解是________。

⑶解不等式5122(43)
x x
--
≤，并把它的解集在数轴上表示出来。

⑷解不等式2154
1 36
x x
--
-≤。

⑸解不等式
322(1)
1
43
x x
x
-+
--
≥，将解集在数轴上表示出来，并写出它的正整数解。

【例5】
⑴当x为何值时，代数式23
x
--的值总不大于15
x-的值。

⑵m为何正整数时，关于x的方程
22
32
x m x
x
--
-=的解是非负数？。