推荐-高考数学文二轮复习课件2.5 三角函数的概念、公式、图象及性质

5.三角函数的图象与性质
(1)五点法作图的五点:两个最值点,三个与 x 轴的交点. (2)正弦函数 y=sin x 的对称轴为 x=π2+kπ,k∈Z;余弦函数 y=cos x 的对称轴为 x=kπ,k∈Z.正弦函数 y=sin x 的对称中心为(kπ,0),k∈Z;
余弦函数 y=cos x 的对称中心为
������
+
π 4
=
1+tan������ 1-tan������
=
17.
考点精题·限时通 关
-10-
5.如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边 为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点 M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]的图象大致 为(C )
������-
π 4
=-cos
2������-
π 2
=-sin 2x,可知
g(x)的最大值为 1,对称轴为 2x=π2+kπ,k∈Z,即 x=π4 + ������2π,k∈Z,故 A
错 g(x;g)的(x)递为减奇区函间数为,故-π2C+2错kπ;≤g(x2)x的≤对π2+称2k中π,心k∈为Z,即������2π -,0π4+,kkπ∈≤Zx,≤故π4D+k错π,k; ∈
Z,故 g(x)在
0,
π 4
上单调递减,故 B 正确.
考点精题·限时通 关
-14-
9.已知 ω>0,0<φ<π,直线 x=π4和 x=54π是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图象的两
条相邻的对称轴,则 φ=( A )
A.π4
B.π3
C.π2
D.34π
解析:由题意可知函数
f(x)的周期
T=2×
5π 4
2.5 三角函数的概念、公式、 图象及性质
考情分析·策略指
-2-
导
命题规律
题型 试 题 统 计 复 习 策 略
1.对三角函数图象的考查
主要有:(1)图象的平移变
换;(2)由三角函数图象确
定三角函数性质;(3)由三
角函数的图象(部分)确定 选择
三角函数的解析式.
题
2.对三角函数的性质的考 填空
查:通过三角变换,将其转 题
π 2
+
������π,0
,k∈Z.
(3)单调区间:函数 y=sin x,y=cos x,y=tan x 的增、减区间可根据
函数图象确定.
(4)周期性:f(x)=Asin(ωx+φ)和 f(x)=Acos(ωx+φ)的最小正周期为
2|���π���|;y=Atan(ωx+φ)的最小正周期为|���π���|.
中 0<φ<2π,若 f(x)≤ ������
π 6
对 x∈R 恒成立,且 f
π 2
>f(π),则 φ 等于
( C)
A.π6 C.76π
B.56π D.116π
解 值 则析,即φ=:若k2π×+fπ6(+π6x,)φk≤=∈k���Zπ���+. π6π2,k∈对Zx,∈R 恒成立,则 f
π 6
为函数的最大值或最小
-8-
关
3.(2016 江西师大附中期末,文 2)已知函数 y=sin
������������
+
π 3
向右平移π
3
个单位后,所得的图象与原函数图象关于 x 轴对称,则 ω 的最小正值
为( D )
A.1
B.2
C.52
D.3
解析:原函数 y=sin
������������
+
π 3
向右平移π个单位后得到函数
-
π 4
=2π,故 ω=1,
∴f(x)=sin(x+φ).
令∵0x<+φφ<=πk,π∴+φπ2,=k∈π4. Z,将 x=π4代入可得 φ=kπ+π4,
考点精题·限时通 关
-15关闭
不妨设 ω>0,由题中图象可知,其周期为 T=2×
5 4
-
1 4
=2,
所 所10以 以.函2���f(π���数x=)=f2(c,x解o)=s得(cπoxω+s(=φω)πx..+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区 由 即 解 所 令ABCD间题 得 以....2f为k2������23中34���π���f4���-(π���(πD≤������x14图π=--+)14,=14-πcφ���象���o14x,,c=2���+s+o,���)可22���πsπ4���3k���344≤+���知π+πππ+,���2+34k,���34+π当k∈+(π���,,k34k���k+∈πx4Z∈∈=π=,kZ(.12Z-Z∈k1)∈,,解14ZZ+得),54φ==2k34π时+π4,f((kx∈)取Z得).令最小k=值0,得, φ=π4,
1.若角α终边与θ终边相同,则α=θ+2kπ(k∈Z).
2.三角函数的定义:已知角α终边上的一点P(x,y),令|OP|=r, 则 sin α=������������,cos α=������������,tan α=������������(x≠0). 3.同角三角函数的基本关系:(1)平方关系cos2α+sin2α=1; (2)商数关系csoins������������=tan α. 4.诱导公式记忆口诀:奇变偶不变、符号看象限.
2 5
2+2×15 ×
2 5
=
4 5
+
4 5
=
85.
π
3
解析:因为 y=sin x-
3cos x=2sin
������-
π 3
,
所以函数 y=sin x- 3cos x 的图象可由函数 y=2sin x 的图象至少向右 平移π3个单位长度得到.
������-
π 4
+f(-x)=0;
③f(x)在
π 4
,
π 2
上是减函数,则 f(x)的解析式可能是
( B)
A.f(x)=sin 2x B.f(x)=sin 2x+cos 2x
C.f(x)=sin
������
+
π 8
D.f(x)=cos 2x
解析:由①可排除选项 C;
由②f
������-
π 4
+f(-x)=0,
3sin
2������ + π
3
+1,再平移
变换后得 y=g(x)= 3sin 2x+1,
由 得 当
2kkπ=kπ-0π4-≤π2时≤x,得≤2x-≤ kπ4π≤+2kπ4xπ,≤k+∈π2π4,,Zk故∈, 选Z,B.
考点精题·限时通 关
-17-
12.(2016 河南中原联盟高考仿真,文 10)已知函数 f(x)=sin(2x+φ),其
解析:由题意|OM|=|cos x|,f(x)=|OM||sin x|=|sin xcos x|=12|sin 2x| , 由此可知C正确.
考点精题·限时通 关
-11-
6. (2016 山西运城高三 4 月模拟,文 7)若函数 f(x)同时满足以下三个
性质:①f(x)的最小正周期为 π;②对任意的 x∈R,都有 f
正半轴,终边落在第二象限,A(x,y)是其终边上一点,向量 m=(3,4),若
m⊥������������,则 tan
������
+
π 4
等于
A.7
B.-17
C.-7
D.17
(D)
解析:因为 m⊥������������,
所以 3x+4y=0.
所以 tan α=������������=-34,
故 tan
π 6
,故选 A.
方法二:因为函数图象过点
-
π 6
,-2
,
所以-2=2sin 2 ×
-
π 6
+ ������ ,
所即令以kφ==202×,k得π--π6π6φ,=k+∈-φπ6,Z=.2kπ-π2,k∈Z,
所以 y=2sin
2������-
π 6
.故选 A.
考点精题·限时通
-7-
关
考点精题·限时通
π 6
=2sin
2������-
π 3
的图象,故选 D.
考点精题·限时通
-6-
关
2.(2016 全国甲卷,文 3)函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则
( A)
A.y=2sin
2������-
π 6
B.y=2sin
2������-
π 3
C.y=2sin
������
+
π 6
D.y=2sin
河南郑州二模,文
8)将函数
f(x)=-cos
2x
的图象向右平移π个
4
单位后得到函数 g(x),则 g(x)具有性质( B )
A.最大值为 1,图象关于直线 x=π2对称
B.在
0,
π 4
上单调递减,为奇函数
C.在
-
3π 8
,
π 8
上单调递增,为偶函数
D.周期为 π,图象关于点
3π 8
,0对称解析:来自移后的函数为 g(x)=-cos 2
π 4
,
3π 4
解析:函数 f(x)=cos
4������-
π 3
+2cos2(2x)=cos
4������-
π 3
+1+cos 4x=12cos
4x+ 23sin 4x+1+cos 4x=32cos 4x+ 23sin 4x+1=
3sin
4������
+
π 3
+1.
函数 y=f(x)的图象伸缩变换后解析式为 y=
3
y=sin
������������
+
π 3
-
π 3
������
,由其图象与原函数图象关于 x 轴对称,得
sin
������������
+
π 3
-
π 3
������
=-sin
������������
+
π 3
,由三角函数诱导公式可知 ω 的最小
正值为 3,故选 D.
考点精题·限时通
-9-
关
4.(2016 山东潍坊二模,文 6)已知角 α 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴
解得 2k-14≤x≤2k+34(k∈Z).
所以函数 f(x)=cos
����
+
π 4
的单调递减区间为
2������-
1 4
,2������
+
3 4
(k∈Z).
结合选项知应选 D.
解析
考点精题·限时通 关
-16-
11.(2016 河南八市重点高中 4 月质检,文 8)已知函数
f(x)=cos
又f
π 2
>f(π),即-sin φ>sin φ,
即 sin φ<0.
又 0<φ<2π,故 π<φ<2π.故 k=1,此时 φ=76π.
考点精题·限时通 关
-18-
8
5
解析:由题意,r=|OP|= 5,sin α= 15,cos α= 25.
cos2α+sin 2α=cos2α+2sin αcos α=
������
+
π 3
解析:由题图知,A=2,周期
T=2
π 3
-
-
π 6
=π,
所以 ω=2ππ=2,y=2sin(2x+φ).
方法一:因为函数图象过点
π 3
,2
,
所以 2=2sin
2
×
π 3
+
������
.
所以23π+φ=2kπ+π2(k∈Z).
令 k=0,得 φ=-π6,所以 y=2sin
2������-
化为 y=Asin(ωx+φ)的形
式,再研究其性质(定义
域、值域、单调性、奇偶
性、对称性、周期性)
(2012 卷,文
9) (2013 卷Ⅰ,文 9) (2013 卷Ⅰ, 文 16) (2014 卷Ⅰ, 文 7) (2016 卷甲, 文 3) (2016 卷丙, 文 14)
抓住考查的主 要题目类型进 行训练,重点是 三角函数性质 与 三图 角象 函(的 数20综 图13合 象卷;Ⅱ,文 16 的 函变 数换 的(图;2由0象1三5求角卷Ⅰ,文 8) 函 者数 由解 三(析 角20式 函16或 数卷乙,文 6) 的解析式求三 角函数的性质
4������-
π 3
长为原来的 2
+2cos2(2x),将函数 y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸 倍,纵坐标不变,再将所得函数图象向右平移π6个单位,
得到函数 y=g(x)的图象,则函数 y=g(x)的一个单调递增区间为( B )
A.
-
π 3
,
π 6
B.
-
π 4
,
π 4
C.
π 6
,
2π 3
D.
A.
-
π 3
,0
C.
π 6
,0
B.
-
π 6
,0
D.
π 12
,0
解析:由题意,得 又|φ|<π2,则 φ=π3.
3=2sin(2×0+φ),所以 sin φ= 23.
由 当
2sin k=0
时2���,���x+=-π3π6,故=0选,得B2. x+π3=kπ,k∈Z,
考点精题·限时通 关
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8.(2016
得f
������-
π 4
=-f(-x),得 f(x)的图象关于点
-
π 8
,0
对称,可排除 A,D;
故选 B.
考点精题·限时通 关
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7.(2016 山西太原高三一模,文 7)已知函数 f(x)=2sin(2x+φ)
|������|
<
π 2
的图象过点(0, 3),则 f(x)图象的一个对称中心是( B )
6.三角函数的两种常见变换:先平移再伸缩,先伸缩再平移.不论
哪种形式,向左或向右平移φ(φ>0)个单位后,三角函数式的变化为
将原式中的x分别变为x+φ和x-φ.
考点精题·限时通
-5-
关
一、选择题(共 12 小题,满分 60 分)
1.(2016 全国乙卷,文 6)将函数 y=2sin
2������
+
π 6
的图象向右平移1个周
4
期后,所得图象对应的函数为( D )
A.y=2sin
2������
+