离散型随机变量取值的确定

【解】 (1)记“这一技术难题被攻克”为事件A，则其对立事件 A 为：“三人都没有攻克”． 2 3 4 1 1 1 59 故P＝1－P( A )＝1－(1－ )(1－ )(1－ )＝1－ × × ＝ ； 3 4 5 3 4 5 60 (2)设甲得到的奖金为ξ万元，由题意，可知攻克难题的奖金为a万 元，所以乙、丙两人得到的奖金之和为X＝(a－ξ)万元． a a 由题意，可知ξ的可能取值为0， ， ，a. 3 2 其与X的取值关系如表所示：
η 1 0.4 1.5 0.4 2 0.2
P
故η 的数学期望Eη ＝1×0.4＋1.5×0.4＋2×0.2＝1.4(万元)．
该题中顾客购车时其付款的期数是一个变量，但目标随机变量是 从经销商的角度来设计的，显然这两者是从两个不同的角度来反 映汽车销售方面的问题的，在计算汽车销售利润时，要注意购买 者采用不同付款期数，销售商可能获得相同的利润，根据分布列 的性质，随机变量取任意两个值时所对应的两个事件都是彼此互 斥的，所以要把利润相同的情况各并在一起，而不能根据其期数 分开．
【解】 (1)由题意，得甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车 1 1 的概率分别为 ， . 4 4 记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则 1 1 1 1 1 1 5 P(A)＝ × ＋ × ＋ × ＝ . 4 2 2 4 4 4 16 (2)设甲、乙所付费用分别为x，y则ξ＝x＋y.ξ与x，y的取值情况如 表所示：
故ξ的分布列如表所示： ξ P 0 1 8 2 4 6 8 5 5 3 1 16 16 16 16
1 5 4 3 1 7 所以E(ξ)＝0× ＋2× ＋4× ＋6× ＋8× ＝ (元)． 8 16 16 16 16 2
该题第(2)问中，目标随机变量的取值是两人付费乊和，所以在求 解过程中要先写出甲、乙两人付费的所有可能，依次确定相应的 取值，然后合并取值相同的情况，从而确定目标变量的取值．同 样，如果求解两人付费乊差的绝对值的分布列时，也要一一写出 所有的情况，由此确定离散型随机变量的取值，在求解过程中应 该注意把取值相同的情况合并在一起，这样在求解时就可以把取 该值时的概率转化为几个彼此互斥的事件的概率的和，这也是处 理此类取值问题最基本的方法．
三、组合型 当某个事件中涉及多个变量的时候，往往要采用多个变量的组合 形式作为离散型随机变量的取值，此时离散型随机变量的每个取 值往往对应着几类不同的事件，在求解时应该先确定每个事件所 对应的每个变量的取值情况，并求出每个事件中离散型随机变量 的取值，然后合并取值相同的事件确定离散型随机变量的取值， 并求出其对应的概率值．
故X的分布列如表所示： X P E(ξ)＝α× a 19 59 2a 3 24 59 a 2 14 59 0 2 59
19 2a 24 a 14 2 42a ＋ × ＋ × ＋0× ＝ (万元)． 59 3 59 2 59 59 59
该题如果分别求解乙、丙所获奖金的分布列，或者直接求解乙、 丙两人的奖金乊和的分布列，问题就很复杂了．本题中把握住 “技术难题被攻克，则三个人的奖金总和是一个定值a”这个关键， 那么乙、丙两人的奖金总和问题就可以用甲的奖金来表示，则该 问题就可以转化为甲获得的奖金的一个分布列问题，问题自然就 得到解决．
(3)由题意，可知ξ 只能取1,2,3,4,5.而ξ ＝1时，η ＝1；ξ ＝2 时，η ＝1.5；ξ ＝3时，η ＝1.5；ξ ＝4时，η ＝2；ξ ＝5时， η ＝2. 所以η 的可能取值为：1,1.5,2，其中 P(η ＝1)＝P(ξ ＝1)＝0.4，P(η ＝1.5)＝P(ξ ＝2)＋P(ξ ＝3)＝ 0.4， P(η ＝2)＝P(ξ ＝4)＋P(ξ ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2， 所以η 的分布列如表所示：
a 【解】 (1)求 ＝0.2，得a＝20， 100 又因为40＋20＋a＋10＋b＝100，所以b＝10. (2)记分期付款的期数为ξ，依题意，得 40 20 P(ξ＝1)＝ ＝0.4，P(ξ＝2)＝ ＝0.2，P(ξ＝3)＝0.2，P(ξ＝4)＝ 100 100 10 10 ＝0.1，P(ξ＝5)＝ ＝0.1. 100 100 则“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用3期付款”的概率 为 P(A)＝0.83＋C31×0.2×(1－0.2) 2＝0.896.
(对应学生用书P206)
离散型随机变量取值的确定 离散型随机变量的分布列及其期望值的计算是历年高考命题的热 点，解决此类问题的关键是根据题意准确求出离散型随机变量的 所有取值，这样才能明确每个取值所对应事件的性质，然后根据 事件发生过程求解其概率．常见离散型随机变量主要有以下四类： 独立型、关联型、组合型与推理型． 一、独立型 离散型随机变量的取值多以某类事件发生的次数作为随机变量或 事件中某个变量，如一次抽检产品中次品的数量，n次独立重复试 验中事件发生的次数等，此类问题中离散型随机变量取值的标准 比较明显，可直接根据题意确定．
对亍相互独立的离散型随机变量，其取值一般就是相关事件中的 某个变量的取值，所以可以直接确定其取值，该题中只有A、B两 种饮料各4杯，且这名员工只能选4次，所以选对A种饮料的杯数只 能取0,1,2,3,4，直接代入公式即可求得其概率分布列．如果要求 这名员工工资的分布列，则需要把A种饮料的杯数与对应工资数关 联起来．
例1 (2011年江西卷)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一 项测试，以便确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯， 其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司 要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料，若4杯都选 对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元； 否则月工资定为2100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此 人对A和B两种饮料没有鉴别能力． (1)求X的分布列； (2)求此员工月工资的期望．
二、关联型 在概率分布列的求解问题中，我们经常遇到奖金、积分等问题， 此类离散型随机变量的取值是由一系列事件中的变量取值所确定 的，在解决此类问题时，首先列出所有的事件，明确每个事件所 对应的变量，然后根据规定的法则计算出每个事件中目标离散型 随机变量的取值，从而确定其所有取值的可能．
例2 某品牌的汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行 统计，统计结果如表所示．已知分3期付款的频率为0.2,4S店经销 一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3 期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元．用 η 表示经销一辆汽车的利润.
【分析】 第(1)问中该事件的概率可以转化为其对立事件——这个 技术难题三人都没有攻克来求解；第(2)问是求在这一技术难题被 攻克的前提下离散型随机变量的分布列，设甲得到的奖金为ξ 万 元，则乙、丙两人得到的奖金之和为X＝a－ξ 万元，进而根据三 人攻克难题的情况确定其取值的可能性及对应的事件，利用条件 概率求其对应的概率，列出分布列，最后代入数学期望的计算公 式求解即可．
四、推理型 对于离散型随机变量的取值不能根据题意直接获得的问题，需要 我们根据事件中所涉及的对象以及相关变量的取值情况，经过简 单的推理确定其取值的可能性．准确把握事件中几类对象之间的 密切关系是解决此类问题的关键，常可转化为其对立事件的问题 来解决．
例4
甲、乙、丙三人独立地对某一技术难题进行攻关．甲能攻克
【分析】 (1)由题意X表示此人选对A饮料的杯数，而A饮料一共4 杯，所以X只能取0,1,2,3,4，该概型是一个几何概型，所以直接 代入几何概型的求解公式即可求得其分布列；(2)此员工月工资的 取值与X的取值密切相关，找出其对应概率然后代入数学期望公式 即可．
【解】 (1)X的所有可能取值为0,1,2,3,4， C4iC44 i P(X＝i)＝ (i＝0,1,2,3,4)，则X的分布列如表所示： C84 X 0 1 2 3 4
2 3 4 的概率为 ，乙能攻克的概率为 ，丙能攻克的概率为 . 3 4 5 (1)求这一技术难题被攻克的概率； (2)现假定这一技术难题已被攻克，上级决定奖励a万元．奖励规则 如下：若只有1人攻克，则此人获得全部奖金a万元；若只有2人攻克， a 则奖金奖给此二人，每人各得 万元；若三人均攻克，则奖金奖给此三 2 a 人，每人各得 万元．设乙、丙两人得到的奖金数之和为X，求X的分布 3 列和数学期望．
付款方式 分1期 分2期 分3期 分4期 分5期
(1)求上表中的a，b值； 频数 40 20 a 10 b (2)若以频率作为概率，求事件A：“购买该品牌汽车的3位顾客中， 至多有1位采用3期付款”的概率P(A)； (3)求η 的分布列及数学期望Eη .
【分析】 (1)根据统计数据和频率的计算公式可直接求出a，b的 值；(2)事件A是一个独立重复试验，包含两个互斥事件——没有顾 客采用3期付款与只有1位采用3期付款，故先根据题意把频率换成 概率，然后代入公式求解即可；(3)顾客选择付款的期数只能是 1,2,3,4,5，根据题意得到付款期数与利润的关系，然后合并利润 相同的事件，确定汽车利润η 的取值，然后求出其对应的概率值， 代入期望公式求解即可．
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Байду номын сангаас
P
1 16 36 16 1 70 70 70 70 70
(2)令Y表示此员工的月工资，则Y的所有可能取值为 1 2100,2800,3500，则P(Y＝3500)＝P(X＝4)＝ ， 70 8 P(Y＝2800)＝P(X＝3)＝ ， 35 53 P(Y＝2100)＝P(X≤2)＝ ， 70 1 8 53 E(Y)＝3500× ＋2800× ＋2100× ＝2280(元)， 70 35 70 所以此员工月工资的期望为2280元．
【分析】 (1)先根据甲、乙两人租车时间确定他们付费的情况， 从而确定付费相同所对应的情况，将其分解为几个互斥事件的概 率求解；(2)设甲、乙两人付费分别为x，y，先根据题意确定x，y 的取值情况，而ξ ＝x＋y，从而求出ξ 的所有取值，并确定每个 取值所对应的事件，求出其概率列出分布列，然后代入数学期望 公式求值即可．
例3 (2011年四川卷)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的 人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过 两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小 时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该租车点租车骑游(各租一车一 1 1 次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 ， ；两小时以上且不 4 2 1 1 超过三小时还车的概率分别为 ， ；两人租车时间都不会超过四小 2 4 时． (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列 及数学期望E(ξ)．
x
ξ 0 0 2 2 4 4
y
0
2
4
2
4
4
6
6
8
ξ可能取的值有0,2,4,6,8. 1 1 1 P(ξ＝0)＝P(x＝0，y＝0)＝ × ＝ ； 4 2 8 1 1 1 1 5 P(ξ＝2)＝P(x＝0，y＝2)＋P(x＝2，y＝0)＝ × ＋ × ＝ ； 4 4 2 2 16 1 1 1 P(ξ＝4)＝P(x＝y＝2)＋P(x＝0，y＝4)＋P(x＝4，y＝0)＝ × ＋ × 2 4 4 1 1 1 5 ＋ × ＝ ； 2 4 4 16 1 1 1 1 3 P(ξ＝6)＝P(x＝2，y＝4)＋P(x＝4，y＝2)＝ × ＋ × ＝ ； 2 4 4 4 16 1 1 1 P(ξ＝8)＝P(x＝y＝4)＝ × ＝ . 4 4 16
ξ 0 a 3 a a 2
2 a 0 X＝a－ξ a a 3 2
1 1 1 1－ × 3 4 5 19 故P(X＝a)＝P(ξ＝0)＝ ＝ ； 59 59 60 2 3 4 × × 2a a 3 4 5 24 P(X＝ )＝P(ξ＝ )＝ ＝ ； 3 3 59 59 60 2 3 1 1 4 × ＋ × a a 3 4 5 4 5 14 P(X＝ )＝P(ξ＝ )＝ ＝ ； 2 2 59 59 60 2 1 1 × × 3 4 5 2 P(X＝0)＝P(ξ＝a)＝ ＝ . 59 59 60