反三角函数求导公式证明
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§2.3 反函数的导数,复合函数的求导法则
一、反函数的导数
设)(y x ϕ=是直接函数,)(x f y =是它的反函数,假定)(y x ϕ=在I y 内单调、可导,而且0)(≠'y ϕ,则反函数)(x f y =在间
},)(|{y x I y y x x I ∈==ϕ内也是单调、可导的,而且
)(1
)(y x f ϕ'=' (1)
证明: ∀∈x I x ,给x 以增量x ∆),0(x I x x x ∈∆+≠∆
由 )(x f y = 在 I x 上的单调性可知
0)()(≠-∆+=∆x f x x f y
于是
y x x y ∆∆=∆∆1因直接函数)(y x ϕ=在I y 上单调、可导,故它是连续的,且反函数)(x f y =在I x 上也是连续的,当0→∆x 时,必有0→∆y
)(11lim lim
00y y x x y y x ϕ'=∆∆=∆∆→∆→∆即:)(1)(y x f ϕ'=' 【例1】试证明下列基本导数公式 ().(arcsin )().()().(log )ln 11
1211312
2
x x arctgx x a x a x '=-'=+'=
证1、设y x sin =为直接函数,x y arcsin =是它的反函数 函数 y x sin =在
)2,2(ππ-=y I 上单调、可导,且 '=≠x y cos 0 因此,在 )1,1(-=x I 上, 有 y x cos 1)arcsin (=
' 注意到,当)2,2(ππ-∈y 时,0cos >y ,221sin 1cos x y y -=-=
因此, 211)arcsin (x x -=
'
证2 设x tgy =,)2,2(ππ-=y I 则y arctgx =,I x =-∞+∞(,)
tgy x = 在 I y 上单调、可导且
0cos 12>='y x 故
2221111cos )(1)(x y tg y tgy arctgx +=+=='=
'
证3 a
x a a a a y y x ln 1ln 1)(1)log (=='=
'
类似地,我们可以证明下列导数公式:
(arccos )()(ln )x x arcctgx x x x '=--'=-+'=11
1112
2
二、复合函数的求导法则
如果)(x u ϕ=在点x 0可导,而)(u f y =在点)(00
x u ϕ=可导,则复合函数])([x f y ϕ=在点x 0可导,且导数为 )()(000
x u f dx dy x x ϕ'⋅'== 证明:因)(lim 00u f x y u '=∆∆→∆,由极限与无穷小的关系,有
)0,0()(0→→∆∆⋅+∆'=∆αα时当u u u u f y
用0≠∆x 去除上式两边得:
x u x u u f x y ∆∆⋅+∆∆⋅'=∆∆α)(0
由)(x u ϕ=在x 0的可导性有:
00→∆⇔→∆u x , 0lim lim 00
==→∆→∆ααu x ])([lim lim 000x u x u u f x y x x ∆∆⋅+∆∆⋅'=∆∆→∆→∆α
x u x u u f x x x ∆∆⋅+∆∆⋅'=→∆→∆→∆0000lim lim lim )(α
)()(00x u f ϕ'⋅'=
即)()(000x u f dx dy x x ϕ'⋅'==
上述复合函数的求导法则可作更一般的叙述:
若u x =ϕ()在开区间I x 可导,y f u =()在开区间I u 可导,且∀∈x I x 时,对应的 u I u ∈,则复合函数])([x f y ϕ=在I x 内可导,且
dx du du dy dx dy ⋅= (2)
复合函数求导法则是一个非常重要的法则,特给出如下注记:
弄懂了锁链规则的实质之后,不难给出复合更多层函数的求导公式。
【例2】}])([{x f y φϕ=,求 dy dx
引入中间变量, 设
v x =φ(),u v =ϕ(),于是 y f u =() 变量关系是 y u v x ---,由锁链规则有:
dy
dx
dy
du
du
dv
dv
dx
=⋅⋅
(2)、用锁链规则求导的关键
引入中间变量,将复合函数分解成基本初等函数。还应注意:求导完成后,应将引入的中间变量代换成原自变量。
【例3】求
y x
=sin2
的导数
dy
dx。
解:设
u x
=2,则y u
=sin
,
u x
=2,由锁链规则有:
dy
dx
dy
du
du
dx
u x u x
=⋅='⋅'=⋅=
(sin)()(cos)cos
2222
【例4】设
y tg
x
=ln
2,求
dy
dx。
由锁链规则有dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
⋅
⋅
=
2
1
cos
1
1
2
⋅
⋅
=
v
u(基本初等函数求导)
2
1
2
cos
1
2
1
2
⋅
⋅
=
x
x
tg
( 消中间变量) x
sin
1
=
由上例,不难发现复合函数求导窍门
中间变量在求导过程中,只是起过渡作用,熟练之后,可不必引入,仅需“心中有链”。
然后,对函数所有中间变量求导,直至求到自变量为止,最后诸导数相乘。
请看下面的演示过程:
)
2
(
2
cos
1
2
1
)
2
(
2
1
)
2
ln
(
2
'
⋅
⋅
=
'
⋅
=
'
=
x
x
x
tg
x
tg
x
tg
x
tg
dx
dy
x
x
x
tg
x
x
x
tg sin
1
2
2
cos
2
1
)
(
2
1
2
cos
1
2
1
2
2
=
⋅
⋅
=
'
⋅
⋅
⋅
=
【例5】证明幂函数的导数公式
1
)
(-
⋅
='μ
μμx
x
,(
μ
为实数)。
证明:设
y x e x
==⋅
μμln
1
ln
ln
1
)
ln
(-
⋅
=
⋅
⋅
='
⋅
='μ
μ
μμ
μ
μx
x
e
x
e
y x
x
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