数列的极限;数列极限的运算法则·双基能力训练
极限的四则运算(数列极限、函数极限)
a
k
，lim（C n
an）
Ca
。
例1、已知 lnim(6an bn ) 11 lnim(3an 2bn ) 7
求 lnim(2an bn ) 的值。
解：2an+bn=
1 15
(6an-bn)+
8 15
(3an+bn),
∴ lnim(2an bn )
3)
lim (
x
x3 2x2 1
x2 2x
) 1
KEY：1) 0（分子分母同除以x4)； 2）0(分子有理化） 3）1/4（通分）
例3、（1）求
lim
x1
2x2 x3
x 1 2x2 1
的值。
x2 1
（2）求
lim
x1
2x2
x 1
的值
（见课本P87，注意其中的说明。）
3 5
( 2)n1 5
[1 ( 2)n ] 5
2
3 [(2)n1 55
( 2)2n1] 5
∴
lim
n
Tn
3 5
[ 1
1
2
5 1
4
]
3 (5 10) 5 . 5 3 21 7
5 25
例5、有一个边长为1的正方形，以其四边中点为顶点画 第二个正方形，再以第二个正方形的四边中点为顶点画
=
lim[ 1 n 15
(6an
bn
)
185（3an
2bn
)]
=
1 15
×11+
185×(-7)
数列的极限函数的极限与洛必达法则的练习题及解析
数列的极限函数的极限与洛必达法则的练习题及解析一、单项选择题（每小题4分，共24分）3． 若()0lim x x f x →=∞，()0lim x x g x →=∞，则下列正确的是 （ ） A ． ()()0lim x x f x g x →+=∞⎡⎤⎣⎦ B ． ()()0lim x x f x g x →-=∞⎡⎤⎣⎦ C ． ()()01lim 0x x f x g x →=+ D ． ()()0lim 0x x kf x k →=∞≠ 解：()()000lim lim x x x x k kf x k f x k →→≠==⋅∞∞ ∴选D6．当n →∞时，1k n 与1k n 为等价无穷小，则k=（ ） A ．12B ．1C ．2D ．-2 解：2211sin lim lim 1,211n n k kn n k n n →∞→∞=== 选C 二 、填空题（每小题4分，共24分）8．2112lim 11x x x →⎛⎫-= ⎪--⎝⎭ 解：原式()()()112lim 11x x x x →∞-∞+--+ 10．n =解：原式n ≡有理化 11．1201arcsin lim sin x x x e x x -→⎛⎫+= ⎪⎝⎭解：11220011sin 1,lim 0lim sin 0x x x x e e x x -→→≤=∴=又00arcsin lim lim 1x x x x xx →→== 故 原式=112．若()220ln 1lim 0sin n x x x x →+= 且0sin lim 01cos n x x x→=-,则正整数n = 解：()222200ln 1lim lim sin n n x x x x x x x x→→+⋅= 20420,lim 02n x n x n x→<>2,4,n n ∴>< 故3n =三、计算题（每小题8分，共64分）14．求0x → 解：原式有理化16．求0ln cos 2lim ln cos3x x x→ 解：原式[][]0ln 1cos 21lim ln 1cos31x x x →--+-变形注:原式02sin 2cos3lim cos 23sin 3x x x x x→∞⎛⎫ ⎪∞⎝⎭-⨯- 17．求02lim sin x x x e e x x x-→--- 解： 原式0020lim 1cos x x x e e x-→+-- 19．求lim 111lim 11n n n n n e e n →∞--+→∞⎛⎫-== ⎪+⎝⎭解： (1) 拆项，111...1223(1)n n +++⋅⋅+ 1111111...122311n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭++⎝⎭⎝⎭(2) 原式=lim 111lim 11n n n n n e e n →∞--+→∞⎛⎫-== ⎪+⎝⎭20．求21lim ln 1x x x x →∞⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦解： 原式()201ln 11lim t t t x t t →=+⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四、证明题（共18分）21．当x →∞时且()()lim 0,lim x x u x v x →∞→∞==∞, 证明()()()()lim lim 1x u x v x v x x u x e →∞→∞+=⎡⎤⎣⎦ 证：()()lim 1v x x u x →∞+⎡⎤⎣⎦ ()()lim x u x v x e →∞⋅=证毕22．当0x →时，证明以下四个差函数的等价无穷小。
数列极限练习题计算数列的极限与相关性质
数列极限练习题计算数列的极限与相关性质数列极限练习题：计算数列的极限与相关性质数列是数学中非常重要的概念，广泛应用于各个领域。
学习数列的极限与相关性质可以帮助我们更好地理解数列的发展趋势和规律。
在本文中，我们将通过一些练习题来计算数列的极限，并探讨与之相关的性质。
题目一：计算数列极限考虑以下数列：\[a_n = \frac{n+1}{n}\]我们需要计算该数列的极限。
解答：为了计算数列\[a_n = \frac{n+1}{n}\]的极限，我们可以采用极限的定义。
根据定义，当\[n\]趋近于无穷大时，数列的极限为极限项所在的值。
在本题中，当\[n\]趋近于无穷大时，数列的极限为\[\lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n}\]我们可以将该极限进行求解：\[\lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n} = \lim_{n\to\infty} \left(1 +\frac{1}{n}\right)\]根据极限的性质，我们知道当\[n\]趋近于无穷大时，\[\frac{1}{n}\]趋近于零。
因此，上式可以化简为：\[\lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right) = 1 + \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} = 1 + 0 = 1\]所以，数列\[a_n = \frac{n+1}{n}\]的极限为1。
题目二：数列极限的性质证明以下性质：若数列\[\{a_n\}\]和数列\[\{b_n\}\]的极限分别为\[A\]和\[B\]，则数列\[\{a_n + b_n\}\]的极限为\[A + B\]。
证明：为了证明该性质，我们可以利用极限序列的定义和运算法则。
根据定义，当\[n\]趋近于无穷大时，数列\[\{a_n\}\]和\[\{b_n\}\]分别趋近于\[A\]和\[B\]，即：\[\lim_{n\to\infty} a_n = A\]\[\lim_{n\to\infty} b_n = B\]我们需要证明数列\[\{a_n + b_n\}\]的极限为\[A + B\]，即：\[\lim_{n\to\infty} (a_n + b_n) = A + B\]根据极限的性质，我们知道当\[n\]趋近于无穷大时，\[\{a_n + b_n\}\]趋近于\[A + B\]，若且仅若\[\{a_n + b_n\} - (A + B)\]趋近于零。
(整理)数列的极限知识点 方法技巧 例题附答案和作业题
数列的极限一、知识要点1数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限记作l i m n n a a →∞=．（注：a 不一定是｛a n ｝中的项） 2几个重要极限：（1）01lim=∞→n n （2）C C n =∞→lim （C 是常数） （3）()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=>=<=∞→1,11,110lim a a a a a n n 或不存在，（4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=>=++++++++----∞→)()()(0lim 011101110t s t s b a t s b n b n b n b a n a n a n a s s s s t t t t n 不存在3. 数列极限的运算法则:如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞→∞→那么B A b a n n n +=+∞→)(lim B A b a n n n -=-∞→)(limB A b a n n n .).(lim =∞→ )0(lim≠=∞→B B Ab a nn n 4．无穷等比数列的各项和⑴公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n 项的和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做lim n n S S →∞=⑵1lim ,(0||1)1n n a S S q q→∞==<<- 二、方法与技巧⑴只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限.⑵运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件.（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形） ⑶求数列极限最后往往转化为()N m nm ∈1或()1<q q n型的极限.⑷求极限的常用方法： ①分子、分母同时除以m n 或n a .②求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限. ③利用已知数列极限（如() 01lim,10lim =<=∞→∞→nq q n n n 等）. ④含参数问题应对参数进行分类讨论求极限.⑤∞－∞,∞∞,0－0,00等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限题型讲解例1 求下列式子的极限： ①nnn )1(lim-∞→； ②∞→n lim 112322+++n n n ； ③∞→n lim 1122++n n ； ④∞→n lim 757222+++n n n ; （2） ∞→n lim （n n +2－n ）;（3）∞→n lim （22n +24n + (22)n） 例2 ()B A b a B b A a n n n n n n n +=+==∞→∞→∞→lim lim ,lim 是的（ ）A 充分必要条件B 充分不必要条件C 必要不充分条件D 既不充分又不必要条件例3 数列{a n }和{b n }都是公差不为0的等差数列，且nn n b a ∞→lim =3,求n nn nb a a a 221lim +++∞→ 的值为例4 求nn nn n a a a a --∞→+-lim （a >0);例5 已知1)11(lim 2=--++∞→b an n n n ,求实数a,b 的值;例6 已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,且有∞→n lim （q a +11－q n ）=21,求a 1的取值范围例7 已知数列｛a n ｝是由正数构成的数列，a 1＝3，且满足lg a n ＝lg a n －1＋lg c ，其中n 是大于1的整数，c 是正数．（1）求数列｛a n ｝的通项公式及前n 和S n ；（2）求∞→n lim 1122+-+-n n n n a a 的值．数列极限课后检测1下列极限正确的个数是（ ）①∞→n lim αn 1=0（α＞0） ②∞→n lim q n =0 ③∞→n lim n n n n 3232+-=－1 ④∞→n lim C =C （C 为常数） A 2 B 3 C 4 D 都不正确 3下列四个命题中正确的是（ ）A 若∞→n lim a n 2＝A 2，则∞→n lim a n ＝AB 若a n ＞0，∞→n lim a n ＝A ，则A ＞0C 若∞→n lim a n ＝A ，则∞→n lim a n 2＝A 2D 若∞→n lim （a n －b ）＝0，则∞→n lim a n ＝∞→n lim b n5若数列{a n }的通项公式是a n =2)23()1(23n n n n n ------++,n =1,2,…,则∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）等于（ ） A 2411 B 2417 C 2419 D 24256数列{a n }中,n a 的极限存在，a 1=51,a n +a n +1=156+n ,n ∈N *,则∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）等于（ ）A 52B 72C 41D 254 7．∞→n lim n n ++++ 212=__________ ∞→n lim 32222-+n nn =____________∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－21+n ）］= 8已知a 、b 、c 是实常数，且∞→n lim c bn can ++=2, ∞→n lim b cn c bn --22=3,则∞→n lim acn c an ++22的值是（ ）9 {a n }中a 1=3，且对任意大于1的正整数n ,点（n a ,1-n a ）在直线x －y －3=0上，则∞→n lim2)1(+n a n =_____________10等比数列{a n }公比q =－21,且∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1）=38,则a 1=_____________11已知数列｛a n ｝满足（n －1）a n +1=（n +1）（a n －1）且a 2=6,设b n =a n +n （n ∈N *）（1）求{b n }的通项公式；（2）求∞→n lim （212-b +213-b +214-b +…+21-n b ）的值 12已知{a n }、{b n }都是无穷等差数列,其中a 1=3,b 1=2,b 2是a 2与a 3的等差中项,且∞→n limn n b a =21, 求极限∞→n lim （111b a +221b a +…+nn b a 1）的值例题解析答案例1n的分子有界，分可以无限增大，因此极限为0；②112322+++n n n 的分子次数等于分母次数，极限为两首项(最高项)系数之比； ③∞→n lim1122++n n 的分子次数小于于分母次数，极限为0解：①0nn =； ②2222213321lim lim 3111n n n n n n n n→∞→∞++++==++； ③∞→n lim 2222121lim lim 0111n n n n n n n→∞→∞++==++点评：分子次数高于分母次数，极限不存在；分析:（4）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n 2后再求极限；（5）因n n +2与n 都没有极限，可先分子有理化再求极限；（6）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限解:（1）∞→n lim 757222+++n n n =∞→n lim 2275712nn n +++52（2）∞→n lim （n n +2－n ）= ∞→n limnn n n ++2=∞→n lim1111++n21（3）原式=∞→n lim22642n n ++++ =∞→n lim 2)1(nn n +=∞→n lim （1+n 1）=1 点评：对于（1）要避免下面两种错误：①原式=)75(lim )72(lim 22+++∞→∞→n n n n n =∞∞=1,②∵∞→n lim （2n2+n +7）, ∞→n lim （5n 2+7）不存在，∴原式无极限对于（2）要避免出现下面两种错误：①∞→n lim （n n +2－n ）= ∞→n limn n +2－∞→n lim n =∞－∞=0;②原式=∞→n limn n +2－∞→n lim n =∞－∞不存在对于（3）要避免出现原式=∞→n lim 22n +∞→n lim 24n +…+∞→n lim22n n =0+0+…+0=0这样的错误 例2 B例3 数列{a n }和{b n }都是公差不为0的等差数列，且nn n b a ∞→lim =3,求n nn nb a a a 221lim +++∞→ 的值为解：由nnn b a ∞→lim=3⇒d 1=3d 2 ，∴n n n nb a a a 221lim +++∞→ =2121114])12([2)1(lim d d d n b n d n n na n =-+-+∞→43 点评：化归思想 例4 求nn nn n a a a a --∞→+-lim （a >0);解：nnnn n a a a a --∞→+-lim =⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧<<-=+-=>=+-∞→∞→).10(111lim ),1(0),1(11111lim 2222a a a a a a a n nn n n n 点评：注意分类讨论例5 已知1)11(lim 2=--++∞→b an n n n ,求实数a,b 的值; 解：11)()1(lim 2++-+--∞→n b n b a n a n =1，∴ ⎩⎨⎧=+-=-1)(01b a a ⇒a=1,b=─1例6 已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,且有∞→n lim （q a +11－q n ）=21,求a 1的取值范围 解: ∞→n lim （q a +11－q n ）=21, ∴∞→n lim q n 一定存在∴0＜|q |＜1或q =1当q =1时，21a －1=21,∴a 1=3当0＜|q |＜1时，由∞→n lim （q a +11－q n ）=21得q a +11=21,∴2a 1－1=q ∴0＜|2a 1－1|＜1∴0＜a 1＜1且a 121 综上,得0＜a 1＜1且a 1≠21或a 1=3 例7 已知数列｛a n ｝是由正数构成的数列，a 1＝3，且满足lg a n ＝lg a n －1＋lg c ，其中n 是大于1的整数，c 是正数．（1）求数列｛a n ｝的通项公式及前n 和S n ；（2）求∞→n lim1122+-+-n n n n a a 的值．解:（1）由已知得a n ＝ｃ·a n －1,∴｛a n ｝是以a 1＝3，公比为c 的等比数列，则a n ＝3·ｃn －1∴S n ＝⎪⎩⎪⎨⎧≠>--=).10(1)1(3)1(3c c cc c n n 且（2） ∞→n lim1122+-+-n nn n a a ＝∞→n lim n n n n cc 323211+--- ①当c =2时，原式＝－41; ②当ｃ＞2时，原式＝∞→n lim ccc n n 3)2(23)2(11+⋅---＝－c 1;③当0＜ｃ＜2时，原式=∞→n lim 11)2(32)2(31--⋅+-n n c c c 21点评：求数列极限时要注意分类讨论思想的应用 试卷解析 1 答案:B3解析:排除法，取a n ＝（－１）n ，排除A ；取a n ＝n1，排除Ｂ；取a n ＝b n ＝n ，排除D ．答案:C 5 解析:a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-++--+--------),(22323),(2)23(23为偶数为奇数n n nn nn n n n n 即a n =⎪⎩⎪⎨⎧--).3),(2(为偶数为奇数n n n n∴a 1+a 2+…+a n =（2－1+2－3+2－5+…）+（3－2+3－4+3－6+…）∴∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）=411213132122221-=-+-----+91191-=.2419答案:C6 解析:2（a 1+a 2+…+a n ）=a 1+［（a 1+a 2）+（a 2+a 3）+（a 3+a 4）+…+（a n －1+a n ）］+a n =51+[256+356+…+n 56]+a n ∴原式=21［51+511256-+∞→n lim a n ］=21（51+103+∞→n lim a n ）∵a n +a n +1=156+n ,∴∞→n lim a n +∞→n lim a n +1=0∴∞→n lim a n =0 答案:C7 解析:原式=∞→n lim2)1(2++n n n =∞→n lim 221212nn n ++=0∞→n lim 32222-+n n n =∞→n lim 23221nn -+21 解析: ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－21+n ）］=∞→n lim ［n ×32×43×54×…×21++n n ］=∞→n lim 22+n n=2 答案:C 8解析: 答案:D 由∞→n lim cbn can ++=2,得a =2b由∞→n lim b cn c bn --22=3,得b =3c ,∴c =31b ∴ca =6∴∞→n lim a cn c an ++22=∞→n lim 22na c n ca ++=c a =69析:由题意得n a －1-n a =3 （n ≥2）∴{n a }是公差为3的等差数列，1a∴n a =3+（n －1）·3=3n ∴a n =3n 2∴∞→n lim 2)1(+n a n=∞→n lim 12322++n n n =∞→n lim 21213nn ++=3 10析:∵q =－21,∴∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1）=4111-a =38∴a 1=211 解:（1）n =1时，由（n －1）a n +1=（n +1）（a n －1）,得a 1=1n =2时，a 2=6代入得a 3=15同理a 4=28,再代入b n =a n +n ,有b 1=2,b 2=8,b 3=18,b 4=32,由此猜想b n =2n 2要证b n =2n 2,只需证a n =2n 2－n①当n =1时，a 1=2×12－1=1成立②假设当n =k 时，a k =2k 2－k 成立那么当n =k +1时，由（k －1）a k +1=（k +1）（a k －1）,得a k +1=11-+k k （a k －1）=11-+k k （2k 2－k －1）=11-+k k （2k +1）（k －1）=（k +1）（2k +1）=2（k +1）2－（k +1） ∴当n =k +1时，a n =2n 2－n 正确，从而b n =2n 2（2）∞→n lim （212-b +213-b +…+21-n b ）=∞→n lim （61+161+…+2212-n ）=21∞→n lim ［311⨯+421⨯+…+)1)(1(1+-n n ］ =41∞→n lim ［1－31+21－41+…+11-n －11+n ］=41∞→n lim ［1+21－n 1－11+n ］=8312 解:{a n }、{b n }的公差分别为d 1、d 2∵2b 2=a 2+a 3,即2（2+d 2）=（3+d 1）+（3+2d 1）,∴2d 2－3d 1=2又∞→n limn n b a =∞→n lim 21)1(2)1(3d n d n -+-+=21d d =21,即d 2=2d 1, ∴d 1=2,d 2=4∴a n =a 1+（n －1）d 1=2n +1,b n =b 1+（n －1）d 2=4n －2∴n n b a 1=)24()12(1-⋅+n n =41（121-n －121+n ）∴原式=∞→n lim 41（1－121+n ）=41。
求数列极限的方法总结
求数列极限的方法总结数列极限是数学中一个重要的概念，它在微积分、实分析等领域有着广泛的应用。
在数学学习的过程中，我们经常会遇到需要求解数列极限的问题，因此掌握求数列极限的方法是非常重要的。
本文将对求数列极限的方法进行总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一内容。
首先，我们来介绍一下数列极限的定义。
对于一个数列${a_n}$，当$n$趋于无穷大时，如果数列的项$a_n$无限接近于某个常数$A$，那么我们就说数列${a_n}$的极限为$A$，记作$\lim_{n \to \infty} a_n = A$。
换句话说，数列的极限就是数列中的项随着$n$的增大而逐渐趋近于一个确定的值。
接下来，我们将总结求数列极限的方法。
在实际运用中，我们常用以下几种方法来求解数列的极限：1. 数学归纳法，对于一些简单的数列，我们可以通过数学归纳法来证明其极限。
通过观察数列的前几项，然后假设数列的第$k$项成立，再利用数学归纳法证明数列的第$k+1$项也成立，从而得出数列的极限。
2. 利用常用极限公式，对于一些常见的数列，我们可以利用已知的极限公式来求解。
例如，当数列为等比数列、等差数列或者幂函数数列时，我们可以利用这些数列的通项公式，然后利用常用的极限公式来求解。
3. 利用夹逼定理，夹逼定理是求解数列极限中常用的方法之一。
当我们无法直接求解数列的极限时，可以尝试构造一个夹逼数列，通过夹逼定理来求解原数列的极限。
4. 利用递推关系式，对于一些递推关系式定义的数列，我们可以通过递推关系式来求解数列的极限。
通过不断迭代递推关系式，我们可以逐步逼近数列的极限值。
5. 利用数列的特性，有些数列具有特殊的性质，例如单调性、有界性等，我们可以利用这些特性来求解数列的极限。
通过分析数列的特性，我们可以更好地理解数列的极限性质。
总的来说，求数列极限的方法有很多种，我们需要根据具体的数列特点来选择合适的方法。
在实际应用中，我们还需要不断练习，加强对数列极限的理解和掌握，才能更好地运用这些方法来解决实际问题。
数学分析 第二章21-2数列极限的准则、运算法则
2021/3/22
1
极限存在准则
1.定理３（夹逼准则）
若数列( xn )n1, ( yn )n1,(zn ) 满足下列条件：
(1) yn xn zn (n N),
(2)
lim
n
yn
lim
n
zn
a,
则数列
(
xn
)n1的极限存在,
且
lim
n
xna.Leabharlann 2021/3/222
证 yn a, zn a,(n )
xn
yn
a b.
3.lim xn a , (b 0).
y n n
b
2021/3/22
11
证1 xn a, yn b,(n )
0, N1 0, N2 0, 使得
当 n N1时恒有 xn a ,
当 n N2时恒有 yn b ,
取 N max{ N1, N2 }, 当 n N时, 恒有 上两式同时成立,
M | b | (M | b |)
即lim n
xn
yn
ab
lim
n
xn
lim n
yn
特别地,两个无穷小量的积仍是无穷小量.
更一般,一个有界量与一个无穷小量的积仍
是无穷小量.
2021/3/22
15
证3 xn a, yn b,(n )
0, N1 0, N2 0, 使得
当 n N1时恒有 xn a , 当 n N2时恒有 yn b ,
| (xn yn ) (a b) | | xn a | | yn b | 2
即lim( n
xn
yn )
a
b
数列极限的知识点总结
数列极限的知识点总结一、数列极限的定义1.1 数列首先要了解数列的概念。
数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的有序集合。
数列通常用符号{an}表示，其中an代表数列的第n个元素。
数列是数学中一种基本的数学概念，它在许多数学问题中都起着重要的作用。
1.2 数列极限接着要了解数列的极限。
数列{an}的极限是指当n趋向于无穷大时，数列中的元素an的值趋近于一个常数L，即lim(an) = L。
如果这样一个数L存在，那么我们就说数列{an}收敛，并且把L称为数列的极限，记作lim(an) = L。
如果这样一个数L不存在，那么我们就说数列{an}发散。
1.3 数列极限的形式化定义对于给定的数ε，如果存在一个正整数N，使得当n大于N时，|an - L| < ε恒成立，那么称L是数列{an}的极限。
这样的N存在的话，就称这N是数L和ε的函数。
1.4 无穷大数列如果数列{an}中的元素an当n趋向于无穷大时，它的绝对值|an|趋向于无穷大，那么就称数列{an}是无穷大的。
对于无穷大数列，我们通常用符号lim(an) = ±∞来表示。
1.5 注意事项在讨论数列极限的问题时，需要注意以下几点：1) 数列的极限可能是一个有限的常数，也可能是无穷大。
2) 一般来说，数列的极限不一定存在，也可能有多个极限（一般在不同n的取值范围内）。
3) 要特别注意当n趋于无穷大时，数列中的元素an的绝对值的行为，关系到数列是否是无穷大数列。
以上是数列极限的基本概念和定义，下面我们将介绍数列极限的相关性质。
二、数列极限的相关性质2.1 唯一性如果数列{an}收敛，那么它的极限是唯一的。
换句话说，如果lim(an) = L1和lim(an) = L2，那么L1 = L2。
2.2 有界性如果数列{an}收敛，那么它一定是有界的，即存在一个正实数M，使得|an| < M（n∈N）。
2.3 保号性如果数列{an}收敛到一个有限的极限L，那么当n充分大时，数列{an}的元素和L有相同的正负号。
数列的极限知识点总结
数列的极限知识点总结嘿，朋友们！今天咱来唠唠数列的极限这个神奇的玩意儿。
你说数列的极限像不像一场追逐游戏呀？数列就像是一群调皮的小孩子在往前跑，而极限呢，就是他们一直想要跑到的那个目标。
有时候他们离得很近，有时候又跑偏了，但最终总是会慢慢靠近那个目标。
咱先说说数列吧。
那一个个数字排排站，就好像是一支有秩序的队伍。
它们按照一定的规律前进着，有时候是等差，有时候是等比，各有各的玩法。
就好比等差数列，那相邻两项的差值总是那么固定，就像士兵迈着整齐的步伐。
然后呢，极限就像是远方的一座灯塔。
不管这些数字怎么蹦跶，它们的大方向总是朝着极限去的。
比如说，一个数列慢慢地越来越接近某个数，那个数就是它的极限啦。
这就好像是一群孩子玩耍，不管怎么疯跑，最终还是要回家一样。
咱举个例子哈，就说那个最简单的 1/n 这个数列。
随着 n 越来越大，1/n 是不是越来越小呀？最后就无限接近于 0 啦，那 0 就是它的极限呀！你说神奇不神奇？再想想，如果数列没有极限会咋样呢？那就像是一群没头苍蝇乱撞，没有个目标，多迷茫呀！但有了极限，就有了方向，有了盼头。
数列的极限还有很多好玩的性质呢。
比如说，收敛数列的极限是唯一的。
这就好比每个人最终只能有一个家一样，不能一会儿想去这，一会儿想去那。
而且啊，极限还和很多其他的数学概念有关系呢。
就像朋友之间相互影响一样，它们一起构成了数学这个丰富多彩的世界。
那我们学习数列的极限有啥用呢？哎呀，用处可大啦！在很多实际问题中都能看到它的影子呀。
比如说，计算一些无穷小量的时候，不就得靠极限嘛。
还有在研究一些物理现象、经济模型的时候，也都少不了它呢。
总之，数列的极限就像是数学世界里的一颗璀璨明珠，闪闪发光，魅力无穷。
咱可得好好琢磨琢磨，把它给弄明白咯，不然不就亏大了嘛！你说是不是呀？所以呀，大家加油，和数列的极限来一场美妙的邂逅吧！。
数列极限的运算法则
数列极限的运算法则
数列是由一系列数字按照一定规律排列而成的序列，而数列的极限是指当数列中的项无限接近某个特定值时，该特定值就是该数列的极限。
数列的极限可以通过一些运算法则来求解，这些运算法则包括以下几个方面。
1. 线性运算法则：如果数列{an}和{bn}的极限分别为A和B，那么对于任意
实数c，数列{can}的极限为cA，数列{an+bn}的极限为A+B，数列{an-bn}的极限
为A-B。
2. 乘法运算法则：如果数列{an}和{bn}的极限分别为A和B，那么数列{anbn}的极限为AB。
3. 除法运算法则：如果数列{an}和{bn}的极限分别为A和B，且B不等于0，那么数列{an/bn}的极限为A/B。
4. 幂运算法则：如果数列{an}的极限为A，且m是一个正整数，那么数列{an^m}的极限为A^m。
5. 复合函数运算法则：如果函数f(x)在x=A处连续，并且数列{an}的极限为A，那么数列{f(an)}的极限为f(A)。
6. 夹逼准则：如果数列{an}，{bn}和{cn}满足an≤bn≤cn，并且数列{an}和{cn}的极限都为A，那么数列{bn}的极限也为A。
7. 极限的唯一性：如果数列{an}的极限存在，那么该极限是唯一的。
这些运算法则可以帮助我们计算数列的极限，使得我们能够更加方便地求解数列的极限问题。
但需要注意的是，这些运算法则只适用于满足一定条件的数列，例如乘法运算法则中要求乘积数列的每一项都存在，除法运算法则中要求除数数列的每一项都不为0等。
在应用运算法则时，我们需要仔细分析数列的性质，确保运算的合理性。
数列极限的求解方法
数列极限的求解方法随着数学领域的不断发展，数列极限已经成为了数学教育的常见问题。
数列是一组按照一定规律排列的数字，而极限则是这组数字中的最大或者最小值。
数列极限的求解方法是一种重要的数学技能，因为它在解决高等数学问题中扮演了相当重要的角色。
在本文中，我们将介绍数列极限的求解方法及其具体实践，帮助读者深入了解这一科学技巧的内涵。
第一部分：基础知识在介绍数列极限的求解方法之前，我们必须先了解以下一些基础知识。
第一，数列。
数列是指以一个有序的数列排列的一系列数字，列中每个数字都有一定的规律和意义，以便于在数值上进行比较和分析。
例如，1、2、3、4、5、6、7、8、9……就是一个以自然数为规律的数列。
第二，极限。
极限是指一个数列收敛于一个唯一的数字，或者无限逼近于其值的过程。
如果数列中所有的数从一开始就一直逼近于某一个值，那么这个值就是数列的极限。
第三，数列极限。
数列极限是指数列中最大或者最小的值。
数列极限可以使用多种方法来求解，其中包括极限定义法、数列通项法和柯西准则法等。
第二部分：数列极限的求解方法1. 极限定义法极限定义法是用数学公式和方法来求解一般数列和函数的极限问题。
根据极限定义法，任意一段数列的极限，都能够通过以下的公式求解：lim_[n→∞]a(n) = L其中“a(n)”是数列的第n个数，“L”是该数列的极限值，代表该数列在无限逼近中的极限值。
该公式将数列的极限问题转变成了一个计算极限的问题，比较适合于直接执行计算的场合。
2. 数列通项法数列通项法是一种基于推导数列通项公式的方法，它通过开发出数列的通项公式来使用公式的方法求解某一数列的极限值。
根据数列通项法，任意数列的通项公式可以表示为以下的形式：a(n) = f(n)其中“f(n)”是序列中的第n个数的通项表示方法，通项公式中的每一个项都描述了不同的数列，可以有效地增加计算的效率及精度。
3. 柯西准则法柯西准则法是一种基于柯西条件的极限求解方法，它通过使用柯西准则来判断数列是否收敛。
数列极限地运算法则
3 5
n
n
1 9
0
方法小结：
lim
n
kpn tpn
cqn dqn
1、如果 p q ,那么分子、分母同除以pn; 2、如果 p q ,那么分子、分母同除以qn;
再利用lim rn ,求极限值. n
例3：计算下列数列的极限：
(1) lim(1 2 3 2010) 0
n n n n
lim1 lim 1
n
n n n
(2) lim 2n 1
2 1 lim n
n 3n 2 n 3 2
lim(2
n
1) n
2
lim(3 2) 3
(3) lim 2n 1 n n2 3n
n
lim
2 n
1 n2
n 1 3
n
lim( n
2 n
nn12
)
lim(1 3)
0
n
n
n
(4) lim n2 2n 3 n 2n2 3n 7
(7) 1 6
a 1 (8) b 1
(9)
2 5
,
4 5
(10) 0,4
(11) 1 3
例7、计算下列数列的极限：
(1) lim n
n 1 n2
n
lim
n n
1 1 1 n
1 2 1 n
lim ( n 1 n)( n 1 n) n ( n 2 n)( n 1 n)
lim
1
练习：
书 P-42 练习 7.7（3） 书 P-44 练习 7.7（4）
作业：
一课一练： P-28 练习 7.7（3） 一课一练： P-30 练习 7.7（4）
作业：
高等数学数列极限的性质和运算法则
18
1.2 数列极限的性质和运算法则
1 1 1 1 [ ]。 （3） lim n 1 2 2 3 34 n( n 1) 1 1 1 解：∵ ， n( n 1) n n 1
ab yn 。 则当 n N 时，有 x n 2
5
1.2 数列极限的性质和运算法则
推论 1 若 lim x n a ， lim y n b ，且 xn yn ，则 a b 。
n
n
推论 2 若 lim x n a ，且 a .2 数列极限的性质和运算法则
1.2.2. 数列极限的性质
性质 1（唯一性）若 { xn } 收敛，则其极限唯一。
性质 2（有界性） 若 { xn } 收敛，则 { xn } 必有界，
即 M 0 ， n N , 有 xn M 。
性质 3（保序性）若 lim x n a ， li m yn b ，且 a b ，
n n
ab ∴ N 1 N ，使得当 n N 1 | x n a | 0 x n ， 2 ab yn ， ∴ N 2 N ，使得当 n N 2 | yn b | 0 2 令 N max{ N1 , N 2 } ，
1 1 1 1 ∴ 1 2 2 3 3 4 n( n 1)
1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 4 n n1
技巧
1 1 , n1
1 1 1 1 1 ∴ lim [ ] lim (1 )1。 n 1 2 2 3 34 n( n 1) n n1
数列极限的四则运算法则
数列极限的四则运算法则好嘞，今天咱们聊聊数列极限的四则运算法则。
听起来很严肃，对吧？其实这玩意儿就像你早上喝的豆浆，慢慢喝才有味道。
极限，这个词听上去高大上，其实说白了就是一个数列在无限逼近某个数字时的表现。
就像你追着一只小猫，越追越近，最后它就在你面前停下了。
这就是极限。
咱们得搞清楚，数列是什么东西。
数列就是一个个数字按一定规律排成的队伍。
想象一下，你在吃糖果，巧克力、牛奶糖、果仁糖，一颗接一颗，这些糖果就像数列里的数字。
你一开始可能就吃一颗，但随着时间推移，可能会吃到第十颗、第二十颗，甚至更多。
咱们要知道，每次吃到的新糖果代表数列中的一个数，慢慢地，你就会对它们的味道有个大概的了解。
极限的四则运算就像一场有趣的游戏。
加法、减法、乘法、除法，嘿，听起来是不是很简单？就像你和朋友一起吃火锅，大家分着吃，越吃越快乐。
先说加法，两个数列相加，就像把两盘菜放在一起，嘿嘿，味道更丰盛了。
假如你有两个数列，一个是2、4、6，另一个是3、5、7。
它们的极限分别是6和7，加起来，极限就是13。
这就跟你和朋友一起点了牛肉和虾，最后大家一起分享，肉虾双全，太幸福了。
再说减法，听上去似乎有点伤感。
两个数列相减，就像你从一盘菜里拿走一部分，虽然有点遗憾，但味道还是不错的。
比如说，数列A的极限是10，数列B的极限是4，AB的极限就是6。
别忘了，生活中总会有些失去，重要的是珍惜眼前的美好。
然后，咱们谈谈乘法，嘿，这个可真是让人激动。
两个数列相乘，就像把你最爱的两种口味的冰淇淋混合在一起。
假如一个数列的极限是2，另一个是3，它们的乘积的极限就是6。
这就像你吃到巧克力和香草的组合，哇，简直是味蕾的狂欢，幸福感直线飙升。
别忘了除法。
这个有点儿小心翼翼，毕竟不是所有的数都能被完美地分开。
就像你和朋友一起分披萨，不能让某个人分到0片，那可就没法玩了。
如果数列A的极限是8，B的极限是2，A除以B的极限就是4。
记住，除法的时候一定得小心，确保分母不是零，不然就得抓瞎。
数列极限的运算法则
练习： 练习： 1. 无穷数列 {a n } 的根限是 ，指的是对任意 的根限是A， 预先指定多么小的正数 ，都能在 {a n } 中找 到一项， 到一项，使（ ） |a A.a N 以后至少有一项满足。 n A| < ε 以后至少有一项满足。 B. a N 以后有有限项满足。 | a n A| < ε 以后有有限项满足。 C. a N 以后有无穷多项满足。 | a n A| < ε 以后有无穷多项满足。 D. a N 以后的所有项满足 。 | a A |< ε
lim (C a
n→∞
n
) = lim C lim a n = CA
n→∞ n→∞
因此：如果两个数列都有极限，那么， 因此：如果两个数列都有极限，那么， 这两个数列的各对应项的和 这两个数列的各对应项的和，差，积， 组成的数列的极限， 商组成的数列的极限，分别等于这两个 数列的极限的和 数列的极限的和，差，积，商（各项作 为除数的数列的极限不能为零） 为除数的数列的极限不能为零）
n → ∞
n → ∞
2 n + 1 = 3n + 2
lim
1 n 2 n =
n → ∞
n 2 3 + n
=
lim
n ← ∞
lim
n → ∞
n 2 (3 + ) n
)
=
lim
2 + 3 +பைடு நூலகம்
lim lim
n → ∞
lim
2 + 0 2 = 3 + 0 3
n → ∞
n → ∞
1 2 2 2 2n + 1 n n (3) lim 2 .....(4) lim 3 n →∞ 3n + 2n n →∞ n 1 2 3 4 n (5) lim ( 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 ) n n n n n n →∞
数列极限的运算法则教案1
数列极限的运算法则教案1教学内容：1．数列极限的四则运算法则；2．运用四则运算法则求数列的极限．教学目标：1．使学生理解数列极限的四则运算法则，并能运用极限的四则运算法则求数列的极限；2．通过数列极限的求解中转化的思想和分类讨论的思想的运用，培养学生思维的灵活性、科学性和批判性；3．通过数列极限的求解，帮助学生进一步认识极限的思想和方法，培养学生有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证观点．教学过程一、课题引入给出如下几个数列，请学生求出它们的极限． (1) 12，23，34，…，nn 1+，… ； (2) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+452322n n n ； (3) {}n n n 22+- ．学生运用数列极限的定义，一般都能求出数列(1)的极限为1．但对(2)，(3)的极限的求解，感到束手无策，求知的欲望驱使学生迫切地希望获得求解的方略（这正是教师有意识地设置(2)，(3)两题所希望出现的局面）．此时，教师趁热打铁，顺水推舟，指出通常求极限的问题比较复杂，仅凭定义来确定极限是不方便的，因此我们需要研究数列极的运算方法，并以此引出课题───数列极限的四则运算法则．考虑到不必证明，故随即开门见山地给出数列极限的四则运算法则．二、知识讲解上述课题引入的过程也是给出数列极限的四则运算法则的过程，设疑的目的是为了激发学生的求知欲．数列极限的四则运算法则如下：如果 A a n n =∞→lim ，B b n n =∞→lim ； 即么∞→n lim （n a n b ⋅）=A ·B ； ∞→n lim BA b a n n =（B ≠0）． 特别地，如果C 是常数，那么，∞→n lim （C · a n ）=∞→n lim C · ∞→n lim a n = C ·A ． 对数列极限的四则运算法则，我们作如下说明：1．四则运算法则的每一个式子中都有两种运算，即加法运算和极限运算；减法运算和极限运算；乘法运算和极限运算；除法运算和极限运算．四则运算法则的实质是每个式子中两种运算先后顺序的可交换性．例如，第一个式子表明，先求a n 与b n 的和，再求这个和的极限，与先分别求a n 、b n 的极限，再求这两个极限的和实质上是等效的，等等．2．数列｛a n ｝、｛b n ｝的极限必须存在，才能用此法则．3．加、减、乘的运算法则可推广到任意有限个数列（强调仅仅是有限个数列）的情况．4．对于商的极限的情形，作为分母的数列的极限不能为零．三、例题分析作为数列极限四则运算法则的应用，并兼顾方法和技能的培养，可选配如下例题：例1．已知∞→n lim a n =5，∞→n lim b n =3，求∞→n lim （3a n －4b n ）． 通过本例的求解训练，可使学生熟练极限的四则运算法则．事实上， 原式=∞→n lim 3 a n －∞→n lim 4b n =3∞→n lim a n －4∞→n lim b n =3×5－4×3=3． 例2．求：(1)∞→n lim （5＋n1）； (2) ∞→n lim 23122++n n ． 本例是数列极限四则运算的简单应用．对于(1)，可直接使用法则；对于(2)，由于分子、分母的极限均不存在，因此不能直接运用商的极限法则，而需要作适当的变形，使之具备运算法则的条件．为此，将分子分母同除以n 2即可．解：(1) 原式=∞→n lim 5＋∞→n lim n1=5＋0=5(2) 原式=∞→n lim 222312nn n ++ =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→2223lim 12lim n n n n n =222lim 3lim 1lim 2lim nn n n n n n ∞→∞→∞→∞→++ 0300++= 通过本例(2)中的求解，可培养学生逻辑推理能力，以及思维的严密性和科学性．例3．求：(1) ∞→n lim 452322+-+n n n ；(2)∞→n lim ()n n n 22+- 分析：这是课题引入中的(2)、(3)两小题，它们显然都不具备四则运算法则的条件．对于(1)，可引导学生仿例2 (2) 的策略，请学生自行求解．对于(2)，应先进行分子有理化，再将分子分母同除以n 2然后再求极限．解：(1)原式=∞→n lim 2241523nn n +-+=∞→n lim 224lim 1lim 5lim 2lim 3lim nn n n n n n n ∞→∞→∞→∞→∞→+-+ =01003+-+ 3=求解本题一个常见的错误是：原式=14lim lim 5lim 2lim 3lim 22=∞∞=+-+∞→∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n ． 这个解法错误有三处，一是错用了“商”的极限运算法则（事实上分子、分母的极限都不存在）；二是错用了“和”的极限运算法则（事实上，除了5和4以外，3n 2，2n ，n 2的极限都不存在）；三是错误地进行了约分运算（事实上，“∞”不是一个确定的数，因而不能进行通常的约分运算）．(2) 原式=∞→n lim nn n n222++- =∞→n lim n 2112++- =()n n n n 21lim 1lim 2lim ++-∞→∞→∞→=112+- =－1．求解本题一个常见的错误是：原式=∞→n lim n －∞→n lim n n 22+=∞－∞=0．这个解法错误有二处同，一是由于n 与n n 22+的极限都不存在，因此直接运用差的极限运算法则是错误的；二是由于“∞”不是一个确定的数，因此“∞－∞=0”是没有根据的．例4．求下列极限 （1）∞→n lim （+-+-171422n n (1)132-++n n ）； （2）∞→n lim [ n （1－21）（1－31）（1－41）…（1－11+n ）] ． 分析：对于（1），应先求和，然后再求极限；对于（2），应先求积，然后再求极限．解：（1）原式=∞→n lim()113742-++⋅⋅⋅++n n =∞→n lim ()()12532-+n n n =∞→n lim 225322-+n n n=∞→n lim 22253nn -+ 23= 求解本题一个常见的错误是：原式=∞→n lim142-n ＋∞→n lim 172-n ＋…＋∞→n lim 1132-+n n =0＋0＋…＋0＋…=0． 这一解法的错误在于未注意运算法则仅对有限个有极限．．．．．．的数列而言的．而本题中当n →∞时，实际上是无穷多个数列了，因此不能运用此法则．（2）原式=∞→n lim （433221⋅⋅⋅n (1)+n n ） =∞→n lim 1+n n =∞→n lim n 111+=1．通过例3、例4的求解训练，可进一步熟练数列极限的四则运算法则，培养了学生观察分析能力和运算推理能力，以及思维的灵活性、科学性和批判性，同是也训练了学生求数列极限的技能和技巧．四、习 题1．已知∞→n lim a n =3，∞→n lim b n =5，求下列极限： （1）∞→n lim （2a n －5b n ＋3）； （2） ∞→n lim nn n n b a b a +-． 2．求下列极限：（1）∞→n lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n n n 4142； （2）∞→n lim 32341132nn n n --+-； （3）∞→n lim()11--+n n ； （4）∞→n lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+++32323232321n n n n n ．参考答案1．（1） －16． （2） －41． 2．（1）1．（2）－21． （3）0． 提示：利用分子有理化．（4）31．提示：先求和，注意12＋22＋…＋n 2=61 n （n ＋1）（2 n +1）． 五、小结或总结本节课主要介绍了数列极限的四则运算法则以及数列极限的求法、四则运算法则的实质是加、减、乘、除运算与极限运算的可交换性．运用四则运算法则求数列的极限时，必须注意法则所要求的条件．六、引申与提高设f (n )和φ (n )都是n 的多项式，且f (n )=a k n k ＋a k －1 n k －1＋…＋a 1 n ＋a 0（a k ≠0），φ (n )=b l n l ＋b l －1n l －1＋…＋b 1n ＋b 0（b l ≠0）（k ，N ∈l ），则∞→n lim ()()n n f ϕ 这一结论可仿本课中例2（2）及例3（1）的求解方法而获得．利用这一结论，极易解决本单元教学指导库中测试题一（3） 中的问题．事实上，由题意知，只有416-=a ， a =－23．故选D ．七、思 考 题设 ∞→n lim a n =A ，∞→n lim b n =B ，利用极限定义，证明：∞→n lim （a n ＋b n ）= A ＋B ． 证明：任给ε＞0，由于∞→n lim a n =A ，故对ε1=2ε，存在N 1， =l k b a = 0 不存在 （即f （n ）与φ（n ）最高次项系数之比） （k=l ）， （k ＜l ）， （k ＞l ）.当n ＞N 1时，A a n -＜ε1=2ε恒成立． 取N 1与N 2中的较大者为N ，则当n ＞N 时， ()()B A b a n n +-+ ()()B b A a n n -+-= ≤B b A a n n -+- ＜ε1＋ε 2 =2ε＋2ε =ε∴ ∞→n lim （a n ＋b n ）= A ＋B ．。
数列与数列的极限
数列与数列的极限数列是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
数列的极限是数列理论中的一个重要概念，它在数学分析、微积分等领域起着至关重要的作用。
本文将介绍数列的基本概念和性质，并深入探讨数列的极限及其相关概念。
首先，让我们从数列的定义开始。
数列是指由一串按照一定规则排列的数所组成的序列。
通常用{an}表示数列，其中n为数列的下标。
例如，数列{an}可以表示为a1, a2, a3, ...。
数列的每个元素都有一个确定的位置和数值。
数列的极限是数列理论的核心概念之一。
极限表示数列中的元素在无限逼近一个特定值时的趋势。
数列{an}的极限可以表示为lim(n->∞) an = L，其中L为数列的极限。
如果数列{an}的极限不存在，则称其为发散。
数列的极限具有以下几个重要性质：1. 极限的唯一性：一个数列的极限只能有一个确定的值。
2. 保号性：如果数列的极限为正数L，则存在正整数N，使得当n>N时，数列的所有元素都为正数；同理，如果数列的极限为负数L，则存在正整数N，使得当n>N时，数列的所有元素都为负数。
3. 有界性：如果数列的极限存在，则数列的元素一定是有界的。
数列的极限可分为几种特殊情况：1. 有限数列的极限：如果数列{an}只包含有限个元素，则其极限为数列的最后一个元素。
2. 常数数列的极限：如果数列{an}的所有元素都相等，则其极限等于任意一个元素。
3. 递增数列的极限：如果数列{an}的元素随着n的增大而递增，并且无上界，则其极限为正无穷大。
4. 递减数列的极限：如果数列{an}的元素随着n的增大而递减，并且无下界，则其极限为负无穷大。
对于一般数列的极限的计算，我们可以运用数列的极限存在性定理以及极限的运算法则来帮助求解。
其中，数列的极限存在性定理表明对于一个数列，如果它是单调递增且有上界的，那么它必定存在极限；如果数列是单调递减且有下界的，那么它也必定存在极限。
在实际应用中，数列的极限可以用于求解序列和级数的问题，以及对函数的连续性、收敛性进行研究。
数列的极限;数列极限的运算法则·双基能力训练.doc
数列的极限；数列极限的运算法则·双基能力训练(一)选择题：1．对于无穷数列｛a n｝，有下列四个命题：①｛a n｝一定有极限；②若｛a n｝是等差数列，那么｛a n｝有极限的充要条件是它的公差为0；③若｛a n｝为等比数列，那么当公比q＜1时，｛a n｝有极限；④若｛a n｝为递增数列，那么｛a n｝一定没有极限．以上命题中，正确命题的个数是[ ]A．0个B．1个C．2个D．3个2．下列命题中，一定正确的是[ ]3．下列无穷数列中，极限为零的是[ ]都小于ε，则N可以取[ ] A．30B．31C．33D．34[ ]A．0＜x＜1B．0≤x≤1C．0≤x＜1D．x≥1或x＜0A．-1B．1C．D．a8．已知｛a n｝是等比数列，如果a1＋a2=12，a2＋a3＝-6，且A．8B．16C．32D．48(二)填空题：14．已知｛a n｝是公差不为零的等差数列，如果S n是｛a n｝的前n(三)解答题：16．已知等比数列｛a n｝，其中a n＞0，公比为q(0＜q≤1)，记17．一个球自6m高的地方自由下落，触地后回弹高度为原高度的数列的极限；数列极限的运算法则·双基能力训练·答案提示(一)1．B 2．D3．A 4．C5．C 6．B 7．C8．B提示：(三)(2)a＝0，b＝10．＜5．17．设第一次落地时运动的路程为a1，第二次为a2，第三次为a3，…＝12(m)∴球运动的总路程为12m。
18[1].数列求和与数列的极限专项训练
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数列求和与数列的极限专项训练【例题精选】：例1：等差数列200，19923，……，－100的后200项和是。
分析：把问题改写成，求数列－100， (1992)3，200，的前200项的和，改写后的数列为首项是－100，公差是13的等差数列，其200项的和为S na n n d=+-=⨯-+⨯⨯=-112200100200199213401003()()答案：-401003。
例2：求和：x x x x x x n n +⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪+++⎛⎝ ⎫⎭⎪11122222……解：所求的和()S x x x x x x n n n =+++++++⎛⎝ ⎫⎭⎪242242111…………＋222+++……项n当x S n n n n n =±=++=124时，;当x S x x xx x xn n n n ≠±=--+-⎛⎝ ⎫⎭⎪-+111111112222222时，() ()()()=+-+-+211122222n x x x x n n n 小结：通过将式子展开、整理，将问题转化为两个等比数列和一个常数列的和，在运用等比数列求和公式时要注意公比q ≠1的条件。
例3：求数列122438224，，，…，，…的前项和，并证明nn S n n S n <。
分析：由于{}n n n n n 212=·，数列是等差数列，12n ⎧⎨⎩⎫⎬⎭是等比数列，因此，可采用推导等比数列求和公式的方法（错项相减）求和。
解： S nn n =++++1224382……,∴=+++-++1214281221S n n n n n ……两式相减得121214181221S nn n n =++++-+……=-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥--=--++121121122112211nn n n n n ∴=---S nn n n 21221于是S n S n <<=22242，所以.例4：数列{}a n 是首项为3，公差为2的等差数列，前n S n 项和记为，求A S S S n n =+++11112……解：由已知a d 132==，∴=⨯+-⨯=+=+=-+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-⎛⎝ ⎫⎭⎪+-⎛⎝ ⎫⎭⎪+-⎛⎝ ⎫⎭⎪++--⎛⎝ ⎫⎭⎪+--+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢+-+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎤⎦⎥=+-+S n n n n n S n n n n A n n n n n n n n n n 312221121211212113121413151211111112121121()()()…112354122-+⎛⎝ ⎫⎭⎪=+++n n n n n ()()例5：求下列极限（） (11)12221222lim n n n n n →∞++++++⎛⎝ ⎫⎭⎪ （）……2113114112lim n n n →∞-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪-+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥ （）···……（）31141471710132314323211lim ()()lim()()n n nnn n n n →∞→∞++++++-+⎡⎣⎢⎤⎦⎥+-+-解：()（）原式 (1111221)11222212111222222=++++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=++=++=→∞→∞→∞→∞lim lim ()lim limn n n n n n n n n n n n n n（2） n n 113114115112-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪-+⎛⎝ ⎫⎭⎪……=++=+∴=+=+=→∞→∞n n n n n n n nn n ···……原式2334451222222122lim lim （） (311414717101)323113114141717110132131131131313113113++++-+=-⎛⎝ ⎫⎭⎪+-⎛⎝ ⎫⎭⎪+-⎛⎝ ⎫⎭⎪++--+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-+⎛⎝ ⎫⎭⎪=+∴+=+=→∞→∞()()lim lim n n n n n n n n n n n n（）原式4123322313=--⎛⎝ ⎫⎭⎪+--⎛⎝ ⎫⎭⎪=→∞lim ()n nn 小结：本例（1）、（2）、（3）是分子，分母由多项式组成的分式的极限，这类问题往往与数列求和、求积相联系，一般应先对极限式子变形，再运用极限法则求极限，（4）是lim n n q →∞类型的极限，这类问题要特别注意极限存在的条件。
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数列的极限；数列极限的运算法则·双基能力训练
(一)选择题：
1．对于无穷数列｛a n｝，有下列四个命题：
①｛a n｝一定有极限；
②若｛a n｝是等差数列，那么｛a n｝有极限的充要条件是它的公差为0；
③若｛a n｝为等比数列，那么当公比q＜1时，｛a n｝有极限；
④若｛a n｝为递增数列，那么｛a n｝一定没有极限．
以上命题中，正确命题的个数
是 [ ] A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
2．下列命题中，一定正确的
是 [ ]
3．下列无穷数列中，极限为零的
是 [ ]
都小于ε，则N可以
取
[ ]
A．30
B．31
C．33
D．34
[ ] A．0＜x＜1
B．0≤x≤1
C．0≤x＜1
D．x≥1或x＜0
A．-1
B．1
C．1或-1
D．a
8．已知｛a n｝是等比数列，如果a1＋a2=12，a2＋a3＝-6，且
A．8
B．16
C．32
D．48
(二)填空题：
14．已知｛a n｝是公差不为零的等差数列，如果S n是｛a n｝的前n
(三)解答题：
16．已知等比数列｛a n｝，其中a n＞0，公比为q(0＜q≤1)，记
17．一个球自6m高的地方自由下落，触地后回弹高度为原高度的
数列的极限；数列极限的运算法则·双
基能力训练·答案提示
(一)1．B 2．D 3．A 4．C 5．C 6．B 7．C 8．B
提示：
(三)
(2)a＝0，b＝10．
＜5．
17．设第一次落地时运动的路程为a1，第二次为a2，第三次为a3，…
＝12(m)
∴球运动的总路程为12m。